专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

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1、专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数新课程考试要求1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（例1.5.6）、数学建模（例7.8）、直观想象（例7.8）、数学运算（多例）、数据分析等.考向预测（1）三角函数的定义； （2）扇形的面积、弧长及圆心角；（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标【知识清单】知识点1象限角及终边相同的角1任意角、角的分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边

2、位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角：终边与角相同的角可写成k·360°(kZ)2.弧度制：1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关3.弧度与角度的换算：360°2弧度；180°弧度若一个角的弧度数为，角度数为n，则 rad()°，n°n· rad知识点2三角函数的定义1.任意角的三角函数定义：设是一个任意角，

3、角的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么（1）点P的纵坐标叫角的正弦函数，记作sin y；（2）点P的横坐标叫角的余弦函数，记作cos x；（3）点P的纵坐标与横坐标之比叫角的正切函数，记作tan .它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数ysinx，xR； 余弦函数 ycosx，xR； 正切函数 ytanx，xk（kZ）2 三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦知识点3扇形的弧长及面积公式 (1)弧长公式在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为，则|，变形可得l

4、|r，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度(2)扇形面积公式由圆心角为1 rad的扇形面积为r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为 rad，故其面积为S×lr，将l|r代入上式可得Slr|r2，此公式称为扇形面积公式(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示名称角度制弧度制弧长公式ll_|r_扇形面积公式SSr2lr注意事项r是扇形的半径，n是圆心角的角度数r是扇形的半径，是圆心角的弧度数，l是弧长【考点分类剖析】考点一 象限角及终边相同的角【典例1】（2021·赤峰二中高三月考（理）若角的终边与240°角的终边相同，则角的终边所在象限是（ ）A第二或第四象限B第二或第

5、三象限C第一或第四象限D第三或第四象限【答案】A【解析】写出的表达式，计算后可确定其终边所在象限【详解】由题意，所以，当为偶数时，在第二象限，当为奇数时，在第四象限故选：A【规律方法】象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角(2)转化法：先将已知角化为k·360°(0°360°，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角【变式探究】（2021·上海高一课时练习）设与终边相同的角的集合为M，则；M中最小正角是；M中最大负角是，其中正确的有

6、_.（选填序号）【答案】【解析】先将角化为的结构即可判断是否正确，再适当地取k的值可以判断和是否正确.【详解】因为，所以正确，令k=0，可得正确；令k=-1，可得正确.故答案为：.【总结提升】象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示(1)象限角：象限角集合表示第一象限角|k·360°<<k·360°90°，kZ第二象限角|k·360°90°<<k·360°180°，kZ第三象限角|k·360°180°<<k

7、3;360°270°，kZ第四象限角|k·360°270°<<k·360°360°，kZ (2)轴线角：角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上|k·360°，kZ终边落在x轴的非正半轴上|k·360°180°，kZ终边落在y轴的非负半轴上|k·360°90°，kZ终边落在y轴的非正半轴上|k·360°270°，kZ终边落在y轴上|k·180°90°，kZ终边

8、落在x轴上|k·180°，kZ终边落在坐标轴上|k·90°，kZ考点二 三角函数的定义【典例2】（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理）若点在角的终边上，则（ ）ABCD【答案】B【解析】本题首先可根据题意得出，然后根据二倍角公式得出结果.【详解】因为点在角的终边上，所以，则，故选：B.【典例3】（2021·重庆市长寿中学校高三其他模拟）角终边上有一点，则“”是“”的（ ）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】结合三角函数的定义确定正确选项.【详解】角终边上有一点，解得，所以“”是“

9、”的充要条件.故选：C【典例4】（江西高考真题）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_.【答案】-8【解析】根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角.=【规律方法】1.已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解2.已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值【变式探究】1. （2021·黑龙江高三其他模拟（理）已知点是角的终边与单位圆的交点，则（ ）A

10、BCD【答案】C【解析】依题意可得，进而由二倍角公式可得.【详解】依题意，由任意角三角函数的定义可得，所以.故选：C.2. 已知角的终边过点P-3,-8m,且sin=-45，则m的值为( )A. -12 B. 12 C. -32 D. 32【答案】B【解析】由题意可知，OP=-8m2+-32=9+64m2，cos=-45,P-8m,-3，是第三象限角，可得-8m9+64m2=-45，即100m2=9+64m2，解得m=12，故选B.3已知角的终边在射线y=-3xx0上，则sincos等于（ ）A. -310 B. 1010 C. 310 D. -1010【答案】A【解析】由题得在第四象限,且t

