2022届高三数学一轮复习（原卷版）第5讲　离散型随机变量及其分布列.doc

《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第5讲　离散型随机变量及其分布列.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第5讲　离散型随机变量及其分布列.doc（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 第 5 讲 离散型随机变量及其分布列 一、知识梳理 1离散型随机变量 (1)随机变量 特点：随着试验结果的变化而变化的变量 表示：常用字母 X，Y，表示 (2)离散型随机变量的特点 所有取值可以一一列举出来 2离散型随机变量的分布列 (1)定义：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，xi，xn，X 取每一个值 xi(i1，2，n)的概率 P(Xxi)pi，则下表 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 称为离散型随机变量 X 的概率分布列， 简称为 X 的分布列， 有时也用等式 P(Xxi)pi，i1，2，n 表示 X 的分布列 (2)性质： pi0(i1，2，

2、n)；ni1pi1. 3常见的两类特殊分布列 (1)两点分布 若随机变量 X 服从两点分布，则其分布列为 X 0 1 P 1p p 其中 pP(X1)称为成功概率 (2)超几何分布 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(Xk)CkMCnkNMCnN，k0，1，2，m，即： X 0 1 m P C0MCn0NMCnN C1MCn1NMCnN CmMCnmNMCnN 其中 mminM，n，且 nN，MN，n，M，NN*. 如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布 常用结论 1随机变量的线性关系 若 X 是随机变量，

3、YaXb，a，b 是常数，则 Y 也是随机变量 2分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值 (2)随机变量 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率 二、教材衍化 1设随机变量 X 的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P 112 16 13 16 p 则 p_ 解析：由分布列的性质知，112161316p1， 所以 p13414. 答案：14 2有一批产品共 12 件，其中次品 3 件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数 X 的所有可能取值是_ 解析：因为次品共有 3 件，所以在取到合格品之前取到次品数为 0，1，2，

4、3. 答案：0，1，2，3 3设随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 13 m 14 16 则 P(|X3|1)_ 解析：由13m14161，解得 m14，P(|X3|1)P(X2)P(X4)1416512. 答案：512 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量( ) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的( ) (3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和( ) (4)从 4名男演员和3 名女演员中选出4 人， 其中女演员的人数X服从超几何分布 ( ) (5)由下表给出

5、的随机变量 X 的分布列服从两点分布( ) X 2 5 P 0.3 0.7 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 二、易错纠偏 常见误区| (1)随机变量的概念不清； (2)超几何分布类型掌握不准； (3)分布列的性质不清致误 1袋中有 3 个白球、5 个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( ) A至少取到 1 个白球 B至多取到 1 个白球 C取到白球的个数 D取到的球的个数 解析：选 CA，B 两项表述的都是随机事件，D 项是确定的值 2，并不随机；C 项是随机变量，可能取值为 0，1，2.故选 C 2一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的、3 个旧的，从盒中任取 3 个

6、球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P(X4)_ 解析：X4表示从盒中取了 2 个旧球，1 个新球，故 P(X4)C23C19C31227220. 答案：27220 3设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数，则 P(X0)_ 解析：由已知得 X 的所有可能取值为 0，1，且 P(X1)2P(X0)，由 P(X1)P(X0)1，得 P(X0)13. 答案：13 考点一 离散型随机变量的分布列的性质(基础型) 复习指导| 在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念 核心素养：数学抽象 设离散型随机变量

7、 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X1 的分布列； (2)P(1X4) 【解】 由分布列的性质知： 020.10.10.3m1， 解得 m0.3. (1)2X1 的分布列： 2X1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)P(1X4)P(X2)P(X3)P(X4)0.10.30.30.7. 【迁移探究】 (变问法)在本例条件下，求|X1|的分布列 解：|X1|的分布列： |X1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用分布列中各概率之和为 1 可求

8、参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值 (2)若 X 为随机变量，则 2X1 仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列 1设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为 X 1 0 1 P 13 23q q2 则 q 的值为( ) A1 B32336 C32336 D32336 解析：选 C由分布列的性质知23q0，q20，1323qq21， 解得 q32336. 2离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(Xn)an(n1)(n1，2，3，4)，其中 a 是常数，则 P(12X52)的值为_ 解析：由112123134145a1，知45a1，

9、得 a54. 故 P12X52P(X1)P(X2)1254165456. 答案：56 考点二 超几何分布(基础型) 复习指导| 通过实例理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用 核心素养：数学建模 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有 6名男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5，A6和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示 (1)求接受

