通用版2020版高考数学大一轮复习第8讲指数与指数函数学案理新人教A版20190313383_20210103224758.docx

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1、第8讲指数与指数函数1.根式n次方根概念如果xn=a,那么x叫作a的,其中n>1,nN* 性质当n是时,a的n次方根为x= na当n是时,正数a的n次方根为x=±na,负数的偶次方根 0的任何次方根都是0,记作n0=0根式概念式子na叫作,其中n叫作,a叫作 性质当n为奇数时,nan= 当n为偶数时,nan=|a|= 2.有理数指数幂(1)幂的有关概念正数的正分数指数幂:amn=nam(a>0,m,nN*,且n>1).正数的负分数指数幂:a-mn=1amn=1nam(a>0,m,nN*,且n>1

2、).0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂. (2)有理数指数幂的性质aras=(a>0,r,sQ); (ar)s=(a>0,r,sQ); (ab)r=(a>0,b>0,rQ). 3.指数函数的图像与性质y=ax(a>0且a1)a>10<a<1图像定义域R值域 性质过定点 当x>0时,; 当x<0时, 当x>0时,; 当x<0时, 在R上是 在R上是 常用结论1.函数y=ax+b(a>0且a1)的图

3、像恒过定点(0,1+b).2.指数函数y=ax(a>0且a1)的图像以x轴为渐近线. 题组一常识题1.教材改编 若x+x-1=3,则x2-x-2=. 2.教材改编 已知2x-1<23-x,则x的取值范围是. 3.教材改编 函数y=ax-1+2(a>0且a1)的图像恒过定点. 4.教材改编 下列所给函数中值域为(0,+)的是. y=-5x;y=131-x;y=12x-1;y=1-2x.题组二常错题索引:忽略n的范围导致式子nan(aR)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指数函数问题时刻注意底数的两种情况;复合函数问题容易忽略指数函

4、数的值域致错.5.计算3(1+2)3+4(1-2)4=. 6.若函数f(x)=(a2-3)·ax为指数函数,则a=. 7.若函数f(x)=ax在-1,1上的最大值为2,则a=. 8.函数y=21x-1的值域为. 探究点一指数幂的化简与求值例1 (1)计算:823-780+4(3-)4+(-2)612=. (2)已知x12+x-12=5,则x2+x-2-6x+x-1-5的值为.    总结反思 指数幂运算的一般原则:(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算.(2)

5、先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.变式题 (1)计算:2x-1312x13+x43=()A.3B.2C.2+xD.1+2x(2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则a-ba+b=. 探究点二指数函数的图像及应用例2 (1)函数y=xax|x|(a>1)的图像大致是()A BC D图2-8-1(2)2018·辽阳一模 设函数f(x)=|2x-1|,x2,-x+5,x>2,

6、若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是()A.(16,32)B.(18,34)C.(17,35)D.(6,7)   总结反思 (1)研究指数函数y=ax(a>0,a1)的图像要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),-1,1a.(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求解.变式题 (1)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图像如图2-8-2所示,则函

7、数g(x)=ax+b的图像大致是()图2-8-2ABCD图2-8-3(2)函数f(x)=|ax+b|(a>0,a1,bR)的图像如图2-8-4所示,则a+b的取值范围是. 图2-8-4探究点三利用指数函数的性质解决有关问题微点1比较指数式的大小例3 (1)2018·凯里一中二模 已知a=0.5-2.1,b=20.5,c=0.22.1,则a,b,c的大小关系是()A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b(2)2018·杭州一中模拟 已知0<a<b<1,则()A.(1-a)1b&g

8、t;(1-a)bB.(1-a)b>(1-a)b2C.(1+a)a>(1+b)bD.(1-a)a>(1-b)b  总结反思 指数式的大小比较,依据的就是指数函数的单调性,原则上化为同底的指数式,并要注意底数范围是(0,1)还是(1,+),若不能化为同底,则可化为同指数,或利用中间变量比较.微点2解简单的指数方程或不等式例4 (1)已知函数f(x)=a+14x+1的图像过点1,-310,若-16f(x)0,则实数x的取值范围是. (2)方程4x+|1-2x|=11的解为.   总结反思 (1)af(x)=ag(x)f(x)=g(x

9、).(2)af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0<a<1时,等价于f(x)<g(x).(3)有些含参指数不等式,需要分离变量,转化为求有关函数的最值问题.微点3指数函数性质的综合问题例5 (1)2018·遵义联考 函数f(x)=a+bex+1(a,bR)是奇函数,且图像经过点ln3,12,则函数f(x)的值域为() A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-3,3)D.(-4,4)(2)已知f(x)=2x-a2x+1(aR)的图像关于坐标原点对称,若存在x0,1,使不等式f(x)+2x-b2x+1<0成立,则实数b的

10、取值范围为.    总结反思 指数函数的综合问题,主要涉及单调性、奇偶性、最值问题,应在有关性质的基础上,结合指数函数的性质进行解决,而指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化.应用演练1.【微点1】已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a2.【微点1】2018·河南八市联考 设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a2)在区间(0,+)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=1a0

