2022届高三数学一轮复习（原卷版）第3讲　函数的奇偶性及周期性.doc

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1、 第 3 讲 函数的奇偶性及周期性 一、知识梳理 1函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x， 都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)是偶函数 关于 y 轴对称 奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x， 都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)是奇函数 关于原点对称 注意 奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件 2函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(

2、x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 注意 不是所有的周期函数都有最小正周期，如 f(x)5. 常用结论 1函数奇偶性常用结论 (1)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|) (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 (3)在公共定义域内有：奇 奇奇，偶 偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇 2函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0) (2)若 f(

3、xa)1f（x），则 T2a(a0) (3)若 f(xa)1f（x），则 T2a(a0) 二、教材衍化 1下列函数中为偶函数的是( ) Ayx2sin x Byx2cos x Cy|ln x| Dy2x 解析：选 B根据偶函数的定义知偶函数满足 f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数故选 B 2 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 函 数 ， 当 x 1 ， 1) 时 ， f(x) 4x22，1x0，x，0 x1， 则 f32_ 解析：由题意得，f32f124

4、12221. 答案：1 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(x)f(x)0.( ) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点( ) (3)如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)f(x)g(x)是偶函数( ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件( ) (5)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ，n0)也是函数的周期( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 二、易错纠偏 常见误区| (1)利用奇偶性求解析式忽视定义域； (2)周期不能正确求出从而结果求错

5、1已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x(1x)，则 x0 时，f(x)_ 解析：当 x0 时，则x0，所以 f(x)(x)(1x)又 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)(x)(1x)，所以 f(x)x(1x) 答案：x(1x) 2已知函数 f(x)满足 f(x2)1f（x）.当 1x3 时，f(x)x，则 f(105)_ 解析：因为 f(x2)1f（x），所以 f(x4)f(x)，故 4 为函数 f(x)的一个周期f(105)f(4261)f(1)1. 答案：1 考点一 函数的奇偶性(基础型) 复习指导| 结合具体函数了解奇偶性的含义，并运用函数图象理解和

6、研究函数的性质 核心素养：数学抽象、直观想象 角度一 判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)x31x； (2)f(x) x21 1x2； (3)f(x)x22，x0，0，x0，x22，x0. 【解】 (1)原函数的定义域为x|x0，关于原点对称， 并且对于定义域内的任意一个 x 都有 f(x)(x)31xx31xf(x)， 从而函数 f(x)为奇函数 (2)f(x)的定义域为1，1，关于原点对称 又 f(1)f(1)0，f(1)f(1)0， 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数 (3)f(x)的定义域为 R，关于原点对称， 当 x0 时，f(x)(x)22(x22)f(x)； 当

7、 x0 时，f(x)(x)22(x22)f(x)； 当 x0 时，f(0)0，也满足 f(x)f(x) 故该函数为奇函数 判定函数奇偶性的 3 种常用方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法 设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇； 复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶” 提醒 对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在 x0使 f(x0)f(x0)，不能判断函数 f(x)是奇函数 角度二 函数奇偶性的应用 (2019 高考全国卷)设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)ex1，则当 x0 时，f(

8、x)( ) Aex1 Bex1 Cex1 Dex1 【解析】 通解：依题意得，当 x0 时，f(x)x2x，则当 x0 时，函数 f(x)的最大值为_ 解析：法一：当 x0，所以 f(x)x2x. 又因为函数 f(x)为奇函数， 所以 f(x)f(x)x2xx12214， 所以当 x0 时，f(x)x2xx12214，最小值为14， 因为函数 f(x)为奇函数，所以当 x0 时，函数 f(x)的最大值为14. 答案：14 考点二 函数的周期性(基础型) 复习指导| 结合具体函数了解函数的周期性 核心素养：数学抽象 (1)(2020 广东六校第一次联考)在 R 上函数 f(x)满足 f(x1)f

9、(x1)，且 f(x)xa，1x0|2x|，0 x1，其中 aR，若 f(5)f(4.5)，则 a( ) A0.5 B1.5 C2.5 D3.5 (2)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时，f(x)x3x，则函数 yf(x)的图象在区间0，4上与 x 轴的交点的个数为( ) A2 B3 C4 D5 【解析】 (1)由 f(x1)f(x1)， 得 f(x)是周期为 2 的函数， 又 f(5)f(4.5)， 所以 f(1)f(0.5)，即1a1.5，所以 a2.5.故选 C (2)当 0 x2 时，令 f(x)x3xx(x21)0，所以 yf(x)的图象与 x

10、轴交点的横坐标分别为 x10，x21. 当 2x4 时，0 x22，又 f(x)的最小正周期为 2，所以 f(x2)f(x)，所以 f(x)(x2)(x1)(x3)，所以当 2x4 时，yf(x)的图象与 x 轴交点的横坐标分别为 x32，x43.又 f(4)f(2)f(0)0，综上可知，共有 5 个交点 【答案】 (1)C (2)D 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期性只需证明 f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题 (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若 T 是

