第2章谓词逻辑精.ppt

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1、第第2章谓词逻辑章谓词逻辑第1页，本讲稿共91页所有的人都是要死的，所有的人都是要死的，所有的人都是要死的，所有的人都是要死的，苏格拉底是人，苏格拉底是人，苏格拉底是人，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。所以苏格拉底是要死的。所以苏格拉底是要死的。所以苏格拉底是要死的。根据常识，认为这个推理是正确的。但是，根据常识，认为这个推理是正确的。但是，根据常识，认为这个推理是正确的。但是，根据常识，认为这个推理是正确的。但是，若用若用若用若用LsLs来表示，设来表示，设来表示，设来表示，设P P、Q Q和和和和R R分别表示这三个原分别表示这三个原分别表示这三个原分别表示这三个原子命题，则有子命题，

2、则有子命题，则有子命题，则有P P，Q QR R第2页，本讲稿共91页然然然然而而而而，(P PQ Q)R R并并并并不不不不是是是是永永永永真真真真式式式式，故故故故上上上上述述述述推推推推理理理理形形形形式式式式又又又又是是是是错错错错误误误误的的的的。一一一一个个个个推推推推理理理理，得得得得出出出出矛矛矛矛盾盾盾盾的的的的结结结结论论论论，问问问问题题题题在在在在哪哪哪哪里里里里呢呢呢呢?问问问问题题题题就就就就在在在在于于于于这这这这类类类类推推推推理理理理中中中中，各各各各命命命命题题题题之之之之间间间间的的的的逻逻逻逻辑辑辑辑关关关关系系系系不不不不是是是是体体体体现现现现在在在

3、在原原原原子子子子命命命命题题题题之之之之间间间间，而而而而是是是是体体体体现现现现在在在在构构构构成成成成原原原原子子子子命命命命题题题题的的的的内内内内部部部部成成成成分分分分之之之之间间间间，即即即即体体体体现现现现在在在在命命命命题题题题结结结结构构构构的的的的更更更更深深深深层层层层次次次次上上上上。对对对对此此此此，LsLs是是是是无无无无能能能能为为为为力力力力的的的的。所所所所以以以以，在在在在研研研研究究究究某某某某些些些些推推推推理理理理时时时时，有有有有必必必必要要要要对对对对原原原原子子子子命命命命题题题题作作作作进进进进一一一一步步步步分分分分析析析析，分分分分析析析

4、析出出出出其其其其中中中中的的的的个个个个体体体体词词词词，谓谓谓谓词词词词和和和和量量量量词词词词，研研研研究究究究它它它它们们们们的的的的形形形形式式式式结结结结构构构构的的的的逻逻逻逻辑辑辑辑关关关关系系系系、正正正正确确确确的的的的推推推推理理理理形形形形式式式式和和和和规规规规则则则则，这这这这些些些些正正正正是是是是谓谓谓谓词词词词逻辑（简称为逻辑（简称为逻辑（简称为逻辑（简称为LpLp）的基本内容。）的基本内容。）的基本内容。）的基本内容。第3页，本讲稿共91页2.1 个体、谓词和量词个体、谓词和量词2.2 谓词公式与翻译谓词公式与翻译2.3 2.3 约束变元与自由变元约束变元与

5、自由变元约束变元与自由变元约束变元与自由变元2.4 公式解释与类型公式解释与类型2.5 2.5 等价式与蕴涵式等价式与蕴涵式等价式与蕴涵式等价式与蕴涵式2.6 2.6 谓词公式范式谓词公式范式谓词公式范式谓词公式范式2.7 谓词逻辑的推理理论谓词逻辑的推理理论第4页，本讲稿共91页2.1 个体、谓词和量词个体、谓词和量词在在在在LpLp中中中中，命命命命题题题题是是是是具具具具有有有有真真真真假假假假意意意意义义义义的的的的陈陈陈陈述述述述句句句句。从从从从语语语语法法法法上上上上分分分分析析析析，一一一一个个个个陈陈陈陈述述述述句句句句由由由由主主主主语语语语和和和和谓谓谓谓语语语语两两两两

