2022届高三数学一轮复习（原卷版）第五节 三角恒等变换 教案.doc

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1、 1 第五节第五节 三角恒等变换三角恒等变换 核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向 1.结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相结合，考结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相结合，考查三角函数式的化简求值或求角问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养查三角函数式的化简求值或求角问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养 2与三角函数的性质相结合考查三角恒等变换的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素与三角函数的性质相结合考查三角恒等变换的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养养 理清主干知识理清主干知识 1两角和与差的正弦、余弦

2、、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C() cos()cos cos sin sin C() cos()cos_cos_sin_sin_ S() sin()sin_cos_cos_sin_ S() sin()sin_cos_cos_sin_ T() tan()tan tan 1tan tan ； 变形：变形：tan tan tan()(1tan tan ) T() tan()tan tan 1tan tan ； 变形：变形：tan tan tan()(1tan tan ) 提醒提醒 在公式在公式 T( )中中 ， 都不等于都不等于 k2(kZ)，即保证，即保证 tan ，tan ，ta

3、n( )都有意义都有意义 2二倍角公式二倍角公式 S2 sin 22sin_cos_； 变形变形：1sin 2(sin cos )2， 1sin 2(sin cos )2 C2 cos 2cos2sin22cos2112sin2； 变形：变形：cos21cos 22，sin21cos 22 T2 tan 22tan 1tan2 3辅助角公式辅助角公式 一般地，函数一般地，函数 f()asin bcos (a，b 为常数为常数)可以化为可以化为 f()a2b2sin( 2 ) 其中其中tan ba或或 f() a2b2cos() 其中其中tan ab. 澄清盲点误点澄清盲点误点 一、关键点练明一

4、、关键点练明 1(正用二倍角公式正用二倍角公式)若若 sin 13，则，则 cos 2( ) A.89 B79 C79 D89 答案：答案：B 2(正用两角差的正切公式正用两角差的正切公式)已知已知 tan 2，则，则 tan 4_. 答案：答案：13 3(逆用两角差的正弦公逆用两角差的正弦公式式)化简化简 cos 18 cos 42 cos 72 sin 42 的值为的值为_ 答案：答案：12 4(辅助角公式辅助角公式) 3cos 15 4sin215 cos 15 _. 解析：解析： 3cos 15 4sin215 cos 15 3cos 15 2sin 15 2sin 15 cos 15

5、 3cos 15 2sin 15 sin 30 3cos 15 sin 15 2cos(15 30 )2cos 45 2. 答案：答案： 2 二、易错点练清二、易错点练清 1(忽视角的范围忽视角的范围)已知锐角已知锐角 ， 满足满足 sin 1010，cos 2 55，则，则 ( ) A.34 B4 C.6 D34或或4 解析：解析：选选 B 因为因为 ， 为锐角，且为锐角，且 sin 101032，则，则 cos 3 1010，且，且 0，6，sin 55且且 0，6， 所以所以 sin()sin cos cos sin 10102 553 10105522. 又又 0，3，所以，所以 4.

6、 2(不会逆用公式致错不会逆用公式致错)化简：化简：cos 40cos 25 1sin 40_. 3 解析：解析：原式原式cos 40cos 25 1cos 50cos 40cos 25 2sin 25cos 4022sin 50 2. 答案：答案： 2 考点一考点一 三角函数式的化简求值三角函数式的化简求值 典例典例 化简：化简：2cos212tan 4 sin2 4_. 解析解析 法一：法一：原式原式 cos2sin221tan 1tan sin 4cos cos 4sin 2 cos2sin2 1tan 1tan cos sin 2 cos2sin2 1sin cos 1sin cos

7、cos sin 2 1. 法二：法二：原式原式cos 22tan 4 cos2 4 cos 22sin 4 cos 4 cos 2sin 22 cos 2cos 2 1. 答案答案 1 方法技巧方法技巧 三角函数式的化简要遵循三角函数式的化简要遵循“三看三看”原则原则 4 提醒提醒 化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等等 针对训练针对训练 已知已知 (0，)，化简：，化简： 1sin cos cos 2sin 222cos . 解：解：原式原式 2cos222sin 2cos 2 cos

