专题3.5 指数与指数函数 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

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1、专题3.5 指数与指数函数新课程考试要求1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。2理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.3.了解指数函数的变化特征.核心素养培养学生数学抽象（例5）、数学运算（多例）、逻辑推理（例8）、直观想象（例6.7.9）等核心数学素养.考向预测1.指数幂的运算；2指数函数的图象和性质的应用；3与指数函数相关，考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等，常与的对数函数等结合考查，如比较函数值的大小；【知识清单】1根式和分数指数幂1n次方根定义一般地，如果xna，那么x叫做a的_n次方根_，其中n1，且nN*个数n是奇数a0x0x仅有

2、一个值，记为a0x0n是偶数a0x有两个值，且互为相反数，记为±a0x不存在2.根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：()na.3.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a>0，m，nN*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a(a>0，m，nN*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a>0，b>0，r，sQ.2指数函数的图象和性质(1)概念：函数yax(a>0且a1)叫做指数函

3、数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0，1)，即x0时，y1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(，)上是增函数在(，)上是减函数【考点分类剖析】考点一 根式、指数幂的化简与求值【典例1】（2021·湖南长沙市·高三其他模拟）镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验某次社会实践活动中，甲、乙、丙三

4、位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）A甲同学和乙同学B丙同学和乙同学C乙同学和甲同学D丙同学和甲同学【答案】C【解析】判断出，的大小关系即可得出答案.【详解】，又，有又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄故选：C.【典例2】计算：21412-(-9.6)0-82723+32-2【答案】.【解析】分析：直接利用指数幂的运算法则求解即可,求解过程注意避免计算错误.详解： 21412-(-9.6)0-82723+32-2=9412-1-233×23+232=32-1=12【规律方法

5、】化简原则：化根式为分数指数幂；化负指数幂为正指数幂；化小数为分数；注意运算的先后顺序【变式探究】1.计算：1.5×080.25×(×)6【答案】【解析】原式.2.计算：×0×_.【答案】【解析】原式×1×.【易错提醒】1.根式：（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根（2）0(n1，且nN*)（3）有限制条件的根式化简的步骤2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算3.把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分，否则，有时会改变a的取值范围而导致出错，如，aR，化成

6、分数指数幂应为a，aR，而a，则有a0，所以化简时，必须先确定a的取值范围4.结果要求：若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂考点二：根式、指数幂的条件求值【典例3】已知x+x-1=3，则x32+x-32的值为_【答案】25【解析】题意(x12+x-12)2=x+2+x-1=5，x12+x-12=5，x32+x-32=(x12+x-12)(x-1+x-1)=5(3-1)=25，故答案为25【典例4】设，求 的值【答案】7【解析】,.【总结提升】根式、指数幂的条件求值，是

7、代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：化简已知条件；化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(x12+x-12)2=x+2+x-1，(x+x-1)2=x2+2+x-2，x32+x-32=(x12+x-12)(x-1+x-1)，解题时要善于应用公式变形【变式探究】已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）【答案】【解析】（1）将两边平方得，所以.（2）将两边平方得，所以.（3）由（1）（2）可得考点三：指数函数的概念【典例5】

8、（2021·四川凉山彝族自治州·高三三模（文）函数，且，则（ ）A4B5C6D8【答案】B【解析】运用代入法进行求解即可.【详解】由，所以，故选：B【规律方法】判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合yax(a0，a1)这一结构形式【变式探究】若y(a23a3)ax是指数函数，则有 ()Aa1或2Ba1Ca2Da>0且a1【答案】C【解析】由题意，得，解得a2，故选C.考点四：指数函数的图象【典例6】（2021·吉林长春市·高三其他模拟（文）如图，中不属于函数，的一个是（ ）ABCD【答案】B【解析】利用指数函数的图象与性质即可得出结果.