11、.1的大小关系是()A.M=NB.MNC.M<ND.M>N3.【微点2】当x(-,-1时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-1,2)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(-2,1)4.【微点2】若关于x的方程|ax-1|=2a(a>0且a1)有两个不等实根,则a的取值范围是()A.(0,1)(1,+)B.(0,1)C.(1,+)D.0,125.【微点3】已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a1)的图像经过点A(1,6),B(3,24).若不等式1ax+1bx-m0,x(-,1恒成立,则

12、实数m的取值范围为. 第8讲指数与指数函数考试说明 1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.2.指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点,会画底数为2,3,10,12,13的指数函数的图像.(3)知道指数函数是一类重要的函数模型.【课前双基巩固】知识聚焦1.n次方根奇数偶数没有意义根式根指数被开方数aa(a0),-a(a<0)2.(1)0没有意义(2)ar+sarsarbr3.(0,+)(0,1)y>10<y<10<y<1y>1增函数减函数对

13、点演练1.±35解析 把x+x-1=3两边平方,可得x2+x-2=7,则(x-x-1)2=x2-2+x-2=5,所以x-x-1=±5,所以x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±35.2.(-,2)解析 根据指数函数性质,得x-1<3-x,解得x<2,所以x的取值范围是(-,2).3.(1,3)解析 令x-1=0,得x=1,此时y=a0+2=3,所以函数图像恒过定点(1,3).4.解析 对于,1-xR,y=131-x的值域是(0,+);的值域为(-,0);的值域为0,+);的值域为0,1).5.22解析 3(1+2)3+4(1-2)4=1+2+|

14、1-2|=22.6.2解析 由指数函数的定义可得a2-3=1,a>0,a1,解得a=2.7.2或12解析 若a>1,则f(x)max=f(1)=a=2;若0<a<1,则函数f(x)max=f(-1)=a-1=2,得a=12.8.y|y>0且y1解析 函数的定义域为x|x1,因为1x-10,所以y1,又指数函数y=2x的值域为(0,+),故所求函数的值域为y|y>0且y1.【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)直接利用指数幂的运算法则求解即可,解答过程中注意避免符号错误;(2)由已知平方得x+x-1的值,再平方可得x2+x-2的值,最后代入求值.(1)+8(2)

15、-12解析 (1)823-780+4(3-)4+(-2)612=23×23-1+(-3)+26×12=22-1+-3+23=4+-4+8=+8.(2)由已知可得x+x-1=(x12+x12)2-2=3,则x2+x-2=(x+x-1)2-2=7,故原式=7-63-5=-12.变式题(1)D(2)55解析 (1)原式=2x13·12x13+2x13·x43=1+2x.(2)由已知得,a+b=6,ab=4,所以a-ba+b2=a+b-2aba+b+2ab=6-246+24=15.因为a>b>0,所以a>b,所以a-ba+b=55.例2思路点拨

16、 (1)化简所给的解析式,然后结合选项进行判断;(2)作出函数图像,结合图像可知2a+2b=2,再分析2c的范围求解.(1)B(2)B解析 (1)由题意得y=xax|x|=ax,x>0,-ax,x<0.a>1,当x>0时,函数为增函数;当x<0时,函数为减函数.结合各选项可得B满足题意.故选B.(2)画出函数f(x)的图像如图所示.不妨令a<b<c,则1-2a=2b-1,则2a+2b=2.结合图像可得4<c<5,故16<2c<32,18<2a+2b+2c<34.故选B.变式题(1)A(2)(0,+)解析 (1)由函数

17、f(x)=(x-a)(x-b)的图像可得0<a<1,b<-1,故g(x)=ax+b的大致图像为选项A中的图像.(2)根据图像得a>1,f12=0,b<0,所以a+b=0,所以a+b=a-a>1-1=0.例3思路点拨 (1)将a,b化为同底的指数式,利用指数函数y=2x的单调性比较a,b的大小,再估算c,从而得a,b,c的大小关系;(2)根据指数函数的单调性,即当底数大于1时单调递增,当底数大于0小于1时单调递减,对选项逐一验证即可得到正确答案.(1)A(2)D解析 (1)因为a=0.5-2.1=22.1>20.5>1,所以a>b>1,

18、又因为c=0.22.1<0.20=1,所以a>b>c,故选A.(2)因为0<a<1,所以0<1-a<1,所以y=(1-a)x是减函数,又因为0<b<1,所以1b>b,b>b2,所以(1-a)1b<(1-a)b,(1-a)b<(1-a)b2,所以A,B均错误; 又1<1+a<1+b,所以(1+a)a<(1+b)a<(1+b)b,所以C错误;对于D,(1-a)a>(1-a)b>(1-b)b,所以(1-a)a>(1-b)b,所以D正确.故选D.例4思路点拨 (1)先确定a的值,再结

19、合指数函数的单调性求解;(2)分情况讨论去掉绝对值,解相应的指数方程.(1)0x12(2)x=log23解析 (1)由题意知f(1)=a+14+1=a+15=-310,则a=-12.因为-16f(x)0,所以-1614x+1-120,所以1314x+112,所以24x+13,所以14x2,解得0x12.(2)当x0时,1-2x0,原方程即为4x-2x-10=0,可得2x=12+412,此时x>0,故舍去.当x>0时,1-2x<0,原方程即为4x+2x-12=0,可得2x=3,则x=log23,即为原方程的解.例5思路点拨 (1)根据条件先确定a,b的值,再依据指数函数的单调性

