2022届高三数学一轮复习（原卷版）第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 教案 (2).doc

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1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想1直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：相交、相切、相离(2)两种研究方法：2圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r2>0)位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|<d<r1r2两组不同的

2、实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d<|r1r2|(r1r2)无解1. 圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.2圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所

3、在直线的方程一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“×”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交()(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程()答案(1)×(2)×(3)×(4)二、教材改编1若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1B1,3C3,1 D(，31，)C由题意知，即|a1|2.解得3a1.故选C.2圆(x2)2y24与圆(x

4、2)2(y1)29的位置关系为()A内切B相交C外切D相离B两圆圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d. 32<d<32，两圆相交3已知直线l：yk(x)和圆C：x2(y1)21，若直线l与圆C相切，则k()A0 B. C.或0 D.或0D因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d1，解得k0或k，故选D.4直线x2y0被圆C：x2y26x2y150所截得的弦长等于 4由题意知圆心C(3,1)，半径r5.又圆心C到直线l的距离d，则弦长24.考点1直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系的判断判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系(2

5、)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题1.若直线axby1与圆x2y21有两个公共点，则点P(a，b)与圆x2y21的位置关系是()A在圆上B在圆外C在圆内 D以上都有可能B由题意知圆心到直线的距离d1，即a2b21，则点P(a，b)在圆x2y21的外部，故选B.2直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是()A相交 B相切C相离 D不确定A法一：由消去y，整理得(1m2)x22m2xm250，因为16m2200，所以直线l与圆相交法

6、二：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d1，故直线l与圆相交法三：直线l：mxy1m0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2(y1)25的内部，所以直线l与圆相交3圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点的个数为()A1B2 C3D4C如图所示，因为圆心到直线的距离为2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，圆上到直线的距离为1的点有3个若直线方程中x(或y)的系数含参数，则此直线为过定点的动直线，一般是求出定点，再求解直线与圆相切的问题1求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为yy0；若k

7、0，则结合图形可直接写出切线方程为xx0；若k存在且k0，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式可写出切线方程2求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的两种方法几何法当斜率存在时，设为k，则切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为k，则切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出(1)过点P(2,4)作圆(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为()A3x4y40B4x3y40Cx2或4x3y40Dy4或3x4y40(2

8、)(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2xy30与圆C相切于点A(2，1)，则m ，r .(1)C(2)2(1)当斜率不存在时，x2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，则1，解得k，则切线方程为4x3y40，故切线方程为x2或4x3y40，故选C.(2)由圆心与切点的连线和切线垂直，得，解得m2，因此圆心坐标为(0，2)，半径r.已知切点，则圆心与切点的连线垂直于切线是常用的结论，如本例T(2)弦长问题弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程在判别式0的前提下，利用根与系

9、数的关系，根据弦长公式求弦长(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l2.(1)设圆x2y22x2y20的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|2，则直线l的方程为()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90(2)(2019·衡水模拟)已知直线axy10与圆C：(x1)2(ya)21相交于A，B两点，且ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为()A.或1 B1C1 D1或1(1)B(2)D(1)当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x0时，弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l

10、的方程为ykx3，由弦长为2，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有1，解得k，综上，直线l的方程为x0或3x4y120，故选B.(2)由题意得ABC为等腰直角三角形，圆心C(1，a)到直线axy10的距离drsin 45°(r为圆C的半径)又半径r1，d，即，整理得1a22，即a21，解得a1或1.故选D.解答本例T(2)的关键是求圆心到直线的距离drsin 45°.教师备选例题若a2b22c2(c0)，则直线axbyc0被圆x2y21所截得的弦长为()A.B1C.D.D因为圆心(0,0)到直线axbyc0的距离d，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于，所以弦

