2022届高三数学一轮复习（原卷版）第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 教案.doc

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1、1 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 高考在本章一般命制 12 道小题，1 道解答题，分值占 2024 分. 2.考查内容 (1)对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性质的考查一般以选择题或填空题为主，重在考查学生的双基. (2)对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常以定点问题、最值问题及探索性问题为载体，重在考查等价转化思想、方程思想及数学运算能力. 3.备考策略 从 2019 年高考试题可以看出，高考对圆锥曲线的考查在注重基础、 突出转化能力的同时运算量有所减小. 第一节第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的倾斜角与斜率、直线的方程 最新考纲 1.在平面直角坐标系中，结合

2、具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念， 掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素， 掌握直线方程的三种形式(点斜式、 两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系 1直线的倾斜角 2 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0. (2)范围：直线 l 倾斜角的取值范围是0，) 2斜率公式 (1)直线 l 的倾斜角为 90，则斜率 ktan (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1

3、x2，则 l 的斜率 ky2y1x2x1 3直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 yy0k(xx0) 不含直线 xx0 斜截式 ykxb 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 yy1y2y1xx1x2x1 不含直线 xx1(x1x2)和直线 yy1(y1y2) 截距式 xayb1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 AxByC0(A2B20) 平面内所有直线都适用 常用结论 1直线的斜率 k 和倾斜角 之间的函数关系 如图，当 0，2时，斜率 k0，)；当 2时，斜率不存在；当 2， 时，斜率 k(，0) 2求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直

4、线都存在斜率 3截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为 0，这是解题时容易忽略的一点 一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为 .( ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大( ) 3 (3)过定点 P0(x0，y0)的直线都可用方程 yy0k(xx0)表示( ) (4)经过任意两个不同的点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材改编 1已知两点 A(3， 3)，B( 3，1)，则直线 AB 的斜率是( ) A

5、. 3 B 3 C.33 D33 D kAB313 333，故选 D. 2过点(1，2)且倾斜角为 30的直线方程为( ) A. 3x3y6 30 B. 3x3y6 30 C. 3x3y6 30 D. 3x3y6 30 A 直线的斜率 ktan 3033. 由点斜式方程得 y233(x1)，即 3x3y6 30，故选 A. 3如果 AC0 且 BC0，那么直线 AxByC0 不通过( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 C 法一：由 AxByC0 得 yABxCB. 又 AC0，BC0，故 AB0，从而AB0，CB0， 故直线不通过第三象限故选 C. 法二：取 AB1，C1，则

6、直线 xy10，其不过第三象限，故选C. 4过点 M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_ 4 4x3y0 或 xy10 若直线过原点，则 k43，所以 y43x，即4x3y0. 若直线不过原点，设xaya1，即 xya，则 a3(4)1， 所以直线方程为 xy10. 考点 1 直线的倾斜角与斜率 求倾斜角的取值范围的一般步骤 (1)求出斜率 ktan 的取值范围 (2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角 的取值范围 提醒：求倾斜角时要注意斜率是否存在 (1)直线 2xcos y306，3的倾斜角的取值范围是( ) A.6，3 B.4，3 C.4，2 D.4，23 (2)

7、直线 l 过点 P(1，0)，且与以 A(2，1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为_ (1)B (2)(， 31，) (1)直线 2xcos y30 的斜率 k2cos .由于 6，3，所以12cos 32，因此 k2cos 1， 3设直线的倾斜角为 ，则有 tan 1， 3由于 0，)，所以 4，3，即倾斜角的取值范围是4，3. (2)如图，kAP10211，kBP3001 3， 要使过点 P 的直线 l 与线段 AB 有公共点， 只需 k1 或 k 3，即直线 l 斜率的取值范围为(，5 31，) 母题探究 1若将本例(2)中 P(1，0)改为 P(1，0

8、)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围 解 P(1，0)，A(2，1)，B(0， 3)， kAP102（1）13， kBP300（1） 3. 如图可知，直线 l 斜率的取值范围为13， 3 . 2若将本例(2)中的 B 点坐标改为 B(2，1)，其他条件不变，求直线 l 倾斜角的范围 解 如图，直线 PA 的倾斜角为 45，直线 PB 的倾斜角为 135， 由图象知 l 的倾斜角的范围为0， 45135， 180) (1)解决直线的倾斜角与斜率问题，常采用数形结合思想； (2)根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，2与2， 两种情况讨论 1.若平面内三点 A(1，a)，B(2，a2)，C(3

9、，a3)共线，则 a 等于( ) A1 2或 0 B.2 52或 0 C.2 52 D.2 52或 0 A 平面内三点 A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，kABkAC， 即a2a21a3a31，即 a(a22a1)0， 解得 a0 或 a1 2.故选 A. 2直线 l 经过 A(3，1)，B(2，m2)(mR)两点，则直线 l 的倾斜角 的取值范围是_ 4，2 直线 l 的斜率 k1m2321m21， 6 所以 ktan 1. 又 ytan 在0，2上是增函数， 因此42. 考点 2 直线方程的求法 求直线方程的 2 种方法 (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，

