2022届高三数学一轮复习（原卷版）第1节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 教案.doc

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1、1 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 高考在本章一般为 2 道小题和 1 道解答题，分值约占 22 分. 2.考查内容 高考小题重点考查直线与圆的位置关系、圆锥曲线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系及两种圆锥曲线的综合问题解答题一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等问题，难度较大. 3.备考策略 (1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律 求圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程问题 圆锥曲线的几何性质及应用问题 直线与圆、圆锥曲线的位置关系问题 圆锥曲线的定点、定值、最值、范围问题 (2)重视函数与方程、数形结合、分类讨论思想的应用. 第一节第一节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程直线的倾

2、斜角、斜率与直线的方程 最新考纲 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形确定直线位置的几何要2 素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念， 掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素， 掌握直线方程的几种形式(点斜式、 两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系 1直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0. (2)范围：直线 l 倾斜角的取值范围是0，) 2斜率公式 (1)定义式：直线 l 的倾斜角为 2，则斜率 ktan

3、. (2)坐标式： P1(x1， y1)， P2(x2， y2)在直线 l 上， 且 x1x2， 则 l 的斜率 ky2y1x2x1. 3直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 yy0k(xx0) 不含直线 xx0 斜截式 ykxb 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 yy1y2y1xx1x2x1 不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2) 截距式 xayb1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 AxByC0，A2B20 平面内所有直线都适用 常用结论 1牢记倾斜角 与斜率 k 的关系 3 (1)当 0，2且由 0 增大到22时，k 的值由 0 增大到. (2)当 2， 时

4、，k 也是关于 的单调函数，当 在此区间内由22增大到 ()时，k 的值由趋近于 0(k0) 2特殊直线的方程 (1)直线过点 P1(x1，y1)，垂直于 x 轴的方程为 xx1； (2)直线过点 P1(x1，y1)，垂直于 y 轴的方程为 yy1； (3)y 轴的方程为 x0； (4)x 轴的方程为 y0. 一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率 ( ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大 ( ) (3)过定点 P0(x0，y0)的直线都可用方程 yy0k(xx0)表示 ( ) (4)经过任意两个不同的点 P1(x1， y1)， P2(x

5、2， y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材改编 1若过点 M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( ) A1 B4 C1 或 3 D1 或 4 A 由题意得m42m1，解得 m1. 2已知直线 l 经过点 P(2,5)，且斜率为34，则直线 l 的方程为( ) A3x4y140 B3x4y140 C4x3y140 D4x3y140 A 由 y534(x2)得 3x4y140，故选 A. 3已知 a，b，c 是两两不等的实数，则经过点 A(a，b)，B(a，c)的直线的倾斜角为 ，

6、直线 AB 的方程为 4 2 xa 由题意知，直线 AB 垂直于 x 轴，因此直线 AB 的倾斜角为2，直线 AB 的方程为 xa. 4在 x 轴，y 轴上的截距分别是 4，3 的直线方程为 3x4y120 由题意知，直线方程为x4y31，即 3x4y120. 考点 1 直线的倾斜角和斜率 斜率取值范围的两种求法 数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定 函数图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 1.(2019 安庆模拟)直线 x(a22)y10 的倾斜角不可能为( ) A.12 B.9 C.10 D.3 D 设直线 x(a22

7、)y10 的倾斜角为 ，0，)， 则 tan 1a220，12. 又 tan3 3，故 不可能为3. 2若直线 l 的斜率 k1,1，则直线 l 的倾斜角 的范围是 0，434， 当1k0 时，34， 当 0k1 时，04. 因此 的取值范围是0，434， . 3直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为 (， 31，) 如图， 5 kAP10211，kBP3001 3，k(， 31，) 直线的倾斜角和斜率的范围互求时， 要充分利用 ytan x 的单调性 考点 2 直线的方程 1求解直线方程的两种方法 直接法 根据已知

8、条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程 待定系数法 设所求直线方程的某种形式； 由条件建立所求参数的方程(组)； 解这个方程(组)求出参数； 把参数的值代入所设直线方程 2.谨防三种失误 (1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在 (2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为 0. (3)应用一般式 AxByC0 确定直线的斜率时注意讨论 B 是否为 0. (1)若直线经过点 A(5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍，则该直线的方程为 (2)若直线经过点 A( 3，3)，且倾斜角为直线 3xy10 的倾斜角的一半，则该直线

9、的方程为 (3)在ABC 中，已知 A(5，2)，B(7,3)，且 AC 的中点 M 在 y 轴上，BC 的中点 N 在 x 轴上，则直线 MN 的方程为 (1)x2y10 或 2x5y0 (2) 3xy60 (3)5x2y50 (1)当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为 ykx，将(5,2)代入 ykx中，得 k25，此时，直线方程为 y25x，即 2x5y0. 当横截距、纵截距都不为零时， 6 设所求直线方程为x2aya1， 将(5,2)代入所设方程，解得 a12，此时，直线方程为 x2y10. 综上所述，所求直线方程为 x2y10 或 2x5y0. (2)由 3xy10 得此直线