6、部部部部分分分分组组组组成成成成。在在在在LpLp中中中中，为为为为揭揭揭揭示示示示命命命命题题题题内内内内部部部部结结结结构构构构及及及及其其其其不不不不同同同同命命命命题题题题的的的的内内内内部部部部结结结结构构构构关关关关系系系系，就就就就按按按按照照照照这这这这两两两两部部部部分分分分对对对对命命命命题题题题进进进进行行行行分分分分析析析析，并并并并且且且且把把把把主主主主语语语语称称称称为为为为个个个个体体体体或或或或客客客客体体体体，把把把把谓语谓语谓语谓语称为称为称为称为谓词谓词谓词谓词。第5页，本讲稿共91页.个体、谓词和命题的谓词形式定义定义定义定义2.1.12.1.1 在原

7、子命题中，所描述的在原子命题中，所描述的在原子命题中，所描述的在原子命题中，所描述的对象对象对象对象称称称称为为为为个体个体个体个体；用以描述；用以描述；用以描述；用以描述个体的性质个体的性质个体的性质个体的性质或或或或个体间关系个体间关系个体间关系个体间关系的的的的部分，称为部分，称为部分，称为部分，称为谓词谓词谓词谓词。例如例如例如例如：张三：张三：张三：张三是个大学生是个大学生是个大学生是个大学生；5 5大于大于大于大于3 3个体，是指可以独立存在的事物，它可以个体，是指可以独立存在的事物，它可以个体，是指可以独立存在的事物，它可以个体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体的，也可以是抽

8、象的，如张三，计算机，是具体的，也可以是抽象的，如张三，计算机，是具体的，也可以是抽象的，如张三，计算机，是具体的，也可以是抽象的，如张三，计算机，精神等。表示特定的个体，称为精神等。表示特定的个体，称为精神等。表示特定的个体，称为精神等。表示特定的个体，称为个体常元个体常元个体常元个体常元，以，以，以，以a a，b b，c c或带下标的或带下标的或带下标的或带下标的a ai i，b bi i，c ci i表示；表示不表示；表示不表示；表示不表示；表示不确定的个体，称为确定的个体，称为确定的个体，称为确定的个体，称为个体变元个体变元个体变元个体变元，以，以，以，以x x，y y，z z或或或或

9、x xi i，y yi i，z zi i表示。表示。表示。表示。第6页，本讲稿共91页谓词，当与一个个体相联系时，它刻划了谓词，当与一个个体相联系时，它刻划了谓词，当与一个个体相联系时，它刻划了谓词，当与一个个体相联系时，它刻划了个体性质个体性质个体性质个体性质；当与两个或两个以上个体相联系时，；当与两个或两个以上个体相联系时，；当与两个或两个以上个体相联系时，；当与两个或两个以上个体相联系时，它刻划了它刻划了它刻划了它刻划了个体之间的关系个体之间的关系个体之间的关系个体之间的关系。表示特定谓词，称。表示特定谓词，称。表示特定谓词，称。表示特定谓词，称为为为为谓词常元谓词常元谓词常元谓词常元，

10、表示不确定的谓词，称为，表示不确定的谓词，称为，表示不确定的谓词，称为，表示不确定的谓词，称为谓词变谓词变谓词变谓词变元元元元，都用大写英文字母，如，都用大写英文字母，如，都用大写英文字母，如，都用大写英文字母，如P P，Q Q，R R，或，或，或，或其带上、下标来表示。在本书中，不对谓词变其带上、下标来表示。在本书中，不对谓词变其带上、下标来表示。在本书中，不对谓词变其带上、下标来表示。在本书中，不对谓词变元作更多地讨论。元作更多地讨论。元作更多地讨论。元作更多地讨论。第7页，本讲稿共91页对于给定的命题，当用表示其个体的小写对于给定的命题，当用表示其个体的小写对于给定的命题，当用表示其个体

11、的小写对于给定的命题，当用表示其个体的小写字母和表示其谓词的大写字母来表示时，规定字母和表示其谓词的大写字母来表示时，规定字母和表示其谓词的大写字母来表示时，规定字母和表示其谓词的大写字母来表示时，规定把小写字母写在大写字母右侧的圆括号把小写字母写在大写字母右侧的圆括号把小写字母写在大写字母右侧的圆括号把小写字母写在大写字母右侧的圆括号()()内。内。内。内。例如例如例如例如，在命题，在命题，在命题，在命题“张三是位大学生张三是位大学生张三是位大学生张三是位大学生”中，中，中，中，“张三张三张三张三”是个体，是个体，是个体，是个体，“是位大学生是位大学生是位大学生是位大学生”是谓词，它刻是谓词

