2022届高三数学一轮复习（原卷版）第2节 参数方程 教案.doc

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1、1 第二节第二节 参数方程参数方程 最新考纲 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程 1曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数xf（t），yg（t）并且对于 t 的每一个允许值， 由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫做参变数，简称参数 2常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 yy0tan (xx0) xx0tcos ，yy0tsin (t 为参数) 圆 x2y2r2 xr

2、cos ，yrsin ( 为参数) 椭圆 x2a2y2b21(ab0) xacos ，ybsin ( 为参数) 常用结论 根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论： 过定点 M0的直线与圆锥曲线相交，交点为 M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2. (1)弦长 l|t1t2|； (2)弦 M1M2的中点t1t20； (3)|M0M1|M0M2|t1t2|. 一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) 2 (1)参数方程xf（t），yg（t）中的 x，y 都是参数 t 的函数( ) (2)过 M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为xx0tcos ，yy0ts

3、in (t 为参数)参数 t 的几何意义表示：直线 l 上以定点 M0为起点，任一点 M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量( ) (3)方程x2cos ，y12sin 表示以点(0，1)为圆心，以 2 为半径的圆( ) (4)已知椭圆的参数方程x2cos t，y4sin t(t 为参数)，点 M 在椭圆上，对应参数 t3，点 O 为原点，则直线 OM 的斜率为 3.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材改编 1曲线x1cos ，y2sin ( 为参数)的对称中心( ) A在直线 y2x 上 B在直线 y2x 上 C在直线 yx1 上 D在直线 yx1 上 B 由x1cos

4、，y2sin ，得cos x1，sin y2， 所以(x1)2(y2)21. 曲线是以(1，2)为圆心，1 为半径的圆， 所以对称中心为(1，2)，在直线 y2x 上 2直线x112t，y3 332t(t 为参数)和圆 x2y216 交于 A，B 两点，则线段AB 的中点坐标为( ) A(3，3) B( 3，3) C( 3，3) D(3， 3) D 将直线方程代入圆的方程，得(112t)2(3 332t)216，整理，得3 t28t120， 则 t1t28，t1t224，故其中点坐标满足x1124，y3 3324，解得x3，y 3. 3曲线 C 的参数方程为xsin ，ycos 21( 为参数

5、)，则曲线 C 的普通方程为_ y22x2(1x1) 由xsin ，ycos 21( 为参数)消去参数 ，得 y22x2(1x1) 4在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：xt，yta(t 为参数)过椭圆 C：x3cos ，y2sin ( 为参数)的右顶点，则 a_ 3 直线 l 的普通方程为 xya0，椭圆 C 的普通方程为x29y241，椭圆 C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线 l 过(3，0)，则 3a0，a3. 考点 1 参数方程与普通方程的互化 将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法

6、、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如 sin2cos21等 (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解 1.将下列参数方程化为普通方程 4 (1)x1t，y1tt21(t 为参数)； (2)x2sin2，y1cos 2( 为参数) (3)x2t21t2，y42t21t2(t 为参数) 解 (1)1t21tt2121，x2y21. t210，t1 或 t1. 又 x1t，x0. 当 t1 时，0 x1；当 t1 时，1x0， 所求普通方程为 x2y21， 其中0 x1，0y1或1x0，1y0. (2)y1cos 2112

7、sin22sin2，sin2x2，y2x4，2xy40. 0sin21，0 x21，2x3， 所求的普通方程为 2xy40(2x3) (3)因为 x2t21t2， y42t21t24（1t2）6t21t2432t21t243x. 又 x2t21t22（1t2）21t2221t20，2)， 所以所求的普通方程为 3xy40(x0，2) 2.如图所示，以过原点的直线的倾斜角 为参数，求圆 x2y2x0 的参数方程 解 圆的半径为12， 5 记圆心为 C12，0 ，连接 CP， 则PCx2， 故 xP1212cos 2cos2， yP12sin 2sin cos ( 为参数) 所以圆的参数方程为 x

