人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：任意角的三角函数.docx

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1、任意角的三角函数知识讲解一、角的概念1.定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形其中顶点，始边，终边称为角 的三要素2.范围：3.正角、负角、零角正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角4.终边相同的角：设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对应元素为5.象限角与轴线角象限角：定点在原点，始边在轴正半轴，终边在第几象限就是第几象限角如：终边落在第一象限的角：或终边落在轴上的角：或轴线角：如果角的终边

2、在坐标轴上则说这个角不在任何象限，而称之为“轴线角”二、弧度制1.定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角2.弧度与角度的换算：，3.弧长与扇形面积公式：弧长公式： 扇形面积公式：三、三角函数定义1.定义：在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么1）比值叫做的正弦，记作，即；2）比值叫做的余弦，记作，即；3）比值叫做的正切，记作，即；2.符号：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：1）正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；2）余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；3）正切

3、值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）3.特殊角的三角函数：角来源:学.科.网来源:Z,xx,k.Com不存在不存在4.三角函数同角公式：；四、诱导公式1.各角与角终边的关系角（）图示与角终边关系相同关于原点对称关于轴对称角图示与角终边关系关于轴对称关于对称2.诱导公式1）角与的三角函数间的关系；，;2）角与的三角函数间的关系；，;3）角与的三角函数间的关系；，;4）角与的三角函数间的关系,，注：“奇变偶不变，符号看象限”：奇偶是指的奇数倍和偶数倍，符号看象限是令为第一象限的角，考查变化后角所在的象限以及对应三角函数的符号经典例题一选择题（共7小题）1如图，在平面直角坐标

4、系xOy中，质点M，N间隔3分钟先后从点P出发，绕原点按逆时针方向作角速度为6弧度/分钟的匀速圆周运动，则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间为（）A37.5分钟B40.5分钟C49.5分钟D52.5分钟【解答】解：由题意可得：yN=sin(6x-2)=cos6x，yM=sin6(x+3)-2=sin6x，yMyN=sin6x+cos6x=2sin(6x+4)，令sin(6x+4)=1，解得：6x+4=2k+2，x=12k+32，k=0，1，2，3M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间=3×12+32=37.5（分钟）故选：A2已知x（0，6），y（0，6）

5、，且xtany=2（1cosx），则（）Ayx4Bx4yx2Cx2yxDyx【解答】解：x（0，6），y（0，6），且xtany=2（1cosx），可得xtany=4sin2x24x24=x2，即tanyx，又xtanx，可得tanytanx，即yx；由xtany=4sin2x2xtanx22sinxsinx2xsinx22sinxx，由y=2sinxx的导数为y=2cosx1，x（0，6），cosx（32，1），则2cosx10，即函数y=2sinxx在x（0，6）递增，可得2sinxx，即有yx2，可得x2yx，故选：C3已知圆O：x2+y2=4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动

6、3弧长达到点N，以x轴的正半轴为始边，ON为终边的角记为，则sin=（）A33B12C22D32【解答】解：由题意得，M（0，2），并画出图象如下：点M沿圆O顺时针运动3弧长到达点N，旋转的角的弧度数为32=6，即以ON为终边的角=3，则sin=32，故选：D4设a=cos25，b=sin35，c=tan25，则（）AacbBabcCbcaDbac【解答】解：b=sin35=sin25，作出角25的三角函数线，由图象知cos25sin25tan25，即abc故选：B5已知角的终边与单位圆相交于点P(45，-35)，现将角的终边绕坐标原点沿逆时针方向旋转3，所得射线与单位圆相交于点Q，则点Q的横

7、坐标为（）A4+3310B4-3310C3+4310D43-310【解答】解：角的终边与单位圆相交于点P(45，-35)，sin=-35，cos=45，将的终边绕坐标原点沿逆时针方向旋转3，此时角为+3，则点Q的横坐标为x=cos（+3）=coscos3sinsin3=45×12+35×32=4+3310；故选：A6已知是第四象限角，且cos（4）=35，则tan（+4）=（）A43B34C43D34【解答】解：是第四象限角，32+2k2+2k，kZ；54+2k474+2k，kZ；又cos（4）=35，sin（4）=1-cos2(-4)=45，tan（4）=43；tan（+