11、函数的周期，则 kT(kZ 且 k0)也是函数的周期 已知定义在 R 上的函数满足 f(x2)1f（x），当 x(0，2时，f(x)2x1.则 f(17)_，f(20)_ 解析： 因为 f(x2)1f（x）， 所以 f(x4)1f（x2）f(x)， 所以函数 yf(x)的周期 T4. f(17)f(441)f(1)1. f(20)f(444)f(4)f(22)1f（2）122113. 答案：1 13 考点三 函数性质的综合问题(综合型) 复习指导| 解决函数综合问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解 角度一 单调性与奇偶性的综合问题 已知定义域为(1，1)的奇函数

12、 f(x)是减函数，且 f(a3)f(9a2)0，则实数 a的取值范围是( ) A(2 2，3) B(3， 10) C(2 2，4) D(2，3) 【解析】 由 f(a3)f(9a2)0 得 f(a3)f(9a2) 又由奇函数性质得 f(a3)f(a29)因为 f(x)是定义域为(1，1)的减函数，所以1a31，1a29a29，解得 2 2af(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响 角度二 周期性与奇偶性的综合问题 (一题多解)(2020 武昌区调研考试)已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数， 且函数 yf(x1)为偶

13、函数，当 0 x1 时，f(x)x3，则 f52_ 【解析】 法一：因为 f(x)是 R 上的奇函数，yf(x1)为偶函数，所以 f(x1)f(x1)f(x1)，所以 f(x2)f(x)，f(x4)f(x)，即 f(x)的周期 T4，因为 0 x1 时，f(x)x3，所以 f52f524 f32f32f112f12f1218. 法二：因为 f(x)是 R 上的奇函数，yf(x1)为偶函数，所以 f(x1)f(x1)f(x1)，所以 f(x2)f(x)，由题意知，当1x0 时，f(x)x3，故当1x1 时，f(x)x3，当 1x3 时，1x21，f(x)(x2)3，所以 f52522318. 【

14、答案】 18 【迁移探究】 (变条件)本例变为：已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且函数 yf(x1)为奇函数，当 0 x1 时，f(x)x2，则 f52_ 解析：因为 f(x)是 R 上的偶函数，yf(x1)为奇函数， 所以 f(x1)f(x1)f(x1)， 所以 f(x2)f(x)，f(x4)f(x)，即 f(x)的周期 T4，因为 0 x1，f(7)a，则实数 a 的取值范围为( ) A(，3) B(3，) C(，1) D(1，) 解析：选 D因为 f(x3)f(x)，所以 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的周期函数，所以 f(7)f(79)f(2)又因为函数 f(x)是偶

15、函数， 所以 f(2)f(2)，所以 f(7)f(2)1， 所以 a1，即 a(1，)故选 D 4若 f(x)是定义在(，)上的偶函数，x1，x20，)(x1x2)，有f（x2）f（x1）x2x10，则( ) Af(3)f(1)f(2) Bf(1)f(2)f(3) Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(2)f(1) 解析：选 D因为x1，x20，)(x1x2)，有f（x2）f（x1）x2x10，所以当 x0 时，函数 f(x)为减函数，因为 f(x)是定义在(，)上的偶函数，所以 f(3)f(2)f(1)， 即 f(3)f(2)0，a， x0，g（2x）， x0为奇函数，则 a_，f(g(

16、2)_ 解析：因为 f(x)是 R 上的奇函数 ，所以 f(0)0，即 a0，若 x0，则 f(x)f(x)，即 f(x)f(x)，则 g(2x)(x22x1)，令 x1，则 g(2)(121)2，f(2)f(2)(441)7，故 f(g(2)7. 答案：0 7 8定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(2x)及 f(x)f(x)，且在0，1上有 f(x)x2，则 f2 01912_ 解析：函数 f(x)的定义域是 R，f(x)f(x)，所以函数 f(x)是奇函数. 又 f(x)f(2x)，所以 f(x)f(2x)f(x)， 所以 f(4x)f(2x)f(x)， 故函数 f(x)是以

17、4 为周期的奇函数，所以 f2 01912f2 02012f12f12.因为在0，1上有 f(x)x2，所以 f1212214， 故 f2 0191214. 答案：14 9 设 f(x)是定义域为 R 的周期函数， 最小正周期为 2， 且 f(1x)f(1x)， 当1x0时，f(x)x. (1)判定 f(x)的奇偶性； (2)试求出函数 f(x)在区间1，2上的表达式 解：(1)因为 f(1x)f(1x)，所以 f(x)f(2x) 又 f(x2)f(x)，所以 f(x)f(x) 又 f(x)的定义域为 R， 所以 f(x)是偶函数 (2)当 x0，1时，x1，0， 则 f(x)f(x)x； 从

18、而当 1x2 时，1x20， f(x)f(x2)(x2)x2. 故 f(x)x，x1，0，x，x（0，1），x2，x1，2. 10设 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x. (1)求 f()的值； (2)当4x4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成的图形的面积 解：(1)由 f(x2)f(x)，得 f(x4)f(x2)2)f(x2)f(x)， 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数 所以 f()f(14)f(4) f(4)(4)4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x2)f(x)， 得 f(x1)2)f(x1)f(x1)， 即 f(1x)f(1x

