第2章随机变量的分布精.ppt

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1、第2章随机变量的分布第1页，本讲稿共77页随机变量概念的提出和研究在概率论史经历了一个相随机变量概念的提出和研究在概率论史经历了一个相当长的过程，并引起过不少争议。当长的过程，并引起过不少争议。第2页，本讲稿共77页在许多随机试验中，往往将每种试验结果与另一个数在许多随机试验中，往往将每种试验结果与另一个数相关联相关联:赌博时投掷硬币，赌博时投掷硬币，人们总是将正面和反面转化成赢和输了人们总是将正面和反面转化成赢和输了多少钱联系起来多少钱联系起来；摸球中奖活动，摸球中奖活动，人们摸中红球、白球、黑球等时，总人们摸中红球、白球、黑球等时，总是和中几等奖、多少奖金联系起来是和中几等奖、多少奖金联系

2、起来。第3页，本讲稿共77页x abc3421给随机试验的每个结果都赋予一个数值，在样本空间 和实数值建立一种对应关系第4页，本讲稿共77页第5页，本讲稿共77页随机变量是我们应用数学理论和方法来深入和系统地研究随机试验规律的基础。第6页，本讲稿共77页第7页，本讲稿共77页第8页，本讲稿共77页第9页，本讲稿共77页第10页，本讲稿共77页第11页，本讲稿共77页第12页，本讲稿共77页第13页，本讲稿共77页泊松在青年时代研究过一个有趣的数学游戏泊松在青年时代研究过一个有趣的数学游戏:某人有某人有12品脱啤酒一瓶，想从中倒出品脱啤酒一瓶，想从中倒出6品脱。但是他没有品脱。但是他没有6品脱的

3、容器，只有一个品脱的容器，只有一个8品脱和一个品脱和一个5品脱的容器。怎样的品脱的容器。怎样的倒法才能使倒法才能使8品脱的容器中恰好装好了品脱的容器中恰好装好了6品脱啤酒？品脱啤酒？（品脱（品脱是英容量单位，是英容量单位，1品脱品脱=0.568升）升）对这个数学游戏的研究竟决定了泊松一生的道路，对这个数学游戏的研究竟决定了泊松一生的道路，从此他决心要当一位数学家。从此他决心要当一位数学家。决定一生道路的一个数学游戏决定一生道路的一个数学游戏决定一生道路的一个数学游戏决定一生道路的一个数学游戏第14页，本讲稿共77页第15页，本讲稿共77页第16页，本讲稿共77页第17页，本讲稿共77页第18页

4、，本讲稿共77页第19页，本讲稿共77页第20页，本讲稿共77页第21页，本讲稿共77页常原来确定常原来确定F(x)中的未知参数中的未知参数第22页，本讲稿共77页第23页，本讲稿共77页第24页，本讲稿共77页性质：第25页，本讲稿共77页第26页，本讲稿共77页第27页，本讲稿共77页二、一维连续型随机变量常用的分布1）均匀分布：）均匀分布：P(x)o第28页，本讲稿共77页例 1F(x)o第29页，本讲稿共77页第30页，本讲稿共77页第31页，本讲稿共77页说明什么?指数分布无记忆性第32页，本讲稿共77页指数分布的无记忆性:第33页，本讲稿共77页（1 1）p(x)是偶函数是偶函数，

5、曲线关于曲线关于y轴对称轴对称；第34页，本讲稿共77页“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”的曲线的曲线当当XN(0,1)时，其分布函数为时，其分布函数为第35页，本讲稿共77页正态分布表正态分布表第36页，本讲稿共77页第37页，本讲稿共77页第38页，本讲稿共77页 决定图形的中心位置，决定图形的陡峭程度正态分布正态分布呈现呈现”中间高中间高,两头低两头低”的状态的状态,它描述它描述了自然界大量存在的随机现象了自然界大量存在的随机现象,也是自然界一种正也是自然界一种正常状态的分布常状态的分布.第39页，本讲稿共77页第40页，本讲稿共77页用某大学大学生的身高的数据画出的频

6、率直方图用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图红线是拟合的正红线是拟合的正态密度曲线态密度曲线可见，大学生的身高应服从正态分布。可见，大学生的身高应服从正态分布。第41页，本讲稿共77页标准化后再查表标准化后再查表第42页，本讲稿共77页例 公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定?第43页，本讲稿共77页例=0.6826=0.9544=0.9974几乎是必然要出现的事件.如果X随机地取一个值不在上述范围内,第44页，本讲稿共77页第45页，本讲稿共77页要求要求1.能利用性质确定能利用性质确定F(x)与与p(x)中的未知参数中的未知参数