8、4）=tan（4）+2=1tan(-4)=34故选：D7已知角的正弦线和余弦线长度相等，且的终边在第二象限，则tan=（）A1B3C22D33【解答】解：角的正弦线和余弦线长度相等，|sin|=|cos|，两边都除以|cos|得：|tan|=1，因此，tan=±1，又的终边在第二象限，tan0，可得tan=1故选：A二填空题（共10小题）8如图，OA，OB为扇形湖面OAB的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区区域I和区域，点C在AB上，COA=，CDOA，其中AC，半径OC及线段CD需要用渔网制成若AOB=3，OA=1，则所需渔网的最大长度为+6+236【解答】解：由CDOA

9、，AOB=3，AOC=，得OCD=，ODC=23，COD=3；在OCD中，由正弦定理，得CD=23sin（3），（0，3），设渔网的长度为f（），可得f（）=+1+23sin（3），所以f（）=123cos（3），因为（0，3），所以3（0，3），令f（）=0，得cos（3）=23，所以3=6，所以=6（0，6）6（6，3）f（）+0f（）极大值所以f（）（2，+6+236故所需渔网长度的最大值为+6+2369如果圆心角为23的扇形所对的弦长为23，则扇形的面积为43【解答】解：圆心角为23的扇形所对的弦长为23，扇形的半径为2，扇形的面积为12×23×2×2=4

10、3故答案为：4310已知R，sin+2cos=102，则tan=3或-13【解答】解：sin+2cos=102，两边平方可得：sin2+4cos2+4sincos=52，sin2+4cos2+4sincossin2+cos2=tan2+4+4tantan2+1=52，求得tan=3，或tan=13，故答案为：3或1311（2018春福州期末）已知sin+cos=15，（0，），则tan的值为43【解答】解：sin+cos=15，两边平方可得：1+sin2=125，sin2=2425，又0，sin0，cos0，（sincos）2=1sin2=4925，sincos=75，由得：sin=45，co

11、s=35tan=43故答案为：4312若1+sinxcosx=-12，则cosxsinx-1的值是12【解答】解：sin2x+cos2x=1，cos2x=1sin2x，cosxcosx=（1+sinx）（1sinx），即1+sinxcosx=cosx1-sinx=cosxsinx-1，1+sinxcosx=-12，cosxsinx-1=12故答案为：1213已知tan=2，则2sin-cossin+cos=1来源:学科网ZXXK【解答】解：tan=2，则2sin-cossin+cos=2tan-1tan+1=4-12+1=1故答案为：114在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点P（x，1）（

12、x1），则cos+sin的取值范围是（1，2【解答】解：法一：来源:学.科.网角的终边经过点P（x，1）（x1），r=x2+1，cos=xr=xx2+1sin=yr=1x2+1，cos+sin=xx2+1+1x2+1=x+1x2+1=(x+1)2x2+1=x2+2x+1x2+1=1+2xx2+1=1+2x+1xx+1x2，当且仅当x=1时取等号2x+1x0，1cos+sin2故得cos+sin的取值范围是（1，2法二：由题意，令f（）=cos+sin=2sin（+4），当=4时，f（）取得最大值为2，此时P（1，1）x1，0tan=yx1，即04，sin（+4）（22，1得cos+sin的取值

13、范围是（1，2故答案为：（1，215已知tan=3，则sinsin（32）的值是310【解答】解：tan=3，则sinsin（32）=sincos=sincossin2+cos2=tantan2+1=332+1=310故答案为：31016在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acosC+b=0，则tanB的最大值是34【解答】解：在ABC中，3acosC+b=0，C为钝角，利用正弦定理可得 3sinAcosC+sin（A+C）=0，即3sinAcosC+sinAcosC+cosAsinC=0，4sinAcosC=cosAsinC，即 tanC=4tanA，tanA0，则tanB=

