2022届高三数学一轮复习（原卷版）第2节 一元二次不等式及其解法 教案.doc

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1、1 第二节第二节 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 最新考纲 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、 一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 1一元二次不等式 把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式 ，称为一元二次不等式，其一般形式为 ax2bxc0 或 ax2bxc0(a0) 2一元二次不等式的解法步骤 (1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式 ax2bxc0(a0)或 ax2bxc0(a0) (2)求出相应的一元二次方程的根 (3

2、)利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集 3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 b24ac 0 0 0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两相异实根 x1，x2(x10 (a0)的解集 x|xx2 x|xx1 R ax2bxc0)的解集 x|x1x0的 解 集 是，则不等式 x2bxa0 的解集是( ) Ax|2x3 Bx|x2 或 x3 C.x 13x12 D.x x12 (2)解关于 x 的不等式 x2ax10(aR)； ax2(a1)x10. (1)B 不等式 ax2bx10 的解集是， 5 ax2bx10 的解是 x112

3、和 x213，且 a0， 1213ba，12131a， 解得 a6，b5. 则不等式 x2bxa0 即为 x25x60，解得 x2 或 x3. (2)解 a24. a当 a240，即2a2 时，原不等式无解 b当 a240，即 a2 或 a2 时，方程 x2ax10 的两根为 x1a a242，x2a a242， 则原不等式的解集为 x a a242xa a242. 综上所述，当2a2 时，原不等式无解 当 a2 或 a2 时，原不等式的解集为 x a a242xa a242. 若 a0，原不等式等价于x10， 解得 x1. 若 a0，原不等式等价于x1a(x1)0， 解得 x1a或 x1.

4、若 a0，原不等式等价于x1a(x1)0. a当 a1 时，1a1，x1a(x1)0 无解； b当 a1 时，1a1，解x1a(x1)0，得1ax1； 6 c当 0a1 时，1a1，解x1a(x1)0，得 1x1a. 综上所述，当 a0 时，解集为x x1a或x1； 当 a0 时，解集为x|x1； 当 0a1 时，解集为x 1x1a； 当 a1 时，解集为； 当 a1 时，解集为x 1ax1. 当判别式 能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集 1.若不等式 ax2bx20 的解集为x x12或x13，则aba的值为( ) A.56 B.16 C16 D5

5、6 A 由题意知方程 ax2bx20 的两根为12和13，ba121316，则aba1ba11656. 2解关于 x 的不等式 12x2axa2(aR) 解 原不等式可化为 12x2axa20， 即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0， 解得 x1a4，x2a3. 当 a0 时，不等式的解集为，a4a3， ；当 a0 时，不等式的解集为(，0)(0，)；当 a0 时，不等式的解集为，a3a4， . 考点 3 一元二次不等式恒成立问题(多维探究) 一元二次不等式恒成立问题的解法 7 1函数法 设 f(x)ax2bxc(a0) (1)f(x)0 在 xR 上恒成立a0 且 0； (2)

6、f(x)0 在 xR 上恒成立a0 且 0； (3) 当 a 0 时 ， f(x) 0 在 x ， 上 恒 成 立 b2a，f0或 b2a，0或 b2a，f0； f(x)0 在 x，上恒成立 f0，f0； (4)当 a0 时，f(x)0 在 x，上恒成立 f0，f0；f(x)0 在 x，上恒成立 b2a，f0或 b2a，0或 b2a，f0. 2最值法 对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围问题转化为求函数的最值问题 af(x)恒成立af(x)max， af(x)恒成立af(x)min. 在 R 上的恒成立问题 若不等式(a2)x22(a2)x40 对一切 xR 恒成立，则

7、实数 a的取值范围是( ) A(，2 B2,2 C(2,2 D(，2) C 当 a20，即 a2 时，不等式为40，对一切 xR 恒成立 当 a2 时，则 a20，4a2216a20， 8 即 a20，a24，解得2a2. 所以实数 a 的取值范围是(2,2 解答本题易忽视二次项系数等于零的情况，导致错误答案 教师备选例题 已知函数 f(x)ax22ax1的定义域为 R. (1)求 a 的取值范围； (2)若函数 f(x)的最小值为22，解关于 x 的不等式 x2xa2a0. 解 (1)因为函数 f(x) ax22ax1的定义域为 R，所以 ax22ax10恒成立， 当 a0 时，10 恒成立