12、，它刻是谓词，它刻是谓词，它刻划了划了划了划了“张三张三张三张三”的性质。设的性质。设的性质。设的性质。设S S：是位大学生，：是位大学生，：是位大学生，：是位大学生，c c：张三，则张三，则张三，则张三，则“张三是位大学生张三是位大学生张三是位大学生张三是位大学生”可表示为可表示为可表示为可表示为S S(c c)，或，或，或，或者写成者写成者写成者写成S S(c c)：张三是位大学生。：张三是位大学生。：张三是位大学生。：张三是位大学生。第8页，本讲稿共91页又如又如又如又如，在命题，在命题，在命题，在命题“武汉位于北京和广州之间武汉位于北京和广州之间武汉位于北京和广州之间武汉位于北京和广州

13、之间”中，武汉、北京和广州是三个个体，而中，武汉、北京和广州是三个个体，而中，武汉、北京和广州是三个个体，而中，武汉、北京和广州是三个个体，而“位于位于位于位于和和和和之间之间之间之间”是谓词，它刻划了武汉、北是谓词，它刻划了武汉、北是谓词，它刻划了武汉、北是谓词，它刻划了武汉、北京和广州之间的关系。设京和广州之间的关系。设京和广州之间的关系。设京和广州之间的关系。设P P：位于位于位于位于和和和和之间，之间，之间，之间，a a：武汉，：武汉，：武汉，：武汉，b b：北京，：北京，：北京，：北京，c c：广州，则：广州，则：广州，则：广州，则P P(a a，b b，c c)：武汉位于北京和广州

14、之间。武汉位于北京和广州之间。武汉位于北京和广州之间。武汉位于北京和广州之间。第9页，本讲稿共91页定义定义定义定义2.1.22.1.2 一个原子命题用一个谓词一个原子命题用一个谓词一个原子命题用一个谓词一个原子命题用一个谓词(如如如如P P)和和和和n n个有次序的个有次序的个有次序的个有次序的个体常元个体常元个体常元个体常元(如如如如a a1 1，a a2 2，a an n)表表表表示成示成示成示成P P(a a1 1，a a2 2，a an n)，称它为该原子命题的，称它为该原子命题的，称它为该原子命题的，称它为该原子命题的谓词形式或谓词形式或谓词形式或谓词形式或命题的谓词形式命题的谓词

15、形式命题的谓词形式命题的谓词形式。应注意的是，命题的谓词形式中的应注意的是，命题的谓词形式中的应注意的是，命题的谓词形式中的应注意的是，命题的谓词形式中的个体出个体出个体出个体出现的次序影响命题的真值现的次序影响命题的真值现的次序影响命题的真值现的次序影响命题的真值，不是随意变动，否，不是随意变动，否，不是随意变动，否，不是随意变动，否则真值会有变化。如上述例子中，则真值会有变化。如上述例子中，则真值会有变化。如上述例子中，则真值会有变化。如上述例子中，P P(b b,a a,c c)是假。是假。是假。是假。通常个体出现的次序事先要约定好。通常个体出现的次序事先要约定好。通常个体出现的次序事先

16、要约定好。通常个体出现的次序事先要约定好。第10页，本讲稿共91页.原子谓词公式原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽象，比如在谓词右侧的圆括号内的象，比如在谓词右侧的圆括号内的象，比如在谓词右侧的圆括号内的象，比如在谓词右侧的圆括号内的n n个个个个个体常元个体常元个体常元个体常元被替换成被替换成被替换成被替换成个体变元个体变元个体变元个体变元，如，如，如，如x x1 1,x x2 2,x xn n，这样，这样，这样，这样便得了一种关于命题结构的新表达形式，称之便得了一种关于命题结构的新

17、表达形式，称之便得了一种关于命题结构的新表达形式，称之便得了一种关于命题结构的新表达形式，称之为为为为n n元原子谓词。元原子谓词。元原子谓词。元原子谓词。第11页，本讲稿共91页定义定义定义定义2.1.32.1.3 由一个谓词由一个谓词由一个谓词由一个谓词(如如如如P P)和和和和n n个体变元个体变元个体变元个体变元(如如如如x x1 1，x x2 2，x xn n)组成的组成的组成的组成的P P(x x1 1，x x2 2，x xn n)，称它为称它为称它为称它为n n元原子谓词元原子谓词元原子谓词元原子谓词或或或或n n元命题函数元命题函数元命题函数元命题函数，简称，简称，简称，简称n

