2022届高三数学一轮复习（原卷版）第2讲　一元二次不等式及其解法.doc

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1、 第 2 讲 一元二次不等式及其解法 一、知识梳理 1一元一次不等式 axb(a0)的解集 (1)当 a0 时，解集为xxba (2)当 a0 时，解集为xx0 0 0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根 有两个相异实根 x1，x2(x10(a0)的解集 x|xx2或 xx1 xxb2a R ax2bxc0)的解集 x|x1x0(0(0 对任意实数 x 恒成立a0， b24ac0. (2)一元二次不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立a0， b24ac0 的解集为_ 答案：xx32或x1 2 若关于 x 的一元二次方程 x2(m1)xm10 有两个不相等的实数根， 则 m

2、 的取值范围是_ 答案：(，1)(3，) 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)若不等式 ax2bxc0.( ) (2)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0 的解集为 R.( ) (3)不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是 a0 且 b24ac0.( ) (4)若二次函数 yax2bxc 的图象开口向下， 则不等式 ax2bxc3(x7)的解集为_ 解析：2x(x7)3(x7)2x(x7)3(x7)0(x7)(2x3)0，解得 x7，所以原不等式的解集为x|x7 . 答案：x|x7 3对于任意实数 x，不等式 mx2mx10 恒成

3、立，则实数 m 的取值范围是_ 解析： 当 m0 时， mx2mx110， 不等式恒成立； 当 m0 时， 由m0，m24m0，解得4m0.综上，m 的取值范围是(4，0 答案：(4，0 考点一 一元二次不等式的解法(基础型) 复习指导| 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程； 2通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式 核心素养：数学抽象、数学运算 (1)已知函数 f(x)x22x，x0，x22x，x3 的解集为_ (2)已知不等式 ax2bx10 的解集是x|12xa2(aR) 【解】 (1)由题意x0，x22x3或x3，解得 x1.故填x|x

4、1 (2)由题意，知12，13是方程 ax2bx10 的两个根，且 aa2， 所以 12x2axa20， 即(4xa)(3xa)0. 令(4xa)(3xa)0， 解得 x1a4，x2a3. 当 a0 时，a4a3， 解集为xxa3； 当 a0 时，x20，解集为x|xR，且 x0； 当 aa3， 解集为xxa4. 综上所述，当 a0 时，不等式的解集为xxa3；当 a0 时，不等式的解集为 x|xR，且 x0；当 a0 时，不等式的解集为xxa4. (1)解一元二次不等式的方法和步骤 (2)解含参数的一元二次不等式的步骤 二次项若含有参数应讨论参数是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等

5、式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式； 判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式 与 0 的关系； 确定方程无实根或有两个相同实根时， 可直接写出解集； 确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式 1不等式 00，x2x24，即x2x20，x2x60， 即（x2）（x1）0，（x3）（x2）0， 解得x2或x1，2x3. 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为x|2x1 或 25 或 x43. 所以原不等式的解集为xx43或x5 . 答案：，43(5，) 3解不等式 ax2(a1)x10) 解：因为 a0，原不等式等价于x1a(x1)0.

6、当 a1 时，1a1，x1a(x1)1 时，1a1，解x1a(x1)0 得1ax1； 当 0a1，解x1a(x1)0 得 1x1a. 综上所述，当 0a1 时，解集为x|1x1 时，解集为x|1ax0(a0)解集的端点值是一元二次方程 ax2bxc0 的根，也是函数 yax2bxc 与 x轴交点的横坐标 角度一 形如 f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围 若不等式(a2)x22(a2)x40 对一切 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是_ 【解析】 当 a20，即 a2 时，不等式为40， 对一切 xR 恒成立 当 a2 时，则a20，4（a2）216（a2）0， 即 a22a2，

7、解得2a0 a0，0，0 ax2bxc0 a0，0 ax2bxc0 a0，则实数 a 的取值范围是_ 【解析】 设 f(x)x22(a2)xa. 因为对于任意的 x(，1)(5，)，都有 f(x)x22(a2)xa0， 所以 0 或0，1a25，f（1）0，f（5）0， 解得 1a4 或 4a5， 即 10，（1m）24m20，解得 m13. 答案：13， 2已知函数 f(x)x2axb2b1(aR，bR)，对任意实数 x 都有 f(1x)f(1x)成立，若当 x1，1时，f(x)0 恒成立，求实数 b 的取值范围 解：由 f(1x)f(1x)知 f(x)的图象关于直线 x1 对称，即a21，

8、解得 a2. 又因为 f(x)的图象开口向下， 所以当 x1，1时，f(x)为增函数， 所以当 x1，1时，f(x)minf(1)12b2b1b2b2， 若当 x1，1时，f(x)0 恒成立， 则 b2b20 恒成立，解得 b2. 所以实数 b 的取值范围为(，1)(2，) 基础题组练 1不等式(x2)(2x3)0 的解集是( ) A，32(2，) BR C32，2 D 解析：选 C因为不等式(x2)(2x3)0， 解得32x2， 所以不等式的解集是32，2 . 2不等式2x11 的解集是( ) A(，1)(1，) B(1，) C(，1) D(1，1) 解析：选 A因为2x11，所以2x110