7、2.F(x)与与p(x)的关系；的关系；3.会求会求X在某范围内的概率；在某范围内的概率；4.熟悉常见分布均匀分布，指数分布，正态分布熟悉常见分布均匀分布，指数分布，正态分布的背的背景与用途景与用途第46页，本讲稿共77页 高高高高斯斯斯斯（Gauss,Gauss,Gauss,Gauss,17771777177717771855185518551855 ）德德德德国国国国天天天天才才才才数数数数学学学学家家家家、天天天天文文文文学学学学家家家家和和和和物物物物理理理理学学学学家家家家.1799179917991799年年年年高高高高斯斯斯斯于于于于黑黑黑黑尔尔尔尔姆姆姆姆施施施施泰泰泰泰特特特

8、特大大大大学学学学因因因因证证证证明明明明代代代代数数数数基基基基本本本本定定定定理理理理获获获获博博博博士士士士学学学学位位位位.从从从从1807180718071807年年年年起起起起担担担担任任任任格格格格丁丁丁丁根根根根大大大大学学学学教教教教授授授授兼格丁根天文台台长直至逝世兼格丁根天文台台长直至逝世兼格丁根天文台台长直至逝世兼格丁根天文台台长直至逝世.高高高高斯斯斯斯和和和和牛牛牛牛顿顿顿顿、阿阿阿阿基基基基米米米米德德德德，被被被被誉誉誉誉为为为为有有有有史史史史以以以以来来来来的的的的三三三三大大大大数数数数学学学学家家家家.高高高高斯斯斯斯是是是是近近近近代代代代数数数数学学

9、学学奠奠奠奠基基基基者者者者之之之之一一一一，在在在在历历历历史史史史上上上上影影影影响响响响之之之之大大大大，可可可可以以以以和和和和阿阿阿阿基基基基米米米米德德德德、牛顿、欧拉并列，有牛顿、欧拉并列，有牛顿、欧拉并列，有牛顿、欧拉并列，有“数学王子数学王子数学王子数学王子”之称之称之称之称.在在在在全全全全世世世世界界界界广广广广为为为为流流流流传传传传的的的的一一一一则则则则故故故故事事事事说说说说，高高高高斯斯斯斯10101010岁岁岁岁时时时时算算算算出出出出数数数数学学学学老师布特纳给学生们出的算术题老师布特纳给学生们出的算术题老师布特纳给学生们出的算术题老师布特纳给学生们出的算术

10、题1+2+1+2+1+2+1+2+100+100+100+100布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案.第47页，本讲稿共77页 不不不不过过过过，这这这这很很很很可可可可能能能能是是是是一一一一个个个个不不不不真真真真实实实实的的的的传传传传说说说说。据据据据对对对对高高高高斯斯斯斯素素素素有有有有研研研研究究究究的的的的著著著著名名名名数数数数学学学学史史史史家家家家ETETETET贝贝贝贝尔尔尔尔(E.T.Bell)(E.T.Bell)(E.T.Bell)(E.T.B

11、ell)考考考考证证证证,布布布布特特特特纳纳纳纳当当当当时给孩子们出的是一道更难的加法题：时给孩子们出的是一道更难的加法题：时给孩子们出的是一道更难的加法题：时给孩子们出的是一道更难的加法题：81297+81495+81693+10089981297+81495+81693+100899这这这这也也也也是是是是一一一一个个个个等等等等差差差差数数数数列列列列的的的的求求求求和和和和问问问问题题题题（公公公公差差差差为为为为198,198,198,198,项项项项数数数数为为为为100100100100）。当当当当布布布布特特特特纳纳纳纳刚刚刚刚一一一一写写写写完完完完时时时时，高高高高斯斯斯

12、斯也也也也算算算算完完完完并并并并把把把把写写写写有有有有答答答答案案案案的的的的小小小小石石石石板板板板交交交交了上去。了上去。了上去。了上去。这说明高斯这说明高斯这说明高斯这说明高斯10101010岁就掌握了等差数列求和公式岁就掌握了等差数列求和公式岁就掌握了等差数列求和公式岁就掌握了等差数列求和公式.第48页，本讲稿共77页 1788178817881788年年年年，高斯年仅，高斯年仅，高斯年仅，高斯年仅11111111岁发现了二项式定理岁发现了二项式定理岁发现了二项式定理岁发现了二项式定理.1794179417941794年年年年，开始研究测量误差，开始研究测量误差，开始研究测量误差，