9、【详解】根据函数与关于对称，可知正确，函数为单调递增函数，故正确.所以不是已知函数图象.故选：B【典例7】（2020·浙江绍兴市阳明中学高三期中）函数yax(a>0，且a1)的图象可能是（ ）ABCD【答案】D【解析】就、分类讨论可得正确的选项.【详解】当时，为增函数，当时，且，故A,B 不符合.当时，为减函数，当时，故C不符合，D符合.故选：D.【总结提升】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进

10、行比较3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；从函数的单调性，判断图象的变化趋势；从周期性，判断图象的循环往复；从函数的奇偶性，判断图象的对称性从函数的特征点，排除不合要求的图象.(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)4.过定点的图象 (1)画指数函数yax(a0，a1)的图象，应抓住三个关键点

11、(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；(2) 与的图象关于y轴对称；(3)当a1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0a1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减【变式探究】1.（2020·上海高一课时练习）函数和（其中且）的大致图象只可能是( )ABCD【答案】C【解析】由于过点，故D选项错误.当时，过且单调递增；过点且单调递增，过且.所以A选项错误.当时，过且单调递减，过点且单调递增，过且.所以B选项错误.综上所述，正确的选项为C.故选：C2.如图所示是下列指数函数的图象：(1)yax；(2)ybx；(3)ycx；(4)ydx.则a，b，c，d与1

12、的大小关系是 ()Aa<b<1<c<dBb<a<1<d<cC1<a<b<c<dDa<b<1<d<c【答案】B 【解析】可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较，c，d的大小，由(1)(2)比较a，b的大小当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.【特别提醒】指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大高

13、频考点五：指数函数的性质及其应用【典例8】（2020·浙江高三月考）已知，且，设，则（）ABCD【答案】A【解析】作差，对分类讨论，利用指数函数的单调性即可求出.【详解】当时，单调递增，因为，所以，所以，所以；当时，单调递减，因为，所以，所以，所以.综上所述：故选：A【典例9】（2021·北京高三其他模拟）已知函数则不等式的解集是（ ）ABCD【答案】A【解析】作出函数以及的大致图象，数形结合即可求解.【详解】在同一坐标系中，作出函数以及的大致图象， 观察的区域，由图象可知，在区间和上，由此的解集.故选：A【典例10】（2020·上海高三专题练习）函数的值域是_.

14、【答案】【解析】设 当 时，有最大值是9；当 时，有最小值是-9， ，由函数 在定义域上是减函数，原函数的值域是 故答案为 【典例11】（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文）已知函数的图像经过点，（1）求值；（2）求函数的值域；【答案】（1）（2）【解析】（1）函数的图像经过点（2）由（1）可知 在上单调递减，则在时有最大值又函数的值域为【规律方法】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)当幂的底数不

15、确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x1与图象的交点进行判断如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab.规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大4.简单的指数不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论5.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断6.有关指数方程、不等式问题

16、的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解【变式探究】1.（2018年新课标I卷文）设函数fx=2-x，x01，x>0，则满足fx+1<f2x的x的取值范围是（ ）A. -，-1 B. 0，+ C. -1，0 D. -，0【答案】D【解析】将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知会有2x<02x<x+1，解得x<0，所以满足fx+1<f2x的x的取值范围是-，0，故选D.2.（2019·天津高三高考模拟）若2x2+1(14)x-2，则函数y=2x的值域是A18,2) B18,2 C(-,18 D2,+)【答案】B【解析】将2x2+1(14)x-2化为x2+1-2(x-2)，即x2+2x-30，解得x-3,1，所以2-32x21，所以函数y=2x的值域是18,2.故选C.3（2021·江苏高三月考）已知函数，且，则（ ）ABCD【答案】A【解析】依题意，可以令，则，代入函数，即可比较、三者的大小，得到答案.【详解】，且，令，则，又，.故选：A.4（山东省高考真题）已知函数的定义域和值域都是，则 .【答案】【解析】若，则在上为增函数,所以，此方程组无解；若，则在上为减函数,所以，解得，所以.