2022届高三数学一轮复习（原卷版）第3节 第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 教案.doc

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1、1 第三节第三节 三角恒等变换三角恒等变换 最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、 正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆) 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin( )sin_cos_cos_sin_； (2)cos( )cos_cos_sin_sin_； (3)tan( )tan tan 1tan tan 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin

2、 22sin cos ； (2)cos 2cos2sin22cos2112sin2； (3)tan 22tan 1tan2 3辅助角公式 asin bcos a2b2sin()(其中 sin ba2b2，cos aa2b2.) 常用结论 1公式的常用变式 tan tan tan( )(1tan tan )； sin 22sin cos sin2cos22tan 1tan2； cos 2cos2sin2cos2sin21tan21tan2. 2降幂公式 2 sin21cos 22； cos21cos 22； sin cos 12sin 2. 3升幂公式 1cos 2cos22； 1cos 2si

3、n22； 1sin sin 2cos 22； 1sin sin 2cos 22. 4半角正切公式 tan 2sin 1cos 1cos sin . 一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)存在实数 ，使等式 sin()sin sin 成立( ) (2)公式 asin xbcos x a2b2sin(x)中 的取值与 a， b 的值无关 ( ) (3)cos 2cos22112sin22.( ) (4)当 是第一象限角时，sin 21cos 2.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材改编 1已知 cos 35， 是第三象限角，则 cos4 为( ) A.210 B210

4、 C.7 210 D7 210 3 A cos 35， 是第三象限角， sin 1cos245. cos4 22(cos sin )22 3545 210.故选 A. 2sin 347cos 148sin 77cos 58_ 22 sin 347cos 148sin 77cos 58 sin(27077)cos(9058)sin 77cos 58 (cos 77) (sin 58)sin 77cos 58 sin 58cos 77cos 58sin 77 sin(5877)sin 13522. 3计算：sin 108cos 42cos 72sin 42_ 12 原式sin(18072)cos

5、42cos 72sin 42 sin 72cos 42cos 72sin 42sin(7242) sin 3012. 4tan 20tan 40 3tan 20tan 40_ 3 tan 60tan(2040)tan 20tan 401tan 20tan 40， tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40) 3 3tan 20tan 40， 原式 3 3tan 20tan 40 3tan 20tan 40 3. 5若 tan 13，tan()12，则 tan _ 17 tan tan()tan（）tan 1tan（）tan 12131121317. 4 第第 1 课时课时

6、 两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍公式及二倍角公式角公式 考点 1 公式的直接应用 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征 (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值 1.(2019 全国卷)已知 (0，2)，2sin 2cos 21，则 sin ( ) A.15 B.55 C.33 D.2 55 B 由二倍角公式可知 4sin cos 2cos2. (0，2)，cos 0， 2sin cos ，tan 12，sin 55.故选 B. 2已知 sin 35，(2，)，tan()12，则 tan()的值为( ) A211 B

7、.211 C.112 D112 A (2，)，tan 34，又 tan 12， tan()tan tan 1tan tan 34121（12）（34）211. 5 3(2019 太原模拟)若 (0，2)，且 sin(6)13，则 cos(3)_ 2 616 由于角 为锐角，且 sin(6)13， 则 cos(6)2 23， 则 cos(3)cos(6)6 cos(6)cos 6sin(6)sin 6 2 233213122 616. 4计算sin 110sin 20cos2155sin2155的值为_ 12 sin 110sin 20cos2155sin2155sin 70sin 20cos

8、310 cos 20sin 20cos 5012sin 40sin 4012. 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用 ， 的三角函数表示 的三角函数， 在使用两角和与差的三角函数公式时， 特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的 考点 2 公式的逆用与变形用 公式的一些常用变形 (1)sin sin cos()cos cos ； (2)cos sin sin()sin cos ； (3)1 sin (sin 2cos 2)2； (4)sin 22sin cos sin2cos22tan tan21； (5)cos 2cos2sin2cos2sin21tan21t

9、an2； (6)tan tan tan( )(1tan tan )； 6 (7)asin bcos a2b2sin()(tan ba) 公式的逆用 (1)化简sin 101 3tan 10_ (2)在ABC 中，若 tan Atan Btan Atan B1，则 cos C_ (1)14 (2)22 (1)sin 101 3tan 10sin 10cos 10cos 10 3sin 102sin 10cos 104（12cos 1032sin 10）sin 204sin（3010）14. (2)由 tan Atan Btan Atan B1，可得tan Atan B1tan Atan B1，