11、an=-3，所以sin=-310,cos=110.sincos=-310110=-310.故答案为：A.【总结提升】 (1)已知角的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sin，余弦值cos，正切值tan(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论考点三：三角函数值的符号判定【典例5】（2021·全国高一专题练习）若，则角是（ ）A第一象限角B第二象限角C第三象限

12、角D第四象限角【答案】D【解析】根据已知直接判断即可.【详解】由可得是第三象限或第四象限角，由可得是第二象限或第四象限角，故角是第四象限角.故选：D.【典例6】（2021·吉林吉林市·高三其他模拟（理）已知是第二象限角，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由已知结合三角函数的定义及象限角的范围，及正弦的二倍角公式判断即可.【详解】由是第二象限角，可得，故选：C【总结提升】判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解【变式探究】1.已知角的终边经过点(3a9，a2)，且

13、cos 0，sin >0，则实数a的取值范围是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3【答案】A【解析】，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.故选A.2. 已知sin>0且cos<0，则角的终边所在的象限是A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，应选答案B.考点四：扇形的弧长及面积公式【典例7】（2021·江苏南通市·高三其他模拟）掷铁饼者取材于希腊现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在挪铁饼的过程中最具有

14、表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，掷铁饼者双手之间的距离约为，“弓”所在圆的半径约为，则挪铁饼者的肩宽约为_.(精确到)【答案】【解析】由求出圆弧所对圆心角的大小，再由弧长公式即可求得.【详解】如图，AOB中，过O作OMAB于M，则M是弦AB中点，则，“弓”所在的弧长，所以其肩宽为.故答案为：【典例8】（2021·广东佛山市·高三其他模拟）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 （弦 矢），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径

15、长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为_平方米（精确到1平方米，参考数据【答案】9【解析】读懂题意，理解“弦”、“矢”的含义，求出圆心角为，半径等于4米的“弦”、“矢”，根据题中的公式弧田面积 （弦 矢）计算即可得出答案.【详解】根据题意 ,，则 ， ，则弦为 ，矢为 ,所以弧田面积约为 .故答案为：9【典例9】（2021·浙江高一期末）已知一扇形的周长为，当这个扇形的面积最大时，半径的值为_【答案】【解析】根据题意得到面积关于半径的函数关系式，利用二次函数知识可求得结果.【详解】因为扇形的周长为，所以扇形的弧长，由得，所以扇形

16、的面积，所以当时，取得最大值.故答案为：【总结提升】1.(1) 弧度制下l|·r，Slr，此时为弧度扇形面积公式12lr=12r2，扇形中弦长公式2rsin2，扇形弧长公式l=r.在角度制下，弧长l，扇形面积S，此时n为角度，它们之间有着必然的联系(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形2.当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数，函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想【变式探究】1.（2021·全国高三其他模拟（理）中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一个圆形中前下的扇形制作而成的，

17、当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（ ）ABCD【答案】A【解析】设扇形的弧长为，半径为，圆心角的弧度数为，由扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比得出，即得出所求.【详解】设扇形的弧长为，半径为，圆心角的弧度数为，由题意得，变形可得，因为，所以折扇所在扇形的圆心角的弧度数为故选：A.2（2021·安徽合肥市·高三三模（理）在平面直角坐标系中，已知点，当t由变化到时，线段扫过形成图形的面积等于（ ）A2BCD【答案】C【解析】根据圆的性质，结合扇形的面积公式、平行线的性质进行求解即可.【详解】当

18、时，设点在处，当时，设点在处，如下图所示：线段扫过形成图形为坐标系中的阴影部分，因为轴，所以，所以线段扫过形成图形的面积为扇形的面积：.故选：C.3.一个扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积【答案】圆心角等于2弧度时，这个扇形的最大面积是25 cm2【解析】设扇形的半径为r cm，则弧长为l(202r) cm由0<l<2r，得0<202r<2r，<r<10于是扇形的面积为S(202r)r(r5)225(<r<10)当r5时，l10，2，S取到最大值，此时最大值为25 cm2故当扇形的圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25 cm2【特别提醒】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形