19、) 从而可知函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称 又当 0 x1 时，f(x)x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示 设当4x4 时， f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S， 则 S4SOAB412214. 综合题组练 1(多选)(创新型)如果定义在 R 上的奇函数 yf(x)，对任意两个不相等的实数 x1，x2，都有 x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，则称函数 yf(x)为“H 函数”下列函数为“H 函数”的是( ) Af(x)sin x Bf(x)3x13x Cf(x)x33x Df(x)x|x| 解析：选 BD根据题意，

20、对于任意的不相等的实数 x1，x2，都有 x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)恒成立，则有(x1x2)f(x1)f(x2)0 恒成立，即函数 f(x)是定义在 R 上的增函数，则“H 函数”为奇函数且在 R 上为增函数对于 A，f(x)sin x 为正弦函数，是奇函数但不是增函数，不符合题意； 对于 B，f(x)3x3xf(x)，故 f(x)为奇函数，由指数函数性质可得 f(x)在 R 上单调递增，符合题意； 对于 C，f(x)x33x 为奇函数，但在 R 上不是增函数，不符合题意； 对于 D，f(x)x|x|x2，x0，x2，x0为奇函数且在 R 上为增函数，符合题意，故

21、选 BD 2(多选)(综合型)函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x1)与 f(x2)都为奇函数，则( ) Af(x)为奇函数 Bf(x)为周期函数 Cf(x3)为奇函数 Df(x4)为偶函数 解析：选 ABC根据题意 f(x1)为奇函数，所以 f(x)的图象关于(1，0)对称，所以 f(x1)f(1x)， 同理，f(x2)为奇函数，则 f(x)的图象关于(2，0)对称，所以 f(x2)f(2x)， 所以 f(x1)1f2(x1)f(1x)，由式知 f(x2)f(x1)，所以 T1， 所以 f(x)是周期函数， 有一个周期是 2， 故 B 选项正确， 因为 f(x1)f(1x)f(x)， 所

22、以 f(x)关于(0，0)对称，故 A 选项正确，由 T2 及 f(x)关于(1，0)对称知 f(x)关于(3，0)对称， 所以 f(x3)关于(0，0)对称，故 C 选项正确故为 ABC 3已知函数 f(x)x2x1x21，若 f(a)23，则 f(a)_ 解析：根据题意，f(x)x2x1x211xx21，而 h(x)xx21是奇函数，故 f(a)1h(a)1h(a)21h(a)2f(a)22343. 答案：43 4定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(x)且 f(x)在1，0上是 增函数，给出下列几个命题： f(x)是周期函数； f(x)的图象关于

23、x1 对称； f(x)在1，2上是减函数； f(2)f(0)， 其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出来) 解析：因为 f(xy)f(x)f(y)对任意 x，yR 恒成立 令 xy0， 所以 f(0)0.令 xy0，所以 yx， 所以 f(0)f(x)f(x) 所以 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数 因为 f(x)在 x1，0上为增函数，又 f(x)为奇函数，所以 f(x)在0，1上为增函数 由 f(x2)f(x)f(x4)f(x2) f(x4)f(x)， 所以周期 T4， 即 f(x)为周期函数 f(x2)f(x)f(x2)f(x) 又因为 f(x)为奇函数， 所以 f(

24、2x)f(x)， 所以函数关于 x1 对称 由 f(x)在0，1上为增函数， 又关于 x1 对称， 所以 f(x)在1，2上为减函数 由 f(x2)f(x)，令 x0 得 f(2)f(0)f(0) 答案： 5设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数 x 有 f32x f32x 成立 (1)证明 yf(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若 f(1)2，求 f(2)f(3)的值 解：(1)由 f32x f32x ， 且 f(x)f(x)， 所以 f(x3)f3232x f3232x f(x)f(x)， 所以 yf(x)是周期函数，且 3 是其一个周期 (2)因为 f(x)为定义在

25、R 上的奇函数， 所以 f(0)0， 且 f(1)f(1)2， 又 T3 是 yf(x)的一个周期， 所以 f(2)f(3)f(1)f(0)202. 6已知函数 yf(x)在定义域1，1上既是奇函数又是减函数 (1)求证：对任意 x1，x21，1，有f(x1)f(x2) (x1x2)0； (2)若 f(1a)f(1a2)0，求实数 a 的取值范围 解：(1)证明：若 x1x20，显然不等式成立 若 x1x20，则1x1x21， 因为 f(x)在1，1上是减函数且为奇函数， 所以 f(x1)f(x2)f(x2)，所以 f(x1)f(x2)0. 所以f(x1)f(x2)(x1x2)0 成立 若 x1x20，则 1x1x21， 同理可证 f(x1)f(x2)0. 所以f(x1)f(x2)(x1x2)0 成立 综上得证，对任意 x1，x21，1，有f(x1)f(x2) (x1x2)0 恒成立 (2)因为 f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1)，所以由 f(x)在定义域1，1上是减函数，得11a21，1a11，1a2a1，即0a22，0a2，a2a20，解得 0a1. 故所求实数 a 的取值范围是0，1)