10、即 tan(AB)1，又 AB(0，)， 所以 AB34，则 C4，cos C22. (1)逆用公式的关键是准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式，同时，要注意公式成立的条件和角之间的关系 (2)tan tan ，tan tan (或 tan tan )，tan()(或 tan()三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题 (3)重视 sin cos ，cos sin ，cos cos ，sin sin 的整体应用 公式的变形用 (1)化简sin23512cos 10cos 80_ (2)化简 sin2(6)sin2(6)sin2 的结果是_ (1)1 (2)12 (

11、1)sin23512cos 10cos 801cos 70212cos 10sin 1012cos 7012sin 201. (2)原式1cos（23）21cos（23）2sin2 7 112cos(23)cos(23)sin2 1cos 2cos 3sin2 1cos 221cos 22 12. 注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式 1.设 acos 50cos 127cos 40cos 37，b22(sin 56cos 56)，c1tan2391tan239，则 a，b，c 的大小关系是( ) Aabc Bba

12、c Ccab Dacb D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得 acos 50cos 127cos 40cos 37cos 50cos 127sin 50sin 127cos(50127)cos(77)cos 77sin 13，b22(sin 56cos 56)22sin 5622cos 56sin(5645)sin 11，c1tan2391tan2391sin239cos2391sin239cos239cos239sin239cos 78sin 12.因为函数 ysin x，x0，2为增函数，所以 sin 13sin 12sin 11，所以 acb. 2一题多解 3cos 154si

13、n215cos 15( ) A.12 B.22 C1 D. 2 D 法一： 3cos 154sin215cos 15 3cos 152sin 152sin 15cos 15 3cos 152sin 15sin 30 3cos 15sin 152cos 8 (1530)2cos 45 2.故选 D. 法二：因为 cos 156 24，sin 156 24，所以 3cos 154sin215cos 15 36 244(6 24)26 246 24( 32 3)6 24(2 32) 2.故选 D. 3已知 4，则(1tan )(1tan )_ 2 (1tan )(1tan )tan tan tan

14、tan 1 tan()(1tan tan )tan tan 1 1tan tan tan tan 1 2. 4已知 sin cos 12，则 cos sin 的取值范围_ 12，12 由题知 sin cos 12， 设 cos sin t， 得 sin cos cos sin 12t， 即 sin()12t， 得 sin cos cos sin 12t， 即 sin()12t. 1sin( )1， 112t1，112t1. 12t12. 考点 3 公式的灵活运用 三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路 9 (1)角的变换：发现各个角之间的关系：拆角、凑角、互余、倍半、互利(包括非特殊角

15、与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化， 如： 2()()， ()()， 406020，(4)(4)2，224等 (2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦 三角公式中角的变换 (1)设， 都是锐角， 且cos 55， sin()35， 则cos _ (2)已知 cos(75)13，则 cos(302)的值为_ (1)2 525 (2)79 (1)依题意得 sin 1cos22 55， 因为 sin()35sin 且 ， 所以 (2，)，所以 cos()45. 于是 cos cos()

16、cos()cos sin()sin 4555352 552 525. (2)cos(75)sin(15)13， 所以 cos(302)12sin2(15)12979. (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示当“已知角”有两个时， “所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； 当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系 (2)常见的配角技巧：2()()，()，22，22，2(2)(2)等 10 三角公式中名的变换 (1)化简：（1sin cos ）（sin 2cos 2）22cos (0)； (2)求值：1cos 202sin 20si

17、n 10(1tan 5tan 5) 解 (1)由 (0，)，得 022，cos 20， 22cos 4cos222cos 2. 又(1sin cos )(sin 2cos 2) (2sin 2cos 22cos22)(sin 2cos2) 2cos 2(sin22cos22) 2cos 2cos . 故原式2cos 2cos 2cos 2cos . (2)原式2cos21022sin 10cos 10sin 10(cos 5sin 5sin 5cos 5) cos 102sin 10sin 10cos25sin25sin 5cos 5 cos 102sin 10sin 10cos 1012si

18、n 10 cos 102sin 102cos 10cos 10 2sin 202sin 10 cos 102sin（3010）2sin 10 cos 102（12cos 1032sin 10）2sin 10 11 3sin 102sin 1032. 1.(2019 石家庄模拟)已知 tan 1tan 4，则 cos2(4)( ) A.12 B.13 C.14 D.15 C 由 tan 1tan 4，得sin cos cos sin 4，即sin2cos2sin cos 4，sin cos 14，cos2(4)1cos（22）21sin 2212sin cos 21214214. 2已知 (0，2)，(0，2)，且 cos 17，cos()1114，则 sin _ 32 由已知可得 sin 4 37，sin()5 314， sin sin() sin() cos cos()sin 5 31417(1114)4 3732. 3.cos 10 3cos（100）1sin 10_(用数字作答) 2 cos 10 3cos（100）1sin 10cos 10 3cos 801cos 80 cos 10 3sin 102sin 402sin（1030）2 sin 40 2.