10、甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的概率； (2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列 【解】 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的事件为 M， 则 P(M)C48C510518. (2)由题意知 X 可取的值为 0，1，2，3，4，则 P(X0)C56C510142， P(X1)C46C14C510521， P(X2)C36C24C5101021， P(X3)C26C34C510521， P(X4)C16C44C510142. 因此 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 142 521 1021 521 142 【迁移探究 1

11、】 (变问法)若用 X 表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求 X 的分布列 解：由题意可知 X 的取值为 1，2，3，4，5，则 P(X1)C16C44C510142， P(X2)C26C34C510521， P(X3)C36C24C5101021， P(X4)C46C14C510521， P(X5)C56C510142. 因此 X 的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 142 521 1021 521 142 【迁移探究 2】 (变问法)若用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求 X 的分布列 解：由题意可知 X 的取值为 3，1，1，3，5， 则 P(X3)C4

12、4C16C510142，P(X1)C34C26C510521， P(X1)C24C36C5101021，P(X3)C14C46C510521， P(X5)C56C510142. 因此 X 的分布列为 X 3 1 1 3 5 P 142 521 1021 521 142 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数 (2)超几何分布的特征是：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体个数 X 的概率分布 (3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型 (2020 郑州模拟)为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司

13、机在高考期间至少进行一次“爱心送考”， 该城市某出租车公司共 200 名司机， 他们进行“爱心送 考”的次数统计如图所示 (1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数； (2)从这 200 名司机中任选两人， 设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量 X， 求X 的分布列 解：(1)由统计图得 200 名司机中送考 1 次的有 20 人，送考 2 次的有 100 人，送考 3 次的 有 80 人 ， 所 以 该 出 租 车 公 司 的 司 机 进 行 “ 爱 心 送 考 ” 的 人 均 次 数 为20110028032002.3. (2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考 1

14、 次，另一人送考 2 次”为事件 A，“这两人中一人送考 2 次，另一人送考 3 次”为事件 B， “这两人中一人送考 1 次，另一人送考 3 次”为事件 C， “这两人送考次数相同”为事件 D， 由题意知 X 的所有可能取值为 0，1，2， P(X1)P(A)P(B)C120C1100C2200C1100C180C2200100199， P(X2)P(C)C120C180C220016199， P(X0)P(D)C220C2100C280C220083199， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 83199 100199 16199 考点三 求离散型随机变量的分布列(应用型) 复习指导

15、| 会求取有限个值的离散型随机变量的分布列 核心素养：数学建模 (2020 安阳模拟)某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品 50 天，统计发现每天的销售量 x 分布在50，100)内，且销售量 x 的分布频率 f(x)n100.5，10nx10(n1)，n为偶数，n20a，10nx10(n1)，n为奇数. (1)求 a 的值并估计销售量的平均数； (2)若销售量大于或等于 70，则称该日畅销，其余为滞销在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取 8 天，再从这 8 天中随机抽取 3 天进行统计，设这 3 天来自 X 个组，求随机变量 X 的分布列及数学期望(将频率

16、视为概率) 【解】 (1)由题意知10n50，10(n1)100， 解得 5n9，n 可取 5，6，7，8，9， 结合 f(x)n100.5，10nx10(n1)，n为偶数，n20a，10nx10(n1)，n为奇数， 得6100.5 8100.5 520a 720a 920a 1，则 a0.15. 可知销售量分别在50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100)内的频率分别是0.1，0.1，0.2，0.3，0.3， 所以销售量的平均数为 550.1650.1750.2850.3950.381. (2)销售量分布在70，80)，80，90)，90，100)内的频率之比为 2

17、33，所以在各组抽取的天数分别为 2，3，3. X 的所有可能取值为 1，2，3， P(X1)2C38256128， P(X3)233C381856928， P(X2)1128928914. X 的分布列为 X 1 2 3 P 128 914 928 数学期望 E(X)112829143928167. 求离散型随机变量 X 的分布列的步骤 (1)理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值； (2)求 X 取每个值的概率； (3)写出 X 的分布列求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识 (2020 广州市综合检测(一)为了引导居民

18、合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户) 阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 月用电范围/度 0，210 (210，400 (400，) 某市随机抽取 10 户同一个月的用电情况，得到统计表如下： 居民用电户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 用电量/度 53 86 90 124 132 200 215 225 300 410 (1)若规定第一阶梯电价每度 0.5 元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度 0.6 元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度 0.8 元，试计算某居民用电户用电 410 度时应交电费多少元？ (2)现要从这 10 户家庭