10、直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论 (2)待定系数法：即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程(组)，再求出参数，最后将其代入直线方程 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点 P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点 A(1，3)，斜率是直线 y3x 的斜率的14； (3)过点 A(1，1)与已知直线 l1：2xy60 相交于 B 点且|AB|5. 解 (1)法一：设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a，若 a0，即 l 过点(0，0)和(3，2)， l 的方程为 y23x，即 2x3y0. 若 a0，则设 l 的方程为xaya1， l

11、 过点(3，2)，3a2a1， a5，l 的方程为 xy50， 综上可知，直线 l 的方程为 2x3y0 或 xy50. 法二：由题意，所求直线的斜率 k 存在且 k0， 设直线方程为 y2k(x3)， 令 y0，得 x32k，令 x0，得 y23k， 由已知 32k23k，解得 k1 或 k23， 7 直线 l 的方程为 y2(x3)或 y223(x3)， 即 xy50 或 2x3y0. (2)设所求直线的斜率为 k，依题意 k14334. 又直线经过点 A(1，3)， 因此所求直线方程为 y334(x1)， 即 3x4y150. (3)过点 A(1，1)与 y 轴平行的直线为 x1. 解方

12、程组x1，2xy60， 求得 B 点坐标为(1，4)，此时|AB|5，即 x1 为所求 设过 A(1，1)且与 y 轴不平行的直线为 y1k(x1)， 解方程组2xy60，y1k（x1）， 得两直线交点为xk7k2，y4k2k2. (k2，否则与已知直线平行) 则 B 点坐标为k7k2，4k2k2. 由已知k7k2124k2k21252， 解得 k34，y134(x1)， 即 3x4y10. 综上可知，所求直线的方程为 x1 或 3x4y10. 求直线方程应注意 2 点 (1)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距

13、是否为零) 8 (2)截距可正、 可负、 可为 0， 因此在解与截距有关的问题时， 一定要注意“截距为 0”的情况，以防漏解 教师备选例题 求适合下列条件的直线的方程： (1)在 y 轴上的截距为5，倾斜角的正弦值是35； (2)经过点( 3，3)，且倾斜角为直线 3xy10 的倾斜角的一半； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为 5. 解 (1)设直线的倾斜角为 ，则 sin 35. cos 45，直线的斜率 ktan 34. 又直线在 y 轴上的截距是5， 由斜截式得直线方程为 y34x5. 即 3x4y200 或 3x4y200. (2)由 3xy10 得此直线的斜率为 3，所以

14、倾斜角为 120，从而所求直线的倾斜角为 60，故所求直线的斜率为 3. 又过点( 3，3)，所以所求直线方程为 y3 3(x 3)，即 3xy60. (3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为 x50. 当直线斜率存在时，设其方程为 y10k(x5)， 即 kxy(105k)0. 由点到直线的距离公式，得|105k|1k25，解得 k34. 此时直线方程为 3x4y250. 综上知，所求直线方程为 x50 或 3x4y250. 已知ABC 的三个顶点分别为 A(3，0)，B(2，1)，C(2，3)，求： (1)BC 边所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的

15、方程； (3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程 9 解 (1)因为直线 BC 经过 B(2， 1)和 C(2， 3)两点， 得 BC 的方程为y131x222，即 x2y40. (2)设 BC 边的中点 D(x，y)，则 x2220，y1322. BC 边的中线 AD 过 A(3，0)，D(0，2)两点，所在直线方程为x3y21，即 2x3y60. (3)由(1)知，直线 BC 的斜率 k112，则直线 BC 的垂直平分线 DE 的斜率k22.由(2)知，点 D 的坐标为(0，2) 所求直线方程为 y22(x0)，即 2xy20. 考点 3 直线方程的综合应用 处理直线方程综合应用的 2 大

16、策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值 (2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定” (1)已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时，直线 l1， l2与两坐标轴围成一个四边形， 当四边形的面积最小时， 则 a_ (2)过点 P(4，1)作直线 l 分别交 x 轴，y 轴正半轴于 A，B 两点，O 为坐标原点 当AOB 面积最小时，求直线 l 的方程； 当|OA|OB|取最小值时，求直线 l 的方程 (1)12 由题意知直线 l1，l2恒过定点(2，2)，直线 l1的纵截距为 2a，直线l2的横截距为 a22，所以四边形的面积 S122(2a)122(a22)a2a4a122154，又 0a0，b0， 直线 l 的方程为xayb1，所以2a1b1. 11 |MA| |MB|MA MB(a2，1) (2，b1) 2(a2)b12ab5(2ab)2a1b5 2ba2ab4，当且仅当 ab3 时取等号，此时直线 l 的方程为 xy30.