人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：空间几何体.docx

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1、空间几何体知识讲解一、空间基本概念1.几何体：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等2.构成几何体的基本元素：点、线、面1）几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母来命名；2）几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般用一个小写字母或用直线上两个点表示；一条直线把平面分成两个部分3）几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它想象成无限延展的；平面一般用希腊字母来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字母来命名，如右图中，称平面，

2、平面或平面一个平面将空间分成两个部分3.多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体基本内容：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体4.截 面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部），叫做这个几何体的面二、棱柱、棱锥和棱台1.棱柱：1）棱柱的概念：由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形

3、成的面 叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高 2）棱柱的性质：棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等3）棱柱的分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱4）特殊的四棱柱： 2.棱锥：1）棱锥的概念：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥它有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；多边形

4、叫做棱锥的底面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面；过顶点且与底面垂直相交的直线在顶点与交点间的线段或距离叫做棱锥的高2）正棱锥：底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高3.棱台：1）棱台的概念：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；与棱台的底面垂直的直线夹在两个底面之间的线段或距离称为棱台的高2）棱台的性质：棱台的各侧棱延长后

5、交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例；3）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高三、圆柱、圆锥和圆台1.将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台2.这条旋转轴叫做几何体的轴，轴的长即为该旋转体的高垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线；圆柱、圆锥、圆台一般用表示它的轴的字母来表示3.圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面（轴截面）分别是全等的

6、矩形、等腰三角形、等腰梯形四、球与球面1.半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体），半圆旋转而成的曲面叫做球面半圆的圆心称为球心，球心与球面上一点的连线段称为球的半径，连结球面上两点且过球心的线段叫作球的直径一般用球心的字母表示一个球2.球面也可看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合，球体可以看成到空间中一个定点的距离小于等于定长的点的集合3.球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆；在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面距离 4.球的截面性质：球的小圆（指不过球心的

7、截面圆）的圆心与球心的连线垂直于小圆所在平面，有，其中为截面圆的半径，为球的半径，为球心到截面圆的距离，即球心与截面圆圆心的距离五、平行投影1.投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体的影子的屏幕叫做投影面2.平行投影：1）概念：已知图形，直线与平面相交，过上任意一点作直线平行于，交平面于点，则点叫做点在平面内关于直线的平行投影（或象）；如果图形上的所有点在平面内关于直线的平行投影构成图形，则叫做图形在内关于直线的平行投影平面叫做投射面，叫做投射线2）性质：若图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性

8、质：直线或线段的平行投影仍是直线或线段；平行直线的平行投影是平行或重合的直线；平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；平行于投射面的平面图形，它的投影与这个图形全等；在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比3）正投影：概念：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影性质：垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分 六、平面图与三视图1. 三视图：俯视图：在画正投影时，常选取三个互相垂直的平面作为投射面，一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个面内的图形叫做俯视图；主视图：一个投射面放置在正

9、前方，叫直立投射面，投射到此平面内的图形叫做主视图；左视图：和水平投射面、直立投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左视图三视图：将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图2.直观图： 概念：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图画法：斜二测画法和正等测画法：1）斜二测画法规则：在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴，再作轴，使，（三维空间中）画直观图时，把，画成对应的轴，使或，所确定的平面表示水平平面（二维平面上）已知图形中，平行于轴，轴或轴的线

10、段，在直观图中分别画成平行于轴，轴或 轴的线段并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的一半画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图七、空间几何体的表面积1.直棱柱与圆柱的侧面积：等于它的底面周长和高（母线）的乘积，其中为底面的周长，为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；2.正棱锥（圆锥）的侧面积：等于它的底面周长和斜高（母线）乘积的一半，其中为底面边长，为斜高；，其中为底面周长，为圆锥的底面半径，为母线长；3.正棱台（圆台）的侧面积：等于它的上下底面周长

11、之和与斜高（母线）乘积的一半，其中分别是正棱台上下底面的边长，为斜高；，其中分别是圆台上下底面的半径，为母线长；4.球面面积：等于它的大圆面积的四倍，为球的半径八、空间几何体的体积1.柱体（棱柱，圆柱）体积公式：，其中为底面积，为高；2.棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：，其中为底面积，为高；3.台体（棱台，圆台）的体积公式： ，其中分别是台体上，下底面的面积，为台体的高；球的体积：，为球的半径经典例题一选择题（共14小题）1如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A20B24C28D32【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上

12、半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥底面半径均为3，高均为4，则其表面积：S=×32+×3×5+2×1×2=28故选：C2如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则在该多面体各个面中，面积最大的面的面积为（）A4B5C6D35【解答】解：由三视图可知，该几何体是四个面都是直角三角形的三棱锥（如图），且PA=3，AB=4，BC=2，PA面ABC，ABBC，面PAC的面积最大，最大为12×PA×AC=12×3×25=35故选：D3如图，网格纸上正方形小格的边