9、，即1xx10，所以 x1. 3若不等式 ax2bx20 的解集为x|x13，则aba的值为( ) A56 B16 C16 D56 解析：选 A由题意得方程 ax2bx20 的两根为12与13，所以ba121316，则aba1ba11656. 4已知函数 f(x)(ax1)(xb)，如果不等式 f(x)0 的解集是(1，3)，则不等式 f(2x)0，得 ax2(ab1)xb0，又其解集是(1，3)， 所以 a0，且1aba2，ba3 解得 a1 或 a13(舍去)， 所以 a1，b3，所以 f(x)x22x3， 所以 f(2x)4x24x3，由4x24x30，解得 x12或 xx(x2)的解集

10、是_ 解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即 x(x2)0 的解集，解得 0 x2. 答案：x|0 x2 7若 0a0 的解集是_ 解析：原不等式可化为(xa)x1a0，由 0a1 得 a1a，所以 ax1a. 答案：a，1a 8(创新型)规定符号“”表示一种运算，定义 ab abab(a，b 为非负实数)，若 1k23，则 k 的取值范围是_ 解析：因为定义 ab abab(a，b 为非负实数)，1k23，所以 k21k23， 化为(|k|2)(|k|1)0，所以|k|1，所以1k0 的解集是x12x0 的解集 解：(1)由题意知 a0， 即为2x25x30，即 2x25x30，解得3

11、x0 的解集为3，12. 10已知函数 f(x)ax2bxc(a0，bR，cR) (1)若函数 f(x)的最小值是 f(1)0，且 c1， F(x)f（x），x0，f（x），x0，求 F(2)F(2)的值； (2)若 a1，c0，且|f(x)|1 在区间(0，1上恒成立，试求 b 的取值范围 解：(1)因为 f(x)最小值是 f(1)0，且 c1， 所以b2a1f（1）ab10，得a1b2， 所以 f(x)x22x1(x1)2， 因为 F(x)f（x），x0，f（x），x0 的解集是(1，2)，则下列选项正确的是( ) Ab0 Babc0 Cabc0 D不等式 ax2bxc0 的解集是(2，1

12、) 解析：选 ABD对于 A，a0，1，2 是方程 ax2bxc0 的两个根，所在121ba，12ca，所以 ba，c2a，所以 b0，所以 A 正确；令 f(x)ax2bxc，对于 B，由题意可知 f(1)abc0，所以 B 正确；对于 C，f(1)abc0，所以 C 错误，对于 D，因为对于方程 ax2bxc0，设其两根为 x1，x2，所以 x1x2ba1，x1x2ca2，所以两根分别为2 和 1.所以不等式 ax2bxc0 的解集是(2，1)，所以 D 正确 2若不等式 x2(a1)xa0 的解集是4，3的子集，则 a 的取值范围是( ) A4，1 B4，3 C1，3 D1，3 解析：选

13、 B原不等式为(xa)(x1)0，当 a1 时，不等式的解集为a，1，此时只要 a4 即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要 a3 即可，即 1a3.综上可得4a3. 3对于实数 x，当且仅当 nxn1(nN*)时，xn，则关于 x 的不等式 4x236x450 的解集为_ 解析：由 4x236x450，得32x152，又当且仅当 nx0 的解集是(1，3)，则 b_；若对于任意 x1，0，不等式 f(x)t4 恒成立，则实数 t 的取值范围是_ 解析：由不等式 f(x)0 的解集是(1，3)，可知1 和 3 是方程2x2bxc0 的根，即2b2，3c2，解得b4，c6，所以 f(x

14、)2x24x6.所以不等式 f(x)t4 可化为 t2x24x2，x1，0 令 g(x)2x24x2，x1，0，由二次函数的性质可知 g(x)在1，0上单调递减，则 g(x)的最小值为 g(0)2，则 t2. 答案：4 (，2 5(应用型)某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件若售价降低x 成(1 成10%)，售出商品数量就增加85x 成要求售价不能低于成本价 (1)设该商店一天的营业额为 y，试求 y 与 x 之间的函数关系式 yf(x)，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取值范围 解：(1)由题意得，y1001x

15、10 1001850 x . 因为售价不能低于成本价， 所以 1001x10800，解得 0 x2.所以 yf(x)40(10 x)(254x)，定义域为x|0 x2 (2)由题意得 40(10 x)(254x)10 260，化简得 8x230 x130.解得12x134.所以 x 的取值范围是12，2 . 6(综合型)(2020 湖北孝感 3 月模拟)设关于 x 的一元二次方程 ax2x10(a0)有两个实根 x1，x2. (1)求(1x1)(1x2)的值； (2)求证：x11 且 x20)有两个实根 x1，x2. 所以 x1x21a，x1x21a， 则(1x1)(1x2)1x1x2x1x211a1a1. (2)证明：由 0，得 00， 所以 f(x)的图象与 x 轴的交点均位于点(1，0)的左侧， 故 x11 且 x20，14a00a14， 所以 a 的取值范围为10121，14.