8、2sin 24cos22. 因为因为 (0，)，所以，所以 cos 20， 所以原式所以原式 2cos222sin 2cos 2 cos 2sin 22cos 2 cos 2sin 2 cos 2sin 2cos22sin22 cos . 考点二考点二 三角函数的求值三角函数的求值 考法考法(一一) 给值给值(角角)求值求值 例例 1 (1)sin 47 sin 17 cos 30cos 17( ) A32 B12 C.12 D32 (2)若若 ， 均为锐角且均为锐角且 cos 17，cos()1114，则，则 sin 322 ( ) A12 B12 C32 D32 5 解析解析 (1)sin

9、 47 sin 17 cos 30cos 17 sin 17 30 sin 17 cos 30cos 17 sin 17 cos 30 cos 17 sin 30 sin 17 cos 30cos 17 sin 30 12. (2)， 均为锐角，均为锐角，0. cos 17，cos()1114， sin 4 37，sin()5 314. cos cos()cos()cos sin()sin 1114175 3144 3712. sin 322 cos 212cos212.故选故选 B. 答案答案 (1)C (2)B 方法技巧方法技巧 给值求值问题的求解思路给值求值问题的求解思路 (1)化简所求

10、式子化简所求式子 (2)观察已知条件与所求式子之间的联系观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手从三角函数名及角入手) (3)将已知条件代入所求式子，化将已知条件代入所求式子，化简求值简求值 考法考法(二二) 给值求角给值求角 例例 2 已知已知 A， B 均为钝角，均为钝角， sin2A2cos A35 1510， 且， 且 sin B1010， 则， 则 AB( ) A.34 B54 C.74 D76 解析解析 因为因为 sin2A2cos A35 1510， 所以所以1cos A212cos A32sin A5 1510， 即即1232sin A5 1510，解得解得 si

11、n A55. 因为因为 A 为钝角，为钝角， 所以所以 cos A 1sin2A 1 5522 55. 6 由由 sin B1010，且，且 B 为钝角，为钝角， 可得可得 cos B 1sin2B 1 101023 1010. 所以所以 cos(AB)cos Acos Bsin Asin B 2 55 3 101055101022. 又又 A，B 都为钝角，即都为钝角，即 A，B 2， ， 所以所以 AB(，2)，故，故 AB74.故选故选 C. 答案答案 C 方法技巧方法技巧 给值给值求角问题的解题策略求角问题的解题策略 (1)讨论所求角的范围讨论所求角的范围 (2)根据已知条件，选取合适

12、的三角函数求值根据已知条件，选取合适的三角函数求值 已知正切函数值，选正切函数；已知正切函数值，选正切函数； 已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是 0，2，选正、余弦函数皆可；，选正、余弦函数皆可；若角的范围是若角的范围是(0，)，选余弦函数较好；若角的范围为，选余弦函数较好；若角的范围为 2，2，选正弦函数较好，选正弦函数较好 (3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角 针对训练针对训练 1(2020 全国卷全国卷)已知已知 (0，)，且，且 3cos 28cos 5，则，则 sin

13、( ) A.53 B23 C.13 D.59 解析：解析：选选 A 3cos 28cos 5， 3(2cos21)8cos 5， 即即 3cos24cos 40，解得，解得 cos 23或或 cos 2(舍去舍去) (0，)，sin 1cos253.故选故选 A. 2(2020 全国卷全国卷)已知已知 2tan tan 47，则，则 tan ( ) A2 B1 C1 D2 7 解析：解析：选选 D 由已知得由已知得 2tan tan 11tan 7，解得，解得 tan 2. 3已知锐角已知锐角 ， 满足满足 sin 55，cos 3 1010，则，则 等于等于( ) A.34 B4或或34 C

14、.4 D2k4(kZ) 解析：解析：选选 C 由由 sin 55，cos 3 1010，且，且 ， 为锐角，可知为锐角，可知 cos 2 55，sin 1010，故故 cos()cos cos sin sin 2 553 101055101022，又，又 00)求周期；求周期； (3)根据自变量的范围确定根据自变量的范围确定 x 的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值； (4)根据正、余弦函数的单调区