18、 n元谓元谓元谓元谓词。而个体变元的论述范围，称为词。而个体变元的论述范围，称为词。而个体变元的论述范围，称为词。而个体变元的论述范围，称为个体域个体域个体域个体域或或或或论论论论域域域域。当当当当n n=1=1时，称一元谓词；当时，称一元谓词；当时，称一元谓词；当时，称一元谓词；当n n=2=2时，称为二时，称为二时，称为二时，称为二元谓词，元谓词，元谓词，元谓词，。特别地，当。特别地，当。特别地，当。特别地，当n n=0=0，称为零元谓词。，称为零元谓词。，称为零元谓词。，称为零元谓词。零元谓词零元谓词零元谓词零元谓词就是通常的命题，这样命题与谓词就就是通常的命题，这样命题与谓词就就是通常

19、的命题，这样命题与谓词就就是通常的命题，这样命题与谓词就得到了统一。得到了统一。得到了统一。得到了统一。通常一元谓词表达了个体的通常一元谓词表达了个体的通常一元谓词表达了个体的通常一元谓词表达了个体的“性质性质性质性质”，而，而，而，而多元谓词表达了个体之间的关系。多元谓词表达了个体之间的关系。多元谓词表达了个体之间的关系。多元谓词表达了个体之间的关系。第12页，本讲稿共91页n n元谓词不是命题元谓词不是命题元谓词不是命题元谓词不是命题，只有其中的个体变元用只有其中的个体变元用只有其中的个体变元用只有其中的个体变元用特定个体或个体常元替代时，才能成为一个命特定个体或个体常元替代时，才能成为一

20、个命特定个体或个体常元替代时，才能成为一个命特定个体或个体常元替代时，才能成为一个命题。题。题。题。但个体变元在哪些论域取特定的值，对命但个体变元在哪些论域取特定的值，对命但个体变元在哪些论域取特定的值，对命但个体变元在哪些论域取特定的值，对命题的真值极有影响。题的真值极有影响。题的真值极有影响。题的真值极有影响。例如例如例如例如，令，令，令，令S S(x x)：x x是大学生。若是大学生。若是大学生。若是大学生。若x x的论域为的论域为的论域为的论域为某大学的计算机系中的全体同学，则某大学的计算机系中的全体同学，则某大学的计算机系中的全体同学，则某大学的计算机系中的全体同学，则S S(x x

21、)是真的；是真的；是真的；是真的；若若若若x x的论域是某中学的全体学生，则的论域是某中学的全体学生，则的论域是某中学的全体学生，则的论域是某中学的全体学生，则S S(x x)是假的；是假的；是假的；是假的；若若若若x x的论域是某剧场中的观众，且观众中有大学的论域是某剧场中的观众，且观众中有大学的论域是某剧场中的观众，且观众中有大学的论域是某剧场中的观众，且观众中有大学生也有非大学生的其它观众，则生也有非大学生的其它观众，则生也有非大学生的其它观众，则生也有非大学生的其它观众，则S S(x x)是真值是不是真值是不是真值是不是真值是不确定的。确定的。确定的。确定的。第13页，本讲稿共91页通

22、常，把一个通常，把一个通常，把一个通常，把一个n n元谓词中的每个个体的论域元谓词中的每个个体的论域元谓词中的每个个体的论域元谓词中的每个个体的论域综合在一起作为它的论域，称为综合在一起作为它的论域，称为综合在一起作为它的论域，称为综合在一起作为它的论域，称为n n元谓词的全总元谓词的全总元谓词的全总元谓词的全总论域。定义了论域。定义了论域。定义了论域。定义了全总论域全总论域全总论域全总论域或全总个体域，为深入或全总个体域，为深入或全总个体域，为深入或全总个体域，为深入研究命题提供了方便。当一个命题没有指明论研究命题提供了方便。当一个命题没有指明论研究命题提供了方便。当一个命题没有指明论研究命

23、题提供了方便。当一个命题没有指明论域时，一般都从全总论域作为其论域。而这时域时，一般都从全总论域作为其论域。而这时域时，一般都从全总论域作为其论域。而这时域时，一般都从全总论域作为其论域。而这时又常常要采用一个谓词如又常常要采用一个谓词如又常常要采用一个谓词如又常常要采用一个谓词如P P(x x)来限制个体变元来限制个体变元来限制个体变元来限制个体变元x x的取值范围，并把的取值范围，并把的取值范围，并把的取值范围，并把P P(x x)称为称为称为称为特性谓词特性谓词特性谓词特性谓词。第14页，本讲稿共91页.量词利用利用利用利用n n元谓词和它的论域概念，有时还是不元谓词和它的论域概念，有时