8、cos2，ysin cos ( 为参数) 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围 考点 2 参数方程的应用 1.应用直线参数方程的注意点 在使用直线参数方程的几何意义时， 要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义 2圆和圆锥曲线参数方程的应用 有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题， 通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解 (1)(2019 全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方

9、程为x1t21t2，y4t1t2 (t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2cos 3sin110. 求 C 和 l 的直角坐标方程； 求 C 上的点到 l 距离的最小值 (2)(2018 全国卷)在平面直角坐标系 xOy中， O的参数方程为xcos ，ysin ( 为参数)，过点(0， 2)且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点 求 的取值范围； 6 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 解 (1)因为11t21t21，且 x2y221t21t224t2()1t221， 所以 C 的直角坐标方程为 x2y241(x1) l

10、 的直角坐标方程为 2x 3y110. 由可设 C 的参数方程为xcos ，y2sin ( 为参数，) C 上的点到 l 的距离为|2cos 2 3sin 11|74cos3117. 当 23时，4cos311 取得最小值 7，故 C 上的点到 l 距离的最小值为 7. (2)O 的直角坐标方程为 x2y21. 当 2时，l 与O 交于两点 当 2时，记 tan k，则 l 的方程为 ykx 2.l 与O 交于两点当且仅当21k21，解得 k1 或 k1，即 4，2或 2，34. 综上， 的取值范围是4，34. l 的参数方程为xtcos ，y 2tsin (t 为参数，434) 设 A，B，

11、P 对应的参数分别为 tA，tB，tP， 则 tPtAtB2， 且 tA，tB满足 t22 2tsin 10. 于是 tAtB2 2sin ，tP 2sin . 又点 P 的坐标(x，y)满足xtPcos ，y 2tPsin ， 所以点 P 的轨迹的参数方程是 7 x22sin 2，y2222cos 2为参数，434. (1)对于形如xx0at，yy0bt(t 为参数)，当 a2b21 时，应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题； (2)椭圆的参数方程实质是三角代换求点到直线距离的最大值， 一般利用曲线的参数方程及点到直线的距离公式把距离最值转化为三角函数求最大值 教师备选例题 已知曲

12、线 C：x24y291，直线 l：x2t，y22t(t 为参数) (1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值 解 (1)曲线 C 的参数方程为x2cos ，y3sin ( 为参数) 直线 l 的普通方程为 2xy60. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ，3sin )到 l 的距离为 d55|4cos 3sin 6|. 则|PA|dsin 302 55|5sin()6|， 其中 为锐角，且 tan 43. 当 sin()1 时，|PA|取得最大值，最大值为22 55

13、. 当 sin()1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 55. 1.(2018 全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x2cos ，y4sin ( 为参数)，直线 l 的参数方程为x1tcos ，y2tsin (t 为参数) 8 (1)求 C 和 l 的直角坐标方程； (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求 l 的斜率 解 (1)曲线 C 的直角坐标方程为x24y2161. 当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 ytan x2tan ， 当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 x1. (2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程， 整理得

14、关于 t 的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80. 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1，2)在 C 内，所以有两个解，设为t1，t2，则 t1t20. 又由得 t1t24（2cos sin ）13cos2，故 2cos sin 0，于是直线 l 的斜率 ktan 2. 2 (2017 全国卷)在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为x3cos ，ysin ( 为参数)，直线 l 的参数方程为xa4t，y1t(t 为参数) (1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17，求 a. 解 (1)曲线 C 的普通方

15、程为x29y21. 当 a1 时，直线 l 的普通方程为 x4y30. 由x4y30，x29y21，解得x3，y0或x2125，y2425， 从而 C 与 l 的交点坐标是(3，0)，2125，2425. (2)直线 l 的普通方程是 x4y4a0，故 C 上的点(3cos ，sin )到 l 的距离为 d|3cos 4sin a4|17. 9 当 a4 时，d 的最大值为a917. 由题设得a917 17，所以 a8； 当 a4 时，d 的最大值为a117. 由题设得a117 17， 所以 a16. 综上，a8 或 a16. 考点 3 极坐标、参数方程的综合应用 处理极坐标、参数方程综合问题