14、tan（A+C）=tanA+tanC1-tanAtanC=tanA+tanCtanAtanC-1=-3tanA-4tan2A-1=34tanA+1tanA324=34，当且仅当tanA=12时，取等号，故tanB的最大值是34，故答案为：3417若tan(-)=34，是第二象限的角，则1sin+2sin-2=10【解答】解：tan(-)=34，是第二象限的角，tan=-34，cos=-11+tan2=-45则1sin+2sin-2=1cos22=21+cos=21-45=10故答案为：10三解答题（共5小题）18已知tan=12，求1+2sincossin2-cos2的值【解答】解：tan=1

15、2，1+2sincossin2-cos2=(sin+cos)2sin2-cos2=sin+cossin-cos=tan+1tan-1=1319如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，AOP=（0），C点坐标为（2，0），平行四边形OAQP的面积为S（1）求OAOQ+S的最大值；（2）若CBOP，求sin（26）的值【解答】解：（1）由已知，得A（1，0），B（0，1）P（cos ，sin ），因为四边形OAQP是平行四边形，所以OQ=OA+OP=（1+cos，sin）所以OAOQ=1+cos（3分）又平行四边形OAQP的面积为S=|OAOP|sin =sin ，所

16、以OAOQ+S=1+cos+sin =2sin（+4）+1（5分）又0，所以当=4时，OAOQ+S的最大值为2+1（7分）（2）由题意，知CB=（2，1），OP=（cos，sin），因为CBOP，所以cos=2sin又0，cos2+sin2=1，解得sin =55，cos =255，所以sin2=2sin cos=45，cos 2=cos2sin2=35所以sin（26）=sin 2cos6cos 2sin6=45×3235×12=43-310（13分）20已知sin+cossin-cos=2，计算下列各式的值（）cos22sincos1；（）sin(2-)cos(+)co

17、s(-2)cos(112-)cos(-)sin(-3)sin(-)sin(52+)【解答】解：（）sin+cossin-cos=2，可得：sin=3cos，sin2+cos2=（3cos）2+cos2=1，解得：cos2=110，cos22sincos1=cos26cos21=5cos21=（5）×1101=32（）cos2=110，可得：tan2=1cos21=9，可得：tan=3，sin(2-)cos(+)cos(-2)cos(112-)cos(-)sin(-3)sin(-)sin(52+)=(-sin)(-cos)sin(-sin)(-cos)(-sin)sincos=tan=

18、321已知f（）=sin2(-)cos(2-)tan(-+)sin(-+)tan(3-)（1）化简f（）；（2）若f（）=18，且32，求sin+cos的值；（3）若=-316，求f（）的值【解答】解：（1）f（）=sin2(-)cos(2-)tan(-+)sin(-+)tan(3-)=sin2costan-sin(-tan)=sin2cossin=sincos（4分）（2）f（）=18，可得sincos=18，（sin+cos）2=1+14=54，且32，sin0，cos0，所以sin+cos0，sin+cos=52（8分）（3）=-316，sin（316）cos（316）=sin76cos

19、76=sin6cos6=12sin3=34（12分）22已知f（a）=sin2(-)cos(2-)tan(-+)sin(-+)tan(-+3)（1）化简f（）；（2）若f（）=18，且42，求cossin的值；（3）若=313，求f（）的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）f（a）=sin2(-)cos(2-)tan(-+)sin(-+)tan(-+3)=sin2costan(-sin)(-tan)=sincos4分（2）若f（）=sincos=18，可知，（cossin）2=cos22sincos+sin2=12cossin=12×18=346分又42，cossin，即cossin0，cossin=328分（3）=313=6×2+53，f（313）=cos（313）sin（313）=cos（6×2+53）sin（6×2+53）=cos53sin53=12×(-32)=3412分