15、间列不等式求函数根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数 yAsin(x)t 或或 yAcos(x)t的单调区间的单调区间 针对训练针对训练 设函数设函数 f(x)cos 2x cos xsin2(x)12. (1)求函数求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；的最小正周期和单调递增区间； (2)若若 f()3 2101，且，且 8，38，求，求 f 8的值的值 解：解：(1)f(x)sin xcos xsin2x1212(sin 2xcos 2x)122sin 2x41， f(x)的最小正周期的最小正周期 T22. 由由 2k22x42k2(kZ)， 得得 k38xk8(kZ)， f(x

16、)的单调递增区间为的单调递增区间为 k38，k8(kZ) (2)f()22sin 2413 2101， sin 2435. 由由 8，38知知 24 2， ， cos 2445. f 822sin 2 841 9 22sin 2441 22 sin 24cos 4cos 24sin 41 22 352245221310. 一、创新思维角度一、创新思维角度融会贯通学妙法融会贯通学妙法 三角中的三角中的“拆角拆角”“”“配角配角”技巧技巧 三角函数的计算是高考一个重要的考点，对于一些角的计算问题除了掌握两角和与差的三三角函数的计算是高考一个重要的考点，对于一些角的计算问题除了掌握两角和与差的三角函

17、数公式及倍角公式之外，还要掌握一些必要的角函数公式及倍角公式之外，还要掌握一些必要的“拆角拆角”“”“配角配角”的技巧，抓住题的技巧，抓住题设与设与结论中角的差异，利用公式，变不同的角为同角，实现角的转换，这样可以简化运算结论中角的差异，利用公式，变不同的角为同角，实现角的转换，这样可以简化运算“拆拆角角”“”“配角配角”是连接题设条件与待求结论的纽带，是三角函数求值的一种常用方法下面是连接题设条件与待求结论的纽带，是三角函数求值的一种常用方法下面就三角函数求值中的就三角函数求值中的“拆角拆角”“”“配角配角”技巧作一些总结技巧作一些总结 技巧技巧(一一) 利用特殊角进行利用特殊角进行“拆角拆

18、角” 例例 1 化简求值：化简求值：2cos 80 sin 70cos 70. 解解 原式原式2cos 60 20 sin 90 20 cos 90 20 2 cos 60 cos 20 sin 60 sin 20 cos 20sin 20 3sin 20sin 20 3. 名师微点名师微点 利用特殊角，达到角的转换，从而巧妙化简求值将利用特殊角，达到角的转换，从而巧妙化简求值将 80 拆成拆成 60 20 ，看起来好像将问题，看起来好像将问题复杂化了，但由于复杂化了，但由于 60 是特殊角，事实上问题变得简单了是特殊角，事实上问题变得简单了 技巧技巧(二二) 直接利用所求角与已知角的关系进行

19、直接利用所求角与已知角的关系进行“拆角拆角”“”“配角配角” 例例 2 已知已知 为锐角，且为锐角，且 cos 6513，求，求 cos 的值的值 解解 02，6623， sin 61213， cos cos 66cos 6cos6sin 6sin65 31226. 名师微点名师微点 此类问题不宜对已知角的三角函数用和此类问题不宜对已知角的三角函数用和(差差)角公式展开， 一般是根据已知角和所求角的关系角公式展开， 一般是根据已知角和所求角的关系 10 进行进行“拆角拆角”，将所求角用已知角表示，灵活处理已知、未知的关系同时要注意角的范，将所求角用已知角表示，灵活处理已知、未知的关系同时要注意

20、角的范围，适时地将角的范围尽可能地缩小围，适时地将角的范围尽可能地缩小 技巧技巧(三三) 利用所求角与已知角的关系，借助于诱利用所求角与已知角的关系，借助于诱导公式变形导公式变形“拆、配拆、配” 例例 3 已知已知 cos 435，232，求，求 cos 24的值的值 解解 232，3440，4是第四象限角，是第四象限角， sin 445， sin sin 44sin 4cos4cos 4sin422 45357 210. 同理，同理，cos 210， cos 24cos 4 cos 4cos sin 4sin 35 210 7 210 4531 250. 名师微点名师微点 对于这类问题，主要

