2022届高三数学一轮复习（原卷版）第1讲　高效演练分层突破 (4).doc

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1、 基础题组练 1下列说法正确的有( ) 两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； 经过球面上不同的两点只能作一个大圆； 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； 圆锥的轴截面是等腰三角形 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解析：选 A中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以不正确；中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以不正确；中底面不一定是正方形，所以不正确；很明显是正确的 2圆柱的底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是( ) A4S B2S CS D2 33S 解析：选 A由 r2S 得圆

2、柱的底面半径是S，故侧面展开图的边长为 2S2 S，所以圆柱的侧面积是 4S，故选 A 3如图所示，在三棱台 ABCABC 中，沿 ABC 截去三棱锥 AABC，则剩余的部分是( ) A三棱锥 B四棱锥 C三棱柱 D组合体 解析：选 B如图所示，在三棱台 ABCABC 中，沿 ABC 截去三棱锥 AABC，剩余部分是四棱锥 ABCCB. 4(2020 安徽合肥质检)已知圆锥的高为 3，底面半径为 4.若一球的表面积与此圆锥侧 面积相等，则该球的半径为( ) A5 B 5 C9 D3 解析：选 B因为圆锥的底面半径 r4，高 h3，所以圆锥的母线 l5，所以圆锥的侧面积 Srl20，设球的半径为

3、 R，则 4R220，所以 R 5，故选 B 5(2020 辽宁沈阳东北育才学校五模)将半径为 3，圆心角为23的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为( ) A B2 C3 D4 解析：选 B将半径为 3，圆心角为23的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆半径为 R，则有 2R323，所以 R1.设圆锥的内切球半径为 r，圆锥的高为 h，内切球球心必在圆锥的高线上，因为圆锥的母线长为 3，所以 h 912 2，所以有rhrR3，解得 r22，因此内切球的表面积 S4r22. 6有一个长为 5 cm，宽为 4 cm 的矩形，则其直观图的面积为_ 解析： 由于该矩形的面积 S5420(cm2)

4、， 所以其直观图的面积 S24S5 2(cm2) 答案：5 2 cm2 7一个圆台上、下底面的半径分别为 3 cm 和 8 cm，若两底面圆心的连线长为 12 cm，则这个圆台的母线长为_cm. 解析：如图，过点 A 作 ACOB，交 OB 于点 C. 在 RtABC 中，AC12 cm，BC835(cm) 所以 AB 1225213(cm) 答案：13 8.已知圆锥 SO， 过 SO 的中点 P 作平行于圆锥底面的截面， 以截面为上底面作圆柱 PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱 PO 的体积与圆锥 SO 的体积的比值为_ 解析：设圆锥 SO 的底面半径为 r，高为 h，则圆柱

5、 PO 的底面半径是r2，高为h2，所以 V圆锥SO13r2h，V圆柱POr22h2r2h8，所以V圆柱POV圆锥SO38. 答案：38 9. (应用型)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P- A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O是正四棱锥的高 PO1的 4 倍，若 AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？ 解：由 PO12 m，知 O1O4PO18 m. 因为 A1B1AB6 m，所以正四棱锥 P- A1B1C1D1的体积 V锥13 A1B21PO11362224(m3)； 正四棱柱 AB

6、CD- A1B1C1D1的体积 V柱AB2O1O628288(m3)， 所以仓库的容积 VV锥V柱24288312(m3) 故仓库的容积是 312 m3. 10.如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面 ABCD. (1)证明：平面 AEC平面 BED； (2)若ABC120 ，AEEC，三棱锥 E- ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积 解：(1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD. 因为 BE平面 ABCD，所以 ACBE. 故 AC平面 BED. 又 AC平面 AEC， 所以平面 AEC平面 BED. (2)设 ABx，在菱形 ABCD

7、 中，由ABC120 ，可得 AGGC32x，GBGDx2. 因为 AEEC，所以在 RtAEC 中，可得 EG32x. 由 BE平面 ABCD，知EBG 为直角三角形，可得 BE22x. 由已知得，三棱锥 E- ACD 的体积 V三棱锥E- ACD1312 AC GD BE624x363，故 x2. 从而可得 AEECED 6. 所以EAC 的面积为 3，EAD 的面积与ECD 的面积均为 5. 故三棱锥 E- ACD 的侧面积为 32 5. 综合题组练 1(2020 辽宁丹东测试)已知表面积为 12 的圆柱的上下底面的中心分别为 O1，O2.若过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是正方

8、形，则 O1O2( ) A2 3 B2 2 C 3 D 2 解析：选 B因为圆柱的轴截面是正方形，设底面半径为 r，则母线长为 2r，所以圆柱的表面积为 2r22r2r12，解得 r 2，所以 O1O22r2 2，故选 B 2.如图，以棱长为 1 的正方体的顶点 A 为球心，以 2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( ) A34 B 2 C32 D94 解析：选 C正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以 A1为圆心，1 为半径的圆周长的14，所以所有弧长之和为 32432.故选C 3(2020 广东茂名一模)在长方体 ABC