16、的方法 (1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解 当然， 还要结合题目本身特点， 确定选择何种方程 (2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用 和 的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的 (1)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：xtcos ，ytsin (t 为参数，t0)，其中 0，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2sin ，曲线 C3：2 3cos . 求 C2与 C3交点的直角坐标； 若 C1与 C2相交于点 A，C1与 C3相交于点 B，求 AB 的最大值 (2)(20

17、17 全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为x2t，ykt(t为参数)，直线 l2的参数方程为x2m，ymk(m 为参数)设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C. 写出 C 的普通方程； 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：(cos sin 10 ) 20，M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径 解 (1)曲线 C2的直角坐标方程为 x2y22y0， 曲线 C3的直角坐标方程为 x2y22 3x0. 联立x2y22y0，x2y22 3x0， 解得x0，y0或x32，y32. 所以 C2与 C3交点的直角坐标为(0，0)和

18、32，32. 曲线 C1的极坐标为方程 (R，0)，其中 0. 因此 A 的极坐标为(2sin ，)，B 的极坐标为(2 3cos ，)， 所以 AB|2sin 2 3cos |4sin3. 当 56时，AB 取得最大值，最大值为 4. (2)消去参数 t，得 l1的普通方程 l1：yk(x2)； 消去参数 m，得 l2的普通方程 l2：y1k(x2) 设 P(x，y)，由题设得yk（x2），y1k（x2）， 消去 k 得 x2y24(y0)， 所以 C 的普通方程为 x2y24(y0) C 的极坐标方程为 2(cos2sin2)4(00， 设方程 t2cos24tsin 40 的两个根为 t

19、1，t2， 则 t1t24sin cos2，t1t24cos2， |AB|t1t2|（t1t2）24t1t24cos24， 当且仅当 0 时， 取等号 故当 0 时，|AB|取得最小值 4. 1.(2019 郑州摸底考试)以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴已知点 P 的直角坐标为(1，5)，点 M 的极坐标为(4，2)若直线 l 过点 P，且倾斜角为3，圆 C 以 M 为圆心、4 为半径 (1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程； 12 (2)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系 解 (1)直线 l 的参数方程 x1cos3t，y5sin3tx112ty532t

20、(t 为参数)， M 点的直角坐标为(0，4)，圆 C 的半径为 4， 圆 C 的方程为 x2(y4)216，将xcos ysin 代入，得圆 C 的极坐标方程为 2cos2(sin 4)216，即 8sin . (2)直线 l 的普通方程为 3xy5 30， 圆心 M 到 l 的距离为 d|45 329 324， 直线 l 与圆 C 相离 2(2019 衡水第三次大联考)在直角坐标系中，直线 l 的参数方程为x1tcos ，y1tsin (t 为参数，0)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 241sin2. (1)当 6时，写出直线

21、 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； (2)已知点 P()1，1 ，设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试确定|PA|PB的取值范围 解 (1)当 6时，直线 l 的参数方程为 x1tcos 6，y1tsin6 x132t，y112t. 消去参数 t 得 x 3y1 30. 由曲线 C 的极坐标方程为 241sin2，得 2()sin24， 将 x2y22，及 ysin 代入得 x22y24，即x24y221. 13 (2)由直线 l 的参数方程为x1tcos ，y1tsin (t 为参数，0)，可知直线 l是过点 P(1，1)且倾斜角为 的直线，又由(1)知曲线 C 为椭圆x24y221，所以易知点 P(1，1)在椭圆 C 内， 将x1tcos ，y1tsin 代入x24y221 中，整理得 ()1sin2 t22()2sincos t10， 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 则 t1t211sin2， 所以|PA |PB | |t1| |t211sin2， 因为 0，所以 sin2(0，1 ， 所以|PA |PB | |t1| |t211sin212，1 ， 所以|PA |PB 的取值范围为12，1 .