21、是寻找已知和未知间的联系，这个联系就是解题的着手点，审题时要对于这类问题，主要是寻找已知和未知间的联系，这个联系就是解题的着手点，审题时要仔细分析条件与结论的关系，善于运用整体思想解题本题将仔细分析条件与结论的关系，善于运用整体思想解题本题将 4看成一个整体，则看成一个整体，则 24可转化为可转化为 4.那么， 只需由条件求那么， 只需由条件求 sin 4， sin 及及 cos 的值即可 而求的值即可 而求 sin 时，再将时，再将 转化为转化为 44即可即可 总之，在利用两角和总之，在利用两角和(差差)的余弦、正弦和正切公式时，不能机械地从表面上去套公式，而要的余弦、正弦和正切公式时，不能

22、机械地从表面上去套公式，而要变通地从本质上使用公式，分析已知条件和结论中角之间的相互关系，把所求的角拆分、变通地从本质上使用公式，分析已知条件和结论中角之间的相互关系，把所求的角拆分、配成某两个角配成某两个角(已知的两个角或者可以从已已知的两个角或者可以从已知的角简单变形就能得到的两个角知的角简单变形就能得到的两个角)的和或差， 并的和或差， 并且这两个角的正、余弦函数值和正切函数值是已知的或可求的且这两个角的正、余弦函数值和正切函数值是已知的或可求的 二、创新考查方式二、创新考查方式领悟高考新动向领悟高考新动向 1定义：定义： a bc dadbc，如，如 1 23 414232，则，则 c

23、os 45 sin 75sin 135 cos 105( ) A0 B32 C32 D1 解析：解析：选选 C 由题意得由题意得 cos 45 sin 75sin 135 cos 105cos 45 cos 105 sin 75 sin 135 cos 11 45 cos 75 sin 75 sin 45 cos(75 45 )cos 30 32. 2(多选多选)(2021 湘中名校联考湘中名校联考)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个著，书中有一个“引葭赴岸引葭赴岸”问题：问题：“今有池方一丈，葭生其中央出水一尺，今有池方一丈，葭生其中央

24、出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何？引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何？”其意思为今有水池其意思为今有水池 1 丈见方丈见方(即即CD10 尺尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为 1 尺将芦苇向池岸牵引，恰巧与尺将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接水岸齐接(如图所示如图所示)试问水深、芦苇的长度各是多少？假设试问水深、芦苇的长度各是多少？假设 BAC，则下列四个结论，则下列四个结论中正确的是中正确的是( ) A水深为水深为 12 尺尺 B芦苇长为芦苇长为 15 尺尺 Ctan223 Dtan 4177 解析：解析：选选 ACD 设设 BCx

25、，则，则 ACx1，AB5，52x2(x1)2，x12，即水，即水深为深为 12 尺，故芦苇长为尺，故芦苇长为 13 尺尺 tan 125.由由 tan 2tan21tan22， 解得解得 tan223(负值已舍去负值已舍去) tan 125，tan 41tan 1tan 177. 故正确的结论为故正确的结论为 A、C、D. 3.“赵爽弦图赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形方形(如图如图)，若大、小正方形的面积分别为，若大、小正方形的面积分别为 25 和和 1，直角三角形中较大的锐，直角三角形中较大的锐角为角为

26、 ，则，则 cos 2 等于等于( ) A.725 B725 C.925 D925 解析：解析：选选 B 因为大正方形的面积为因为大正方形的面积为 25，小正方形的面积为，小正方形的面积为 1，所以大正方形的边长为，所以大正方形的边长为 5，小正方形的边长为小正方形的边长为 1， 所以， 所以 5sin 5cos 1， 即， 即 sin cos 15， 两边平方得， 两边平方得 1 sin 2125，即，即 sin 22425.因为因为 是直角三角形中较大的锐角，所以是直角三角形中较大的锐角，所以42，所以，所以220， 2sin cos ，又又 sin2cos21， sin 55.故选故选

27、B. 3(2021 苏州模拟苏州模拟)若若 cos 633，则则 cos 3cos ( ) A2 23 B2 23 C1 D 1 解析解析：选选 C cos 3cos 12cos 32sin cos 32cos 32sin 3cos 61. 13 4tan 18 tan 12 33tan 18 tan 12 ( ) A. 3 B 2 C.22 D33 解析解析：选选 D tan 30 tan(18 12 )tan 18 tan 121tan 18 tan 1233，tan 18 tan 12 33(1tan 18 tan 12 )，原式原式33. 5若若 2， ，且且 3cos 2sin 4