9、D- A1B1C1D1中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，D1B 与 DC 所成的角是 60 ，则长方体的外接球的表面积是( ) A16 B8 C4 D4 2 解析：选 A如图，在长方体 ABCD- A1B1C1D1中，因为 DCAB，所以相交直线 D1B与 AB 所成的角是异面直线 D1B 与 DC 所成的角 连接 AD1，由 AB平面 ADD1A1，得 ABAD1，所以在 RtABD1中，ABD1就是 D1B与 DC 所成的角，即ABD160 ，又 AB2，ABBD1cos 60 ， 所以 BD1ABcos 604，设长方体 ABCD- A1B1C1D1外接球的半径为 R，则由长

10、方体的体对角线就是长方体外接球的直径得 4R2D1B216，则 R2， 所以长方体外接球的表面积是 4R216.故选 A 4. (多选)如图，正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为 3，线段 B1D1上有两个动点 E，F 且EF1，则当 E，F 移动时，下列结论正确的是( ) AAE平面 C1BD B四面体 ACEF 的体积不为定值 C三棱锥 A- BEF 的体积为定值 D四面体 ACDF 的体积为定值 解析：选 ACD对于 A，如图 1，AB1DC1，易证 AB1平面 C1BD，同理 AD1平面C1BD，且 AB1AD1A，所以平面 AB1D1平面 C1BD，又 AE平面 AB1D1，

11、所以 AE平面 C1BD，A 正确； 对于 B，如图 2，SAEF12EF h1121(3 2)23 2223 64，点 C 到平面 AEF的距离为点 C 到平面 AB1D1的距离 d 为定值，所以 VA- CEFVC- AEF133 64d64d 为定值，所以 B 错误； 对于 C，如图 3，SBEF121332，点 A 到平面 BEF 的距离为 A 到平面 BB1D1D 的距离 d 为定值，所以 VA- BEF1332d12d 为定值，C 正确； 对于 D，如图 4，四面体 ACDF 的体积为 VA- CDFVF- ACD131233392为定值，D正确 5已知圆锥的顶点为 S，母线 SA

12、，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45 .若SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_ 解析：如图所示，设 S 在底面的射影为 S，连接 AS，SS. SAB 的面积为12 SASBsinASB12 SA2 1cos2ASB1516 SA25 15， 所以 SA280， SA4 5.因为 SA 与底面所成的角为 45 ， 所以SAS45 ， ASSA cos 45 4 5222 10.所以底面周长 l2AS4 10，所以圆锥的侧面积为124 54 1040 2. 答案：40 2 6(2020 东北师大附中、重庆一中等校联合模拟)若侧面积为 4 的圆柱有一外接球 O，当

13、球 O 的体积取得最小值时，圆柱的表面积为_ 解析：设圆柱的底面圆半径为 r，高为 h， 则球的半径 Rr2h22. 因为球的体积 V43R3，故 V 最小当且仅当 R 最小 圆柱的侧面积为 2rh4，所以 rh2. 所以h21r， 所以 Rr21r2 2， 当且仅当 r21r2. 即 r1 时取等号，此时 k 取最小值，所以 r1，h2，圆柱的表面积为 246. 答案：6 7(应用型)(2020 安徽六安一中模拟(四)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等椭球体是椭圆绕其轴旋转所成

14、的旋转体如图，将底面直径都为 2b，高皆为 a 的半椭球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面 上，用平行于平面 且与平面 任意距离 d 处的平面截这两个几何体， 可横截得到 S圆及 S环两截面 可以证明S圆S环总成立 据此， 短半轴长为1， 长半轴长为3的椭球体的体积是_ 解析：因为 S圆S环总成立，所以半椭球体的体积为 b2a13b2a23b2a， 所以椭球体的体积 V43b2a. 因为椭球体的短半轴长为 1，长半轴长为 3. 所以椭球体的体积 V43b2a431234. 答案：4 8(应用型)我国古代数学著作算法统宗第八卷“商功”第五章撰述：“刍荛(ch r o )：倍下长，加上长，以

15、广乘之，又以高乘，用六归之如屋脊：上斜下平”刘徽注曰：止斩方亭两边，合之即“刍甍”之形也即将方台的两边切下来合在一起就是“刍甍” ，是一种五面体(如图)：矩形 ABCD，棱 EFAB，AB4，EF2，ADE 和BCF 都是边长为2 的等边三角形，则此几何体的表面积为_，体积为_ 解析：由题意知该五面体的表面积 SS矩形ABCD2SADE2S梯形ABFE242122 2212212(24) 221288 3.过点 F 作 FO平面 ABCD，垂足为 O，取 BC 的中点 P，连接 PF，过点 F 作 FQAB，垂足为 Q，连接 OQ.因为ADE 和BCF都是边长为 2 的等边三角形，所以 OP12(ABEF)1，PF 2212 3，OQ12BC1，所以 OF PF2OP2 2， 采用分割的方法， 分别过点 F， E 作与平面 ABCD 垂直的平面，这两个平面把几何体分割成三部分， 如图， 包含一个三棱柱 EMN- FQH， 两个全等的四棱锥：E- AMND，F QBCH，所以这个几何体的体积 VVEMNFQH2VFQBCHSQFHMQ213S矩形QBCHFO122 2221312 210 23. 答案：88 3 10 23