24、还是不元谓词和它的论域概念，有时还是不元谓词和它的论域概念，有时还是不能用符号来很准确地表达某些命题。能用符号来很准确地表达某些命题。能用符号来很准确地表达某些命题。能用符号来很准确地表达某些命题。例如例如例如例如 S S(x x)表示表示表示表示x x是大学生，而是大学生，而是大学生，而是大学生，而x x的个体域为的个体域为的个体域为的个体域为某单位的职工，那么某单位的职工，那么某单位的职工，那么某单位的职工，那么S S(x x)可表示某单位职工都是可表示某单位职工都是可表示某单位职工都是可表示某单位职工都是大学生，也可表示某单位有一些职工是大学生，大学生，也可表示某单位有一些职工是大学生，

25、大学生，也可表示某单位有一些职工是大学生，大学生，也可表示某单位有一些职工是大学生，为了避免理解上的歧义，在为了避免理解上的歧义，在为了避免理解上的歧义，在为了避免理解上的歧义，在LpLp中，需要引入用中，需要引入用中，需要引入用中，需要引入用以刻划以刻划以刻划以刻划“所有的所有的所有的所有的”、“存在一些存在一些存在一些存在一些”等表示不同等表示不同等表示不同等表示不同数量的词，即量词，其定义如下：数量的词，即量词，其定义如下：数量的词，即量词，其定义如下：数量的词，即量词，其定义如下：第15页，本讲稿共91页定义定义定义定义2.1.42.1.4 符号符号符号符号 称为全称量词符，用来称为全

26、称量词符，用来称为全称量词符，用来称为全称量词符，用来表达表达表达表达“对所有的对所有的对所有的对所有的”、“每一个每一个每一个每一个”、“对任何一对任何一对任何一对任何一个个个个”、“一切一切一切一切”等词语；等词语；等词语；等词语；x x称为称为称为称为全称量词全称量词全称量词全称量词，称，称，称，称x x为指导变元。为指导变元。为指导变元。为指导变元。符号符号符号符号 称为存在量词符，用来表达称为存在量词符，用来表达称为存在量词符，用来表达称为存在量词符，用来表达“存在存在存在存在一些一些一些一些”、“至少有一个至少有一个至少有一个至少有一个”、“对于一些对于一些对于一些对于一些”、“某

27、个某个某个某个”等词语；等词语；等词语；等词语；x x称为称为称为称为存在量词存在量词存在量词存在量词，x x称为指导变称为指导变称为指导变称为指导变元。元。元。元。第16页，本讲稿共91页符号符号符号符号 !称为存在唯一量词符，用来表达称为存在唯一量词符，用来表达称为存在唯一量词符，用来表达称为存在唯一量词符，用来表达“恰有一个恰有一个恰有一个恰有一个”、“存在唯一存在唯一存在唯一存在唯一”等词语；等词语；等词语；等词语；!x x称为称为称为称为存在唯一量词，称存在唯一量词，称存在唯一量词，称存在唯一量词，称x x为指导变元。为指导变元。为指导变元。为指导变元。全称量词、存在量词、存在唯一量

28、词统称全称量词、存在量词、存在唯一量词统称全称量词、存在量词、存在唯一量词统称全称量词、存在量词、存在唯一量词统称量词。量词记号是由逻辑学家量词。量词记号是由逻辑学家量词。量词记号是由逻辑学家量词。量词记号是由逻辑学家F Frayray引入的，有引入的，有引入的，有引入的，有了量词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大了量词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大了量词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大了量词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大加强了。加强了。加强了。加强了。第17页，本讲稿共91页例例例例2.1.12.1.1 试用量词、谓词表示下列命题：试用量词、谓词表示下列命题：试用量词、谓词表示下列

29、命题：试用量词、谓词表示下列命题：所有大学生都热爱祖国；所有大学生都热爱祖国；所有大学生都热爱祖国；所有大学生都热爱祖国；每个自然数都是实数；每个自然数都是实数；每个自然数都是实数；每个自然数都是实数；一些大学生有远大理想；一些大学生有远大理想；一些大学生有远大理想；一些大学生有远大理想；有的自然数是素数。有的自然数是素数。有的自然数是素数。有的自然数是素数。第18页，本讲稿共91页解解解解 令令令令S S(x x)：x x是大学生，是大学生，是大学生，是大学生，L L(x x)：x x热爱祖国，热爱祖国，热爱祖国，热爱祖国，N N(x x)：x x是自然数，是自然数，是自然数，是自然数，R

