2022届高三数学一轮复习(原卷版)第6节 正弦定理、余弦定理 教案.doc
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1、第六节正弦定理、余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题1正弦、余弦定理在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为ABC的外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理内容2R.a2b2c22bccos_A;b2c2a22cacos_B;c2a2b22abcos_C变形(1)a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C;(2)abcsin Asin Bsin C;(3)2R.cos A;cos B;cos C2.三角形常用面积公式(1)Sa·ha(ha表示边a上的高);(2)Sabsin Cacsin_Bbcsin_A;(3)Sr(abc)(
2、r为内切圆半径)1在ABC中,ABabsin Asin B2三角形中的射影定理在ABC中,abcos Cccos B;bacos Cccos A;cbcos Aacos B3内角和公式的变形(1)sin(AB)sin C;(2)cos(AB)cos C.4角平分线定理:在ABC中,若AD是角A的平分线,如图,则.一、思考辨析(正确的打“”,错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)在ABC中,若sin Asin B,则AB.()(3)在ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素()(4)当b2c2a20时,ABC为锐角三角形;当b2c2a20时,AB
3、C为直角三角形;当b2c2a20时,ABC为钝角三角形()答案(1)×(2)(3)×(4)×二、教材改编1已知ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A,B,a1,则b()A2B1C. D.D由得b×2.2在ABC中,若a18,b24,A45°,则此三角形有()A无解B两解C一解 D解的个数不确定Bbsin A24sin 45°12,121824,即bsin Aab.此三角形有两解3在ABC中,acos Abcos B,则这个三角形的形状为_等腰三角形或直角三角形由正弦定理,得sin Acos Asin Bcos B,即si
4、n 2Asin 2B,所以2A2B或2A2B,即AB或AB,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形4在ABC中,A60°,AC4,BC2,则ABC的面积等于_2因为,所以sin B1,所以 B90°,所以AB2,所以SABC×2×22.考点1利用正、余弦定理解三角形问题解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A,B与一边a,由ABC及,可先求出角C及b,再求出c.(2)已知两边b,c及其夹角A,由a2b2c22bccos A,先求出a,再求出角B,C.(3)已知三边a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.(4)已知两边a,b及其中一边的对角A,由正弦
5、定理可求出另一边b的对角B,由C(AB),可求出角C,再由可求出c,而通过求角B时,可能有一解或两解或无解的情况(1)(2019·全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin Absin B4csin C,cos A,则()A6B5C4 D3(2)(2019·全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.求A;若ab2c,求sin C.(1)Aasin Absin B4csin C,由正弦定理得a2b24c2,即a24c2b2.由余弦定理得cos A,6.故选A.(2)解由已知得sin
6、2Bsin2Csin2Asin Bsin C,故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0°A180°,所以A60°.由知B120°C,由题设及正弦定理得sin Asin(120°C)2sin C,即cos Csin C2sin C,可得cos(C60°).由于0°C120°,所以sin(C60°),故sin Csin(C60°60°)sin(C60°)cos 60°cos(C60°)sin 60°.解三角形问题,关键是利用正、
7、余弦定理实施边和角的转化,三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式,二倍角公式等,作为化简变形的重要依据教师备选例题(2018·天津高考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin Aacos(B)(1)求角B的大小;(2)设a2,c3,求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中,由正弦定理,可得bsin Aasin B,又由bsin Aacos(B),得asin Bacos(B),即sin Bcos(B),可得tan B.又因为B(0,),可得B.(2)在ABC中,由余弦定理及a2,c3,B,有b2a2c22accos B7,故b.由bsin Aacos
8、(B),可得sin A.因为ac,故cos A.因此sin 2A2sin Acos A,cos 2A2cos2A1,所以,sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B××.1.(2019·全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin Aacos B0,则B_bsin Aacos B0,.由正弦定理,得cos Bsin B,tan B1.又B(0,),B.2在ABC中,AB4,AC7,BC边上中线AD,则BC_9设BDDCx,ADC,ADB,在ADC中,72x2()22x×cos ,在ABD中,42x2()22x
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