13、长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为（）A4B32C22D23【解答】解：利用“三线交汇得顶点”的方法，该几何体位四棱锥PABCD如图所示，其中，正方体棱长为2，所以最长棱为PC=23故选：D4某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的侧面积为（）A40cm2B56cm2C60cm2D76cm2【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直四棱柱，底面四边形ABCD为直角梯形，且AB=AD=AE=4，CD=1，则BC=5该柱体的侧面积为（4+4+1+5）×4=56cm2，故选：B5若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为433，则

14、其表面积为（）A6+43B6C34+23D34+3【解答】解：几何体是半圆锥，底面半径为r，高为：3r，该几何体的体积为433，可得：12×13×r2×3r=433，解得r=2，半圆锥的表面积为：12×22×+12×4×23+12×124×4=6+43故选：A6已知三棱锥PABC所有顶点都在球O的球面上，底面ABC是以C为直角顶点的直角三角形，AB=22，PA=PB=PC=3，则球O的表面积为（）A9B94C4D【解答】解析：设AB中点为D，则D为ABC的外心，因为PA=PB=PC=3，易证PD面ABC，

15、所以球心O在直线PD上，又PA=3，AB=22，算得PD=1，设球半径为R，则AOD中，（R1）2+2=R2，可得：R=32则球O的表面积S=4R2=9，故选：A7在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC=120°，AP=2，AB=2，M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为3，则三棱锥PABC的外接球的表面积是（）A92B92C18D40【解答】解：如图所示：三棱锥PABC中，PA平面ABC，AP=2，AB=2，M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为3，则：当AMBC时，线段PM达到最小值，由于：PA平面ABC，所以：PA2+AM2=PM2，解得：AM=1，所以：BM=3，

16、则：BAM=60°，由于：，BAC=120°，所以：MAC=60°则：ABC为等腰三角形所以：BC=23，在ABC中，设外接圆的直径为2r=23sin120°=4，则：r=2，所以：外接球的半径R22+(22)2=92，则：S=492=18，故选：C8已知球O半径为32，设S、A、B、C是球面上四个点，其中ABC=90°，AB=BC=42，则棱锥SABC的体积的最大值为（）A6423B6429C3223D3229【解答】解：当S在经过AC与球心的连线上时，由于：AC=(42)2+(42)2=8，球心到AC的中点的连线，d=(32)2-42=2，

17、所以：锥体的最大高度为：h=32+2=42，所以：V=1312424242=6423故选：A9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A163B203C169D209【解答】解：由题意可知几何体是组合体，左侧是四棱锥右侧是三棱柱，如图：棱锥的高为2，底面正方形的边长为2，三棱柱的底面等腰三角形的底边长为2，高为2所以几何体的体积为：13×2×2×2+12×2×2×2=203故选：B10已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为22，则这个四棱锥的外接球的体积为（）A163B323C16D32【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为O，

18、则在直角三角形ABC中，AC=2×AB=4，AO=CO=2，在直角三角形PAO中，PO=PA2-AO2=(22)2-22=2，正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为2，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r=2，球的体积V=43r3=323故选：B11已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A1B12C13D16【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥PABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA底面ABCD，PA=1，则该四棱锥的体积为13×12×1=13故选：C12已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是线

19、段BC的中点，点M是直线BD1上异于B，D1的点，则平面DEM可能经过下列点中的（）AABC1CA1DC【解答】解：如图，取BB1中点H，可得四点A1，D，E，H共面且面A1DEH直线BD1一定相交，平面DEM可能经过点A1，故选：C13一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A23+3B23+5C24+(3-1)D24+(5-1)【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为圆锥，下半部分为正方体，圆锥底面半径均为1，高均为2，正方体棱长为2则该几何体的表面积为S=6×2×2-×12+×1×5=24+(5-1)故选

20、：D14如图所示，已知正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）ABCDA1BlC1D1中，BC=1，AA1=2，a为过直线AC1且与棱BB1相交的平面，则a截该正四棱柱的截面面积的最小值是（）A62B32C3D2【解答】解：当截面与BB1相交时，连接AC、A1C1，设正四棱柱ABCDA1B1C1D1上、下底面的中心分别为O1、O2，连接O1D、O2D1，设DD1和BB1的中点分别为K、H，连接O1O2，交AC1于点O，连接OK，如图所示；要使截面的面积最小，只需DD1上的点到AC1的距离最小，因为O1D平面ACC1A1，O1D平面O2O1DD1，所以平面O2O1DD1平面ACC1A1，对于棱DD1上异于点K的任一点E，作EF平面ACC1A1，所以EFAC1，过F作FGAC1，则AC1平面EFG，所以AC1EG，此时EGEF=OK，所以平行四边形AHC1K的面积最小， 因为AC1=1+1+2=2，HK=2，所以平行四边形AHC1K的面积最小值为12×2×2=2故选：D