30、R(x x)：x x是实数，是实数，是实数，是实数，I I(x x)：x x有远有远有远有远大理想，大理想，大理想，大理想，P P(x x)：x x是素数。是素数。是素数。是素数。则例中各命题分别表示为：则例中各命题分别表示为：则例中各命题分别表示为：则例中各命题分别表示为：(x x)()(S S(x x)L L(x x)(x x)()(N N(x x)R R(x x)(x x)()(S S(x x)I I(x x)(x x)()(N N(x x)P P(x x)第19页，本讲稿共91页在该例的解答中，由于命题中没有指明个在该例的解答中，由于命题中没有指明个在该例的解答中，由于命题中没有指明个

31、在该例的解答中，由于命题中没有指明个体域，这便意味着各命题是在全总论域中讨论，体域，这便意味着各命题是在全总论域中讨论，体域，这便意味着各命题是在全总论域中讨论，体域，这便意味着各命题是在全总论域中讨论，因而都使用了特性谓词，如因而都使用了特性谓词，如因而都使用了特性谓词，如因而都使用了特性谓词，如S S(x x)、N N(x x)。而且还。而且还。而且还。而且还可以看出，量词与特性谓词的搭配还有一定规可以看出，量词与特性谓词的搭配还有一定规可以看出，量词与特性谓词的搭配还有一定规可以看出，量词与特性谓词的搭配还有一定规律，即律，即律，即律，即全称量词后跟一个条件式全称量词后跟一个条件式全称量

32、词后跟一个条件式全称量词后跟一个条件式，而特性谓词，而特性谓词，而特性谓词，而特性谓词作为其前件出现；作为其前件出现；作为其前件出现；作为其前件出现；存在量词后跟一个合取式存在量词后跟一个合取式存在量词后跟一个合取式存在量词后跟一个合取式，特性谓词作为一个合取项出现。特性谓词作为一个合取项出现。特性谓词作为一个合取项出现。特性谓词作为一个合取项出现。第20页，本讲稿共91页如果在解答时，指明了个体域，便不用特如果在解答时，指明了个体域，便不用特如果在解答时，指明了个体域，便不用特如果在解答时，指明了个体域，便不用特性谓词，例如在性谓词，例如在性谓词，例如在性谓词，例如在、中令个体域为全体大学中

33、令个体域为全体大学中令个体域为全体大学中令个体域为全体大学生，生，生，生，和和和和中的个体域为全部自然数，则可符中的个体域为全部自然数，则可符中的个体域为全部自然数，则可符中的个体域为全部自然数，则可符号化为：号化为：号化为：号化为：(x x)L L(x x)(x x)R R(x x)(x x)I I(x x)(x x)P P(x x)第21页，本讲稿共91页谓词前加上了量词，称为谓词的量化。谓词前加上了量词，称为谓词的量化。谓词前加上了量词，称为谓词的量化。谓词前加上了量词，称为谓词的量化。若若若若一个谓词中所有个体变元都量化了，则该谓词一个谓词中所有个体变元都量化了，则该谓词一个谓词中所有

34、个体变元都量化了，则该谓词一个谓词中所有个体变元都量化了，则该谓词就变成了命题就变成了命题就变成了命题就变成了命题。这是因为在谓词被量化后，可。这是因为在谓词被量化后，可。这是因为在谓词被量化后，可。这是因为在谓词被量化后，可以在整个个体域中考虑命题的真值了。这如同以在整个个体域中考虑命题的真值了。这如同以在整个个体域中考虑命题的真值了。这如同以在整个个体域中考虑命题的真值了。这如同数学中的函数数学中的函数数学中的函数数学中的函数f f(x x)，的值是不确定的，的值是不确定的，的值是不确定的，的值是不确定的，但但但但 可确定其值。可确定其值。可确定其值。可确定其值。第22页，本讲稿共91页2