19、中任意选取 3 户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列 解：(1)2100.5(400210)0.6(410400)0.8227(元) (2)设取到第二阶梯电量的户数为 ，可知第二阶梯电量的用户有 3 户，则 可取 0，1，2，3， P(0)C37C310724， P(1)C27C13C3102140， P(2)C17C23C310740， P(3)C33C3101120， 故 的分布列为 0 1 2 3 P 724 2140 740 1120 基础题组练 1(2020 陕西咸阳模拟)设随机变量 的概率分布列为 P(k)a13k，其中 k0，1，2，那么 a 的值为( ) A35 B2713 C

20、919 D913 解析：选 D因为随机变量 的概率分布列为 P(k)a13k，其中 k0，1，2，所以P(0)a130a，P(1)a131a3，P(2)a132a9，所以 aa3a91，解得 a913.故选 D 2在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选 10 个村庄，用 X 表示这 10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C47C68C1015的是( ) AP(X2) BP(X2) CP(X4) DP(X4) 解析：选 CX 服从超几何分布，P(Xk)Ck7C10k8C1015，故 k4，故选 C 3一袋中装有 5 个球，编号为 1，2，3，4，5，在袋中同时取出 3

21、 个，以 表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量 的分布列为( ) A 1 2 3 P 13 13 13 B 1 2 3 4 P 110 15 310 25 C 1 2 3 P 35 310 110 D 1 2 3 P 110 310 35 解析：选 C随机变量 的可能取值为 1，2，3，P(1)C24C3535，P(2)C23C35310，P(3)C22C35110，故选 C 4已知在 10 件产品中可能存在次品，从中抽取 2 件检查，其中次品数为 ，已知 P(1)1645，且该产品的次品率不超过 40%，则这 10 件产品的次品率为( ) A10% B20% C30% D40% 解析：选

22、 B设 10 件产品中有 x 件次品，则 P(1)C1xC110 xC210 x(10 x)451645，所以x2 或 8.因为次品率不超过 40%，所以 x2，所以次品率为21020%. 5(多选)(2020 山东烟台期中)某人参加一次测试，在备选的 10 道题中，他能答对其中的 5 道，现从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试，规定至少答对 2 题才算合格，则下列选项正确的是( ) A答对 0 题和答对 3 题的概率相同，都为18 B答对 1 题的概率为38 C答对 2 题的概率为512 D合格的概率为12 解析：选 CD设此人答对题目的个数为 ，则 0，1，2，3，p(0)C0

23、5C35C310112，P(1)C15C25C310512，P(2)C25C15C310512，P(3)C35C05C310112，则答对 0 题和答对 3 题的概率相同，都为112，故 A 错误；答对 1 题的概率为512，故 B 错误；答对 2 题的概率为512，故C 正确；合格的概率 PP(2)P(3)51211212，故 D 正确；故选 CD 6在含有 3 件次品的 10 件产品中，任取 4 件，X 表示取到的次品数，则 P(X2)_ 解析：由题意知，X 服从超几何分布， 其中 N10，M3，n4， 故 P(X2)C23C27C410310. 答案：310 7从 4 名男生和 2 名女

24、生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中女生人数不超过 1人的概率是_ 解析：设所选女生人数为 X，则 X 服从超几何分布， 则 P(X1)P(X0)P(X1)C02C34C36C12C24C3645. 答案：45 8随机变量 X 的分布列如下： X 1 0 1 P a b c 其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|X|1)_，公差 d 的取值范围是_ 解析：因为 a，b，c 成等差数列，所以 2bac. 又 abc1，所以 b13， 所以 P(|X|1)ac23. 又 a13d，c13d， 根据分布列的性质，得 013d23，013d23， 所以13d13. 答案：23 13，13

25、9在一个盒子中，放有标号分别为 1，2，3 的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x，y，记 X|x2|yx|. (1)求随机变量 X 的最大值，并求事件“X 取得最大值”的概率； (2)求随机变量 X 的分布列 解：(1)由题意知，x，y 可能的取值为 1，2，3， 则|x2|1，|yx|2，所以 X3，且当 x1，y3 或 x3，y1 时，X3，因此，随机变量 X 的最大值为 3. 有放回地抽两张卡片的所有情况有 339(种)， 所以 P(X3)29.故随机变量 X 的最大值为 3，事件“X 取得最大值”的概率为29. (2)X 的所有可能取值为 0，1，2，3