10、的斜率为 3，所以倾斜角为 120 ，从而所求直线的倾斜角为 60 ，故所求直线的斜率为 3. 又直线过点 A( 3，3)，所以所求直线方程为 y3 3(x 3)，即 3xy60. (3)设 C(x0，y0)，则 M5x02，y022，N7x02，y032. 因为点 M 在 y 轴上，所以5x020， 所以 x05. 因为点 N 在 x 轴上，所以y0320， 所以 y03，即 C(5，3)， 所以 M0，52，N(1,0)， 所以直线 MN 的方程为x1y521， 即 5x2y50. 当直线在 x 轴、y 轴上的截距相等或具有倍数关系时，一般要分截距为零和不为零两种情况求解， 当出现截距之和

11、或横截距大于纵截距时， 此时横、纵截距均不为零，可直接用待定系数法求解 1.经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 2x3y0 或 xy50 设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a，若 a0，即 l 过点(0,0)和(3,2)， l 的方程为 y23x，即 2x3y0. 7 若 a0，则设 l 的方程为xaya1， l 过点(3,2)，3a2a1， a5，l 的方程为 xy50， 综上可知，直线 l 的方程为 2x3y0 或 xy50. 2过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是 xy10 或 xy30 由题意知，倾斜角为4或34，所以斜率为 1 或1，直线方程

12、为 y2x1 或 y2(x1)，即 xy10 或 xy30. 3过点 P(3,0)有一条直线 l，它夹在两条直线 l1：2xy20 与 l2：xy30 之间的线段恰被点 P 平分，则直线 l 的方程为 8xy240 设直线 l 与 l1，l2的交点分别为 A，B， 设 A(x1，y1)，则 B(6x1，y1) 由题意得 2x1y120，6x1y130，解得 x1113，y1163， 即 A113，163. 直线 l 的方程为y01630 x31133，即 8xy240. 考点 3 直线方程的综合应用 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建

13、立目标函数，再利用基本不等式求解最值 (2)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解 过点 P(4,1)作直线 l 分别交 x 轴，y 轴正半轴于 A，B 两点，O 为坐标原点 (1)当AOB 面积最小时，求直线 l 的方程； 8 (2)当|OA|OB|取最小值时，求直线 l 的方程 解 设直线 l：xayb1(a0，b0)， 因为直线 l 经过点 P(4,1)，所以4a1b1. (1)4a1b124a1b4ab， 所以 ab16，当且仅当 a8，b2 时等号成立， 所以当 a8，b2 时，AOB 的面积最小， 此时直线 l 的方程为x8y21

14、，即 x4y80. (2)因为4a1b1，a0，b0， 所以|OA|OB|ab(ab)4a1b5ab4ba52ab4ba9， 当且仅当 a6，b3 时等号成立， 所以当|OA|OB|取最小值时，直线 l 的方程为x6y31， 即 x2y60. 涉及与直线在 x 轴，y 轴上的截距有关的问题，可设直线方程为截距式 教师备选例题 如图，在两条互相垂直的道路 l1，l2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路 l1的垂直距离为 4 米， 到道路 l2的垂直距离为 3 米， 现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道， 使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为 米

15、10 如图建立平面直角坐标系， 9 设人行道所在直线方程为 y4k(x3)(k0)，所以 A34k，0 ，B(0,43k)， 所以ABO 的面积 S12(43k)34k12249k16k， 因为 k0， 所以9k16k29k16k24，当且仅当9k16k，即 k43时取等号，此时，A(6,0)，B(0,8)，所以人行道的长度为 10 米 1.一条直线经过点 A(2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，则此直线的方程为 x2y20 或 2xy20 设所求直线的方程为xayb1. A(2,2)在直线上，2a2b1. 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为 1， 12|a| |b|1. 由可得

16、(1) ab1，ab2，或(2) ab1，ab2. 由(1)解得 a2，b1，或 a1，b2，方程组(2)无解 故所求的直线方程为x2y11 或x1y21，即 x2y20 或 2xy20 为所求直线的方程 2已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时，直线 l1， l2与两坐标轴围成一个四边形， 当四边形的面积最小时， 实数 a . 12 由题意知直线 l1，l2恒过定点 P(2,2)，直线 l1在 y 轴上的截距为 2a，直线 l2在 x 轴上的截距为 a22， 10 所以四边形的面积 S122(2a)122(a22) a2a4a122154， 当 a12时，四边形的面积最小， 故实数 a 的值为12.