35、.2 谓词公式与翻译谓词公式与翻译.谓词公式为为为为了了了了方方方方便便便便处处处处理理理理数数数数学学学学和和和和计计计计算算算算机机机机科科科科学学学学的的的的逻逻逻逻辑辑辑辑问问问问题及谓词表示的直觉清晰性，将引进题及谓词表示的直觉清晰性，将引进题及谓词表示的直觉清晰性，将引进题及谓词表示的直觉清晰性，将引进项项项项的概念。的概念。的概念。的概念。定义定义定义定义2.2.12.2.1 项由下列规则形成：项由下列规则形成：项由下列规则形成：项由下列规则形成：个体常元和个体变元是项；个体常元和个体变元是项；个体常元和个体变元是项；个体常元和个体变元是项；若若若若f f是是是是n n元元元元函

36、函函函数数数数，且且且且t t1 1，t t2 2，t tn n是是是是项项项项，则则则则f f(t t1 1，t t2 2，t tn n)是项；是项；是项；是项；所有项都由所有项都由所有项都由所有项都由和和和和生成。生成。生成。生成。第23页，本讲稿共91页有了项的定义，函数的概念就可用来表示有了项的定义，函数的概念就可用来表示有了项的定义，函数的概念就可用来表示有了项的定义，函数的概念就可用来表示个体常元和个体变元。例如，令个体常元和个体变元。例如，令个体常元和个体变元。例如，令个体常元和个体变元。例如，令f f(x x,y y)表示表示表示表示x x+y y，谓词谓词谓词谓词N N(x

37、x)表示表示表示表示x x是自然数，那么是自然数，那么是自然数，那么是自然数，那么f f(2,3)(2,3)表示个体自表示个体自表示个体自表示个体自然数然数然数然数5 5，而，而，而，而N N(f f(2,3)(2,3)表示表示表示表示5 5是自然数。这里函数是是自然数。这里函数是是自然数。这里函数是是自然数。这里函数是就广义而言的，例如就广义而言的，例如就广义而言的，例如就广义而言的，例如P P(x x):):x x是教授，是教授，是教授，是教授，f f(x x):):x x的父的父的父的父亲，亲，亲，亲，c c:张强，那么张强，那么张强，那么张强，那么P P(f f(c c)便是表示便是表

38、示便是表示便是表示“张强的父亲张强的父亲张强的父亲张强的父亲是教授是教授是教授是教授”这一命题。这一命题。这一命题。这一命题。第24页，本讲稿共91页函数的使用给谓词表示带来很大方便。例函数的使用给谓词表示带来很大方便。例函数的使用给谓词表示带来很大方便。例函数的使用给谓词表示带来很大方便。例如，用谓词表示命题：对任意整数如，用谓词表示命题：对任意整数如，用谓词表示命题：对任意整数如，用谓词表示命题：对任意整数x x，x x2 2-1=(1=(x x+1)(+1)(x x-1)-1)是恒等式。令是恒等式。令是恒等式。令是恒等式。令I I(x x):):x x是整数，是整数，是整数，是整数，f

39、f(x x)=)=x x2 2-1-1，g g(x x)=()=(x x+1)(+1)(x x-1)-1)，E E(x x,y y):):x x=y y，则该命，则该命，则该命，则该命题可表示成：题可表示成：题可表示成：题可表示成：(x x)()(I I(x x)E E(f f(x x),),g g(x x)。第25页，本讲稿共91页定义定义定义定义2.2.22.2.2 若若若若P P(x x1 1，x x2 2，x xn n)是是是是n n元谓词，元谓词，元谓词，元谓词，t t1 1，t t2 2，t tn n是项，则称是项，则称是项，则称是项，则称P P(t t1 1，t t2 2，t t

40、n n)为为为为LsLs中原子谓词公式，简称中原子谓词公式，简称中原子谓词公式，简称中原子谓词公式，简称原子公式原子公式原子公式原子公式。下面，由原子公式出发，给出下面，由原子公式出发，给出下面，由原子公式出发，给出下面，由原子公式出发，给出LpLp中的中的中的中的合式合式合式合式谓词公式谓词公式谓词公式谓词公式的归纳定义。的归纳定义。的归纳定义。的归纳定义。第26页，本讲稿共91页定义定义定义定义2.2.32.2.3 合式谓词公式当且仅当由下列规合式谓词公式当且仅当由下列规合式谓词公式当且仅当由下列规合式谓词公式当且仅当由下列规则形成的符号串则形成的符号串则形成的符号串则形成的符号串 原子公