26、. 当 X0 时，只有 x2，y2 这一种情况； 当 X1 时，有 x1，y1 或 x2，y1 或 x2，y3 或 x3，y3 四种情况； 当 X2 时，有 x1，y2 或 x3，y2 两种情况； 当 X3 时，有 x1，y3 或 x3，y1 两种情况所以 P(X0)19，P(X1)49，P(X2)29，P(X3)29.所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 19 49 29 29 10.(2020 福州模拟)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在 2020 年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超 市面向该市某高中学生征集活动方案，

27、 该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用 方案如下： 将一个 444 的正方体各面均涂上红色， 再把它分割成 64 个相同的小正方体 经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为 ，记抽奖一次中奖的礼品价值为 . (1)求 P(3) (2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖记抽取的两个小正方体着色面数之和为 6，设为一等奖，获得价值 50 元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为 5，设为二等奖，获得价值 30 元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为 4，设为三等奖，获得价值 10 元的礼品，其他情况不获奖求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列 解：(1

28、)64 个小正方体中，三面着色的有 8 个，两面着色的有 24 个，一面着色的有 24个，另外 8 个没有着色， 所以 P(3)C18C18C124C124C2646402 0162063. (2) 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，6， 的取值为 50，30，10，0， P(50)P(6)C28C264282 016172， P(30)P(5)C18C124C2641922 016221， P(10)P(4)C224C18C124C2644682 0161356， P(0)1172221135683126. 所以 的分布列如下： 50 30 10 0 P 172 221 1356 8

29、3126 综合题组练 1 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花， 然后以每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理 (1)若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n(单位：枝，nN*)的函数解析式； (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表： 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进 17 枝玫瑰 花，X 表示当天的利润(单位：元)，求 X 的分布列 解：(1)

30、当日需求量 n17 时，利润 y(105)1785；当日需求量 n17 时，利润 y10n85，所以 y 关于 n 的解析式为 y10n85，n17，85，n17(nN*) (2)X 可取 55，65，75，85，P(X55)0.1，P(X65)0.2，P(X75)0.16，P (X85)0.54. X 的分布列为： X 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 2.(2020 湖南邵阳联考)为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天， 某校阳光志愿者社团组织了“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有 50 名志愿者参与志愿者的工作内容有两项：到各班宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；

31、整理、打包募捐上来的衣物每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示： 到班级宣传 整理、打包衣物 总计 20 人 30 人 50 人 (1)如果用分层抽样的方法从这 50 名志愿者中抽取 5 人，再从这 5 人中随机选 2 人，求至少有 1 人是参与班级宣传的志愿者的概率； (2)若参与班级宣传的志愿者中有 12 名男生，8 名女生，从中选出 2 名志愿者，用 X 表示女生人数，写出随机变量 X 的分布列及数学期望 解：(1)用分层抽样的方法，抽样比是550110， 所以 5 人中参与班级宣传的志愿者有 201102(人)， 参与整理、打包衣物的志愿者有 301

32、103(人)， 故所求概率 P1C23C25710. (2)X 的所有可能取值为 0，1，2， 则 P(X0)C212C2203395， P(X1)C112C18C2204895， P(X2)C28C2201495， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 3395 4895 1495 所以 X 的数学期望 E(X)03395148952149545. 3(2020 安徽宿州三调)为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用第一阶梯：年用电量在 2 160 度以下(含 2 160 度)，执行第

33、一档电价 0.565 3 元/度；第二阶梯：年用电量在 2 161 度到 4 200 度内(含 4 200 度)，超出 2 160 度的电量执行第二档电价 0.615 3 元/度；第三阶梯：年用电量在 4 200 度以上，超出 4 200 度的电量执行第三档电价 0.865 3 元/度 某市的电力部门从本市的用户中随机抽取 10 户，统计其同一年度的用电情况，列表如下： 用户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用电 量/度 1 000 1 260 1 400 1 824 2 180 2 423 2 815 3 325 4 411 4 600 (1)计算表中编号 10 的用户该年应

34、交的电费； (2)现要在这 10 户中任意选取 4 户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列 解：(1)因为第二档电价比第一档电价每度多 0.05 元， 第三档电价比第一档电价每度多 0.3 元， 编号为 10 的用户一年的用电量是 4 600 度， 所以该户该年应交电费 4 6000.565 3(4 2002 160)0.05(4 6004 200)0.32 822.38(元) (2)设取到第二阶梯的户数为 X， 易知第二阶梯的有 4 户，则 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4. P(X0)C04C46C410114， P(X1)C14C36C410821， P(X2)C24C26C41037， P(X3)C34C16C410435， P(X4)C44C06C4101210， 故 X 的分布列是 X 0 1 2 3 4 P 114 821 37 435 1210