28、，则则 sin 2 的值为的值为( ) A118 B118 C1718 D1718 解析解析：选选 C 由由 3cos 2sin 4 ，可得可得 3(cos2sin2)22(cos sin )，又由又由 2， ，可知可知 cos sin 0，于是于是 3(cos sin )22，所以所以 12sin cos 118，故故 sin 21718. 6已知已知 sin 2 12， 2，0 ，则则 cos 3的值为的值为_ 解析解析：由已知得由已知得 cos 12，sin 32， 所以所以 cos 312cos 32sin 12. 答案答案：12 二、综合练二、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度 1已知已

29、知 sin 6 cos 6 ，则，则 tan ( ) A1 B1 C.12 D0 解析：解析：选选 B sin 6 cos 6 ， 12cos 32sin 32cos 12sin ， 即即 3212sin 1232cos ， 14 tan sin cos 1. 2(多选多选)下列各式中，值为下列各式中，值为12的是的是( ) A.tan 22.51tan222.5 Btan 15 cos215 C.33cos21233sin212 D 1cos 602 解析解析：选选 ACD tan 22.51tan222.512tan 45 12， tan 15 cos215 sin 15 cos 15 1

30、2sin 30 14， 33cos21233sin21233cos 612， 1cos 602sin 30 12，选选 A、C、D. 3若若 sin()12，sin()13，则则tan tan 的值为的值为( ) A5 B1 C6 D16 解析解析：选选 A 由题意知由题意知 sin cos cos sin 12，sin cos cos sin 13， 所以所以 sin cos 512，cos sin 112，所以所以sin cos cos sin 5，即即tan tan 5.故选故选 A. 4(2020 全国卷全国卷)已知已知 sin sin 31，则则 sin 6( ) A.12 B33

31、C.23 D22 解析解析：选选 B sin sin 332sin 32cos 3sin 61，sin 633.故故选选 B. 5(2021 辽宁八校联考辽宁八校联考)已知已知 cos 2 3sin 76，则则 tan 12 ( ) A42 3 B2 34 C44 3 D4 34 解析解析： 选选 B 由题意可得由题意可得sin 3sin 6， 即即 sin 12123sin 1212， 15 sin12 cos 12cos 12sin 123sin 12cos 12 3cos 12sin 12，整理可得整理可得tan 122tan 122tan 46 2tan 4tan 61tan 4tan

32、 62 34.故选故选 B. 6.17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形， 它是一个顶角为之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形， 它是一个顶角为36 的等腰三角形的等腰三角形(另一种是顶角为另一种是顶角为 108

33、 的等腰三角形的等腰三角形)例如，五角星由五个黄金三角形与例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，中，BCAC512.根据这些信息，可根据这些信息，可得得 sin 234 ( ) A.12 54 B3 58 C514 D4 58 解析：解析：选选 C 由图可知，由图可知，ACB72 ， 且且 cos 72 12BCAC514， cos 144 2cos272 1514. 则则 sin 234 sin(144 90 )cos 144 514. 7设当设当 x 时，函数时，函数 f(x)sin x2cos x 取

34、得最大值，则取得最大值，则 cos ( ) A.2 55 B55 C2 55 D55 解析：解析： 选选 C 利用辅助角公式可得利用辅助角公式可得 f(x)sin x2cos x 5sin(x)， 其中， 其中 cos 55， sin 2 55.当函数当函数 f(x)sin x2cos x 取得最大值时，取得最大值时，2k2(kZ)，2k2(kZ)，则，则 cos cos 2k2 sin 2 55(kZ)故选故选 C. 8设设 0 90 ，若，若 sin(75 2)35，则，则 sin(15 ) sin(75 )( ) 16 A.110 B220 C110 D220 解析：解析：选选 B 因为

35、因为 0 90 ，所以，所以 75 75 2255 .又因为又因为 sin(75 2)350，所以，所以180 75 20，2 2， ， 4，2且且 cos 22 55. 又又sin()1010， ，32， 2，54，cos()3 1010， cos()cos()2 cos()cos 2sin()sin 2 3 1010 2 5510105522， 又又 54，2 ，74. 10化简：化简：1cos 803sin 80_. 解析：解析：1cos 803sin 80sin 80 3cos 80sin 80 cos 80 2sin 80 60 12sin 1602sin 2012sin 204.