11、长为.1.已知圆的方程是x2y21，则经过圆上一点M的切线方程是 xy0因为M是圆x2y21上的点，所以过点M的圆的切线的斜率为1，则设切线方程为xya0，所以a0，得a，故切线方程为xy0.2已知直线l：axby30与圆M：x2y24x10相切于点P(1,2)，则直线l的方程为 x2y30圆M的标准方程为(x2)2y25，则M(2,0)直线MP的斜率kMP2，由题意得解得因此直线l的方程为x2y30.3(2019·雅安模拟)已知直线l：xy60与圆x2y212相交于A，B两点，则AOB .(O为坐标原点)60°圆心O(0,0)到直线AB的距离d3，则|AB|22，则有|O

12、A|OB|AB|，即AOB是等边三角形，AOB60°.考点2圆与圆的位置关系1几何法判断圆与圆的位置关系的三步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1r2，|r1r2|；(3)比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论2两圆公共弦长的求法(1)求公共弦所在的直线方程：由两个圆的方程相减得到(2)在一个圆中求公共弦长：按照求弦长的方法求解(1)已知圆O1的方程为x2y24，圆O2的方程为(xa)2(y1)21，那么这两个圆的位置关系不可能是()A外离 B外切 C内含 D内切(2)(2019·南通模拟)圆O1：x2y29与圆O

13、2：x2y24x2y30的公共弦的长为 (1)C(2)(1)圆O1：x2y24的圆心O1(0,0)，半径r12，圆O2：(xa)2(y1)21的圆心O2(a,1)，半径r21，两圆的圆心距|O1O2|121，所以两个圆的位置关系不可能是内含，故选C.(2)由得两圆的公共弦所在的直线方程为2xy30，圆O1：x2y29的圆心O1(0,0)到直线2xy30的距离d，则公共弦长为2.本例T(1)中，圆O2的圆心在直线y1上，数形结合也可得到答案教师备选例题(2016·山东高考)已知圆M：x2y22ay0(a>0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位

14、置关系是()A内切 B相交C外切 D相离B法一：由得两交点为(0,0)，(a，a)圆M截直线所得线段长度为2，2.又a>0，a2.圆M的方程为x2y24y0，即x2(y2)24，圆心M(0,2)，半径r12.又圆N：(x1)2(y1)21，圆心N(1,1)，半径r21，|MN|.r1r21，r1r23,1<|MN|<3，两圆相交法二：x2y22ay0(a>0)x2(ya)2a2(a>0)，M(0，a)，r1a.依题意，有，解得a2.以下同法一1.(2019·哈尔滨模拟)圆x24xy20与圆x2y24x30的公切线共有()A1条B2条C3条D4条Dx24x

15、y20，即(x2)2y222，圆心坐标为(2,0)，半径为2；x2y24x30，即(x2)2y212，圆心坐标为(2,0)，半径为1.所以两圆圆心距为4，两圆半径和为3.因为43，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条故选D.2(2019·揭阳模拟)若圆x2y21与圆x2y26x8ym0相切，则m的值为 9或11圆的方程x2y26x8ym0可化为(x3)2(y4)225m，其圆心坐标为(3,4)，半径r(m25)若两圆外切，则15，解得m9；若两圆内切，则15，解得m11.考点3直线与圆的综合问题直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化

16、)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若·12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设可知直线l的方程为ykx1.因为直线l与圆C交于两点，所以<1，解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21

17、，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.·x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以直线l的方程为yx1.故圆心C在直线l上，所以|MN|2.解答本例T(2)问时，把·表示成点M，N的横坐标和与积的形式是解题的关键(2019·衡阳模拟)已知点P是圆C：(x3)2y24上的动点，点A(3,0)，M是线段AP的中点(1)求点M的轨迹方程；(2)若点M的轨迹与直线l：2xyn0交于E，F两点，且OEOF，求n的值解(1)设M(x，y)为所求轨迹上的任意一点，点P为(x1，y1)，则(x13)2y4.又M是线段AP的中点，则代入式得x2y21.(2)联立消去y得5x24nxn210.由0得n.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由OEOF可得x1x2y1y20.y2xn，x1x2(2x1n)(2x2n)0，展开得5x1x22n(x1x2)n20.由式可得5×2n×n20，化简得n2.根据得n±.11