8、 当 a0 时，则有 a0，2a24a0， 解得 0a1， 综上可知，a 的取值范围是0,1 (2)因为 f(x)ax22ax1 ax121a， 因为 a0，所以当 x1 时，f(x)min 1a， 由题意得， 1a22，所以 a12， 所以不等式 x2xa2a0 可化为 x2x340. 解得12x32， 所以不等式的解集为12，32. 在给定区间上的恒成立问题 (1)一题多解若对任意的 x1,2， 都有 x22xa0(a 为常数)，则 a 的取值范围是( ) A(，3 B(，0 9 C1，) D(，1 (2)已知函数 f(x)x22ax1 对任意 x(0,2恒有 f(x)0 成立，则实数 a

9、 的取值范围是( ) A.1，54 B1,1 C(，1 D.，54 (1)A (2)C (1)法一(函数法)：令 f(x)x22xa，则由题意， 得 f11221a0，f22222a0， 解得 a3，故选 A. 法二(最值法)：当 x1,2时，不等式 x22xa0 恒成立等价于 ax22x 恒成立，则由题意，得 a(x22x)min(x1,2)而x22x(x1)21，则当 x1 时，(x22x)min3，所以 a3，故选 A. (2)f(x)x22ax1 对任意 x(0,2恒有 f(x)0 成立， 即 2ax1x在 x(0,2上恒成立因为 x1x2，当且仅当 x1 时取最小值 2，所以 2a2

10、，即 a1.故选 C. 本例 T(2)若用函数法求解有三种情况，较复杂 1.若不等式 2kx2kx380 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为( ) A(3,0) B3,0) C3,0 D(3,0 D 当 k0 时，显然成立； 当 k0 时，即一元二次不等式 2kx2kx380 对一切实数 x 都成立 则 k0，k242k380， 解得3k0. 10 综上， 满足不等式 2kx2kx380 对一切实数 x 都成立的 k 的取值范围是(3,0故选 D. 2若不等式 x2mx10 对于任意 xm，m1都成立，则实数 m 的取值范围是 22，0 由题意得，函数 f(x)x2mx1 在m，m1

11、上的最大值小于0，又抛物线 f(x)x2mx1 开口向上， 所以只需 fmm2m210，fm1m12mm110， 即 2m210，2m23m0，解得22m0. 考点 4 一元二次不等式的应用 求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型； (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义； (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果 甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得的利润是 1005x13x元

12、 (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求 x 的取值范围； (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润 解 (1)根据题意， 得 2005x13x3 000， 整理得 5x143x0，即 5x214x30，又 1x10，可解得 3x10. 即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元， x的取值范围是3,10 11 (2)设利润为 y 元，则 y900 x 1005x13x910451x3x2 910431x1626112， 故当 x6 时，ymax457 500 元 即甲厂以 6 千克/小时的生产速度

13、生产 900 千克该产品时获得的利润最大，最大利润为 457 500 元 解答本题第(2)问时，把 y 看作1x的二次函数是解题的关键 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离” 刹车距离是分析事故的一个重要因素 在一个限速为 40 km/h 的弯道上， 甲、 乙两辆汽车相向而行， 发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过 12 m，乙车的刹车距离略超过 10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离 s(m)与车速 x(km/h)之间分别有如下关系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2，问：甲、乙两车有无超速现象？ 解 由题意知，对于甲车， 有 0.1x0.01x212， 即 x210 x1 2000， 解得 x30 或 x40(不合实际意义，舍去)， 这表明甲车的车速超过 30 km/h. 但根据题意刹车距离略超过 12 m， 由此估计甲车车速不会超过限速 40 km/h. 对于乙车，有 0.05x0.005x210， 即 x210 x2 0000， 解得 x40 或 x50(不合实际意义，舍去)， 这表明乙车的车速超过 40 km/h，超过规定限速