36、17 答案：答案：4 11已知已知 4，34 ， 0，4，且，且 cos 4 35，sin 54 1213，则，则 cos()_. 解析：解析： 4，34 ，4 2，0 ， 又又 cos 4 35，sin 4 45. sin 54 1213，sin 4 1213. 又又 0，4，4 4，2， cos 4 513， cos()cos 4 4 cos 4 cos 4 sin 4 sin 4 513351213453365. 答答案案：3365 12已知方程已知方程 x23ax3a10(a1)的两根分别为的两根分别为 tan ，tan ，且且 ， 2，2，则则_. 解析解析：依题意有依题意有 tan

37、 tan 3a，tan tan 3a1， tan()tan tan 1tan tan 3a1 3a1 1. 又又 tan tan 0， tan 0 且且 tan 0， 20 且且20， 即即0，结合结合 tan()1， 得得 34. 答案答案：34 13已知已知 A，B 均为锐角均为锐角，cos(AB)2425，cos B345，则则 cos A3_. 18 解析解析：因为因为 A，B 均为锐角均为锐角，cos(AB)2425，cos B345，所以所以2AB，2B356，所以所以 sin(AB) 1cos2 AB 725， sin B3 1cos2 B335. 所以所以 cos A3cos

38、AB B32425 4572535117125. 答案答案：117125 14已知函数已知函数 f(x)2 3sin xcos x2cos2x1(xR) (1)求函数求函数 f(x)的最小正周期及在区间的最小正周期及在区间 0，23上的最大值和最小值上的最大值和最小值； (2)若若 f(x0)65，x0 0，3，求求 cos 2x0的值的值 解解：(1)由由 f(x)2 3sin xcos x2cos2x1， 得得 f(x) 3(2sin xcos x)(2cos2x1) 3sin 2xcos 2x2sin 2x6， 函数函数 f(x)的最小正周期为的最小正周期为 . 易知易知 f(x)2si

39、n 2x6在区间在区间 0，3上为增函数，上为增函数， 在区间在区间 3，23上为减函数，上为减函数， 又又 f(0)1，f 32，f 231， 函数函数 f(x)在在 0，23上的最大值为上的最大值为 2，最小值为，最小值为1. (2)2sin 2x0665，sin 2x0635. 又又 x0 0，3，2x06 6，2， cos 2x0645. cos 2x0cos 2x066 cos 2x06cos6sin 2x06sin6 453235124 3310. 19 15持续高温使某市多地出现干旱，城市用水紧张，持续高温使某市多地出现干旱，城市用水紧张，为了宣传节约用水，某人准备在一片为了宣传

40、节约用水，某人准备在一片扇形区域扇形区域(如图如图 1)上按照图上按照图 2 的方式放置一块矩形的方式放置一块矩形 ABCD 区域宣传节约用水，其中顶点区域宣传节约用水，其中顶点 B，C 在半径在半径 ON 上， 顶点上， 顶点 A 在半径在半径 OM 上， 顶点上， 顶点 D 在在NM上，上， MON6，ONOM10 m，设设DON，矩形，矩形 ABCD 的面积为的面积为 S. (1)用含用含 的式子表示的式子表示 DC，OB 的长；的长； (2)若此人布置若此人布置 1 m2的宣传区域需要花费的宣传区域需要花费 40 元，试将元，试将 S 表示为表示为 的函数，并求布置此的函数，并求布置此矩形矩形宣传栏最多要花费多少元钱？宣传栏最多要花费多少元钱？ 解：解：(1)在在ODC 中，中，DC10sin ， 在在OAB 中，中，OB10sin tan610 3sin . (2)在在ODC 中中 OC10cos ， 从而从而 SBCCD100(cos sin 3sin2) 100 12sin 23 1cos 2 2 100 12sin 232cos 232 100sin 2350 3，06， 当当 232，即，即 12时，时，S 取得最大值取得最大值 10050 313.4， 所以布置此矩形宣传栏最多要花费所以布置此矩形宣传栏最多要花费 13.440536 元元