13、开始研究测量误差,提出最小二乘法提出最小二乘法提出最小二乘法提出最小二乘法.1795179517951795年年年年，18181818岁时高斯发明了用圆规和直尺作正岁时高斯发明了用圆规和直尺作正岁时高斯发明了用圆规和直尺作正岁时高斯发明了用圆规和直尺作正17171717边形的边形的边形的边形的 方法，从而解决了方法，从而解决了方法，从而解决了方法，从而解决了2000200020002000年来悬而未解的难题年来悬而未解的难题年来悬而未解的难题年来悬而未解的难题.1799179917991799年年年年,他证明了代数学的一个基本定理：实系数代数他证明了代数学的一个基本定理：实系数代数他证明了代数

14、学的一个基本定理：实系数代数他证明了代数学的一个基本定理：实系数代数 方程必有根，因而获得博士学位方程必有根，因而获得博士学位方程必有根，因而获得博士学位方程必有根，因而获得博士学位.1801180118011801年年年年,出版了算术研究一书，开创了近代数论，这出版了算术研究一书，开创了近代数论，这出版了算术研究一书，开创了近代数论，这出版了算术研究一书，开创了近代数论，这本书所讨论的内容成为直到本书所讨论的内容成为直到本书所讨论的内容成为直到本书所讨论的内容成为直到20202020世纪数论研究的方向世纪数论研究的方向世纪数论研究的方向世纪数论研究的方向.1818181818181818年年

15、年年,他他他他提提提提出出出出了了了了关关关关于于于于非非非非欧欧欧欧几几几几里里里里德德德德可可可可能能能能性性性性的的的的思思思思想想想想，是是是是非非非非欧欧欧欧几何学的创始人之一几何学的创始人之一几何学的创始人之一几何学的创始人之一 ;1827182718271827年年年年,他他他他又又又又建建建建立立立立了了了了微微微微分分分分几几几几何何何何中中中中关关关关于于于于曲曲曲曲面面面面的的的的系系系系统统统统理理理理论论论论创立了微分几何创立了微分几何创立了微分几何创立了微分几何;1831183118311831年年年年，他建立了复数的代数学，他建立了复数的代数学，他建立了复数的代数

16、学，他建立了复数的代数学；第49页，本讲稿共77页 另外，他沿着拉普拉斯的思想，继续发展了概率论。另外，他沿着拉普拉斯的思想，继续发展了概率论。另外，他沿着拉普拉斯的思想，继续发展了概率论。另外，他沿着拉普拉斯的思想，继续发展了概率论。此外，他还研究了向量分析，关于正态分布的正规曲线、此外，他还研究了向量分析，关于正态分布的正规曲线、此外，他还研究了向量分析，关于正态分布的正规曲线、此外，他还研究了向量分析，关于正态分布的正规曲线、质数定理的验算等。质数定理的验算等。质数定理的验算等。质数定理的验算等。高高高高斯斯斯斯去去去去世世世世后后后后，人人人人们们们们建建建建立立立立了了了了以以以以正

17、正正正17171717边边边边形形形形棱棱棱棱柱柱柱柱为为为为基基基基座座座座的的的的高斯像，以纪念这位伟大的数学家。高斯像，以纪念这位伟大的数学家。高斯像，以纪念这位伟大的数学家。高斯像，以纪念这位伟大的数学家。第50页，本讲稿共77页(X，Y)P第51页，本讲稿共77页X Y第52页，本讲稿共77页第53页，本讲稿共77页第54页，本讲稿共77页第55页，本讲稿共77页分布函数分布函数第56页，本讲稿共77页计算概率的主要方法第57页，本讲稿共77页第58页，本讲稿共77页第59页，本讲稿共77页第60页，本讲稿共77页第61页，本讲稿共77页第62页，本讲稿共77页例 设(X,Y)的分布

18、律为求(X,Y)关于X及Y的边缘分布律。求求(X,Y)关于关于X及及Y的边缘分布函数。的边缘分布函数。第63页，本讲稿共77页求导求导求积分求积分第64页，本讲稿共77页第65页，本讲稿共77页例 设二维随机变量(X,Y)的分布密度为求(X,Y)关于X及Y的边缘分布密度。第66页，本讲稿共77页三、两个随机变量相互独立第67页，本讲稿共77页第68页，本讲稿共77页第69页，本讲稿共77页第70页，本讲稿共77页四、多个随机变量相互独立四、多个随机变量相互独立第71页，本讲稿共77页随机变量的概率分布（一、二维）随机变量的概率分布（一、二维）离散型连续型分布律分布密度分布函数分布函数0-1分布二项分布Poission分布几何分布超几何分布均匀分布指数分布正态分布第72页，本讲稿共77页二维随机变量的相互独立二维随机变量的相互独立离散型连续型边缘分布律边缘分布密度边缘分布函数第73页，本讲稿共77页本章习题：本章习题：第74页，本讲稿共77页第75页，本讲稿共77页第76页，本讲稿共77页第77页，本讲稿共77页