20、及值域确定函数f(x)的值域;(2)由函数f(x)为奇函数,确定a的值,将不等式分离变量,转化成b>g(x)的形式,从而转化为考查函数g(x)的最小值问题.(1)A(2)b>2解析 (1)函数f(x)为奇函数,则f(0)=a+b2=0,函数图像过点ln3,12,则f(ln 3)=a+b4=12.结合可得a=1,b=-2,则f(x)=1-2ex+1.因为ex>0,所以ex+1>1,所以0<2ex+1<2,所以-1<1-2ex+1<1,即函数f(x)的值域为(-1,1).(2)由题意知f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,得a=1,所以f(x)=

21、2x-12x+1.设h(x)=2x-12x+1+2x-b2x+1=(2x)2+2x+1-1-b2x+1,由题设知h(x)<0在0,1内有解,即不等式(2x)2+2x+1-1-b<0在0,1内有解,即b>(2x)2+2x+1-1在0,1内有解.设g(x)=(2x)2+2x+1-1,x0,1,而函数y=2x,y=2x+1在定义域内均单调递增,所以g(x)=(2x)2+2x+1-1在0,1上单调递增,所以g(x)min=g(0)=2,所以b>2.应用演练1.A解析 因为函数f(x)=0.4x在R上为减函数,所以0.40.6<0.40.2<0.40=1,又因为20.

22、2>20=1,所以20.2>0.40.2>0.40.6,即a>b>c.故选A.2.D解析 因为f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a2)在区间(0,+)上具有不同的单调性,所以a>2,所以M=(a-1)0.2>1,N=1a0.1<1,所以M>N,故选D.3.A解析 由题意知当x(-,-1时,m2-m<2x4x=12x恒成立,当x(-,-1时,12x2,+),则m2-m<2,解得-1<m<2,故选A.4.D解析 方程|ax-1|=2a(a>0且a1)有两个不等实根可转化为函数y=|ax-1|与y=2

23、a的图像有两个不同交点. 当0<a<1时,两函数图像如图,则0<2a<1,即0<a<12;当a>1时,两函数图像如图,而y=2a>1,不符合题意. 故0<a<12.5.-,56解析 把A(1,6),B(3,24)代入f(x)=b·ax,得6=ab,24=b·a3,结合a>0且a1,解得a=2,b=3,所以f(x)=3·2x.要使12x+13xm,x(-,1恒成立,只需函数y=12x+13x在(-,1上的最小值不小于m即可.因为函数y=12x+13x在(-,1上为减函数,所以当x=1时,y=12x+1

24、3x取得最小值56,所以只需m56即可,即m的取值范围为-,56.【备选理由】 例1为指数幂的运算,涉及换元运算和指数运算,技巧性较强;例2为分段函数与函数不等式结合问题,需要分区间处理,考查函数的单调性;例3为含参不等式,进一步熟悉分离变量以及转化与化归思想;例4考查了求解指数方程、指数函数的单调性、不等式恒成立问题,要善于使用分离变量法求解.例1配合例1使用 已知a23=2+3,则a+a-1a13+a13的值为. 答案 3解析 设a13=t,则t2=2+3,则a+a-1a13+a13=t3+1t3t+1t=t2+1t2-1=2+3+12+3-1=3.例2配合例4使用 2018&#

25、183;河南林州一中调研 已知函数f(x)=2x-1,x>1,1,x1,则不等式f(x)<f2x的解集是. 答案 (0,2)解析 当x2时,2x1,不等式无解;当1<x<2时,1<2x<2,结合函数的单调性,由不等式f(x)<f2x得x<2x,得1<x<2;当0<x1时,2x2,不等式恒成立;当x<0时,2x<0,不等式无解.综上可得,不等式f(x)<f2x的解集是(0,2).例3配合例5使用 若不等式1+2x+4x·a>0在x(-,1时恒成立,则实数a的取值范围是. 答案

26、-34,+解析 从已知不等式中分离出实数a,得a>-14x+12x.函数y=14x和y=12x在R上都是减函数,当x(-,1时,14x14,12x12,14x+12x14+12=34,从而得-14x+12x-34.故实数a的取值范围为a>-34.例4配合例5使用 已知定义在R上的函数f(x)=2x-12x.(1)若f(x)=32,求x的值;(2)若2tf(2t)+mf(t)0对任意t1,2恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)由f(x)=322x-12x=322·(2x)2-3·2x-2=0(2x-2)(2·2x+1)=0.2x>0,2x=2,x=1.(2)由2tf(2t)+mf(t)02t22t-122t+m2t-12t0m(2t-2-t)-2t(22t-2-2t).又t1,2,2t-2-t>0,m-2t(2t+2-t),即m-22t-1,故只需m(-22t-1)max.令y=-22t-1,t1,2,可得ymax=-22-1=-5,故m-5.13