41、式是合式谓词公式；原子公式是合式谓词公式；原子公式是合式谓词公式；原子公式是合式谓词公式；若若若若A A是合式谓词公式，则是合式谓词公式，则是合式谓词公式，则是合式谓词公式，则(A A)是合式谓是合式谓是合式谓是合式谓词公式；词公式；词公式；词公式；若若若若A A，B B是合式谓词公式，则是合式谓词公式，则是合式谓词公式，则是合式谓词公式，则(A AB B)，(A AB B)，(A AB B)和和和和(A AB B)都是合式谓词公式；都是合式谓词公式；都是合式谓词公式；都是合式谓词公式；若若若若A A是合式谓词公式，是合式谓词公式，是合式谓词公式，是合式谓词公式，x x是个体变元，则是个体变元

42、，则是个体变元，则是个体变元，则(x x)A A、(x x)A A都是合式谓词公式；都是合式谓词公式；都是合式谓词公式；都是合式谓词公式；仅有有限项次使用仅有有限项次使用仅有有限项次使用仅有有限项次使用、和和和和形成形成形成形成的才是合式谓词公式。的才是合式谓词公式。的才是合式谓词公式。的才是合式谓词公式。第27页，本讲稿共91页.谓词逻辑的翻译把把把把一一一一个个个个文文文文字字字字叙叙叙叙述述述述的的的的命命命命题题题题，用用用用谓谓谓谓词词词词公公公公式式式式表表表表示示示示出出出出来来来来，称称称称为为为为谓谓谓谓词词词词逻逻逻逻辑辑辑辑的的的的翻翻翻翻译译译译或或或或符符符符号号号号

43、化化化化；反反反反之之之之亦亦亦亦然然然然。一般说来，符号化的步骤如下：一般说来，符号化的步骤如下：一般说来，符号化的步骤如下：一般说来，符号化的步骤如下：正正正正确确确确理理理理解解解解给给给给定定定定命命命命题题题题。必必必必要要要要时时时时把把把把命命命命题题题题改改改改叙叙叙叙，使使使使其其其其中中中中每每每每个个个个原原原原子子子子命命命命题题题题、原原原原子子子子命命命命题题题题之之之之间间间间的的的的关关关关系系系系能能能能明明明明显表达出来。显表达出来。显表达出来。显表达出来。第28页，本讲稿共91页把每个原子命题分解成个体、谓词和量把每个原子命题分解成个体、谓词和量把每个原子

44、命题分解成个体、谓词和量把每个原子命题分解成个体、谓词和量词；在全总论域讨论时，要给出特性谓词。词；在全总论域讨论时，要给出特性谓词。词；在全总论域讨论时，要给出特性谓词。词；在全总论域讨论时，要给出特性谓词。找出恰当量词。应注意全称量词找出恰当量词。应注意全称量词找出恰当量词。应注意全称量词找出恰当量词。应注意全称量词(x x)后后后后跟条件式，存在量词跟条件式，存在量词跟条件式，存在量词跟条件式，存在量词(x x)后跟合取式。后跟合取式。后跟合取式。后跟合取式。用恰当的联结词把给定命题表示出来。用恰当的联结词把给定命题表示出来。用恰当的联结词把给定命题表示出来。用恰当的联结词把给定命题表示

45、出来。第29页，本讲稿共91页例例例例2.2.12.2.1 将将将将命命命命题题题题“没没没没有有有有不不不不犯犯犯犯错错错错误误误误的的的的人人人人”符符符符号号号号化。化。化。化。解解解解 令令令令 MM(x x):):x x是人是人是人是人;F F(x x):):x x犯错误，犯错误，犯错误，犯错误，则原命题表示为：则原命题表示为：则原命题表示为：则原命题表示为：(x x(MM(x x)F F(x x)也可以表示为：也可以表示为：也可以表示为：也可以表示为：(x x)()(MM(x x)F F(x x)。第30页，本讲稿共91页例例例例2.2.22.2.2 将命题将命题将命题将命题“没有

46、最大的自然数没有最大的自然数没有最大的自然数没有最大的自然数”符号化。符号化。符号化。符号化。解解解解 命命命命题题题题中中中中“没没没没有有有有最最最最大大大大的的的的”显显显显然然然然是是是是对对对对所所所所有有有有的的的的自自自自然然然然数数数数而而而而言言言言，所所所所以以以以可可可可理理理理解解解解为为为为“对对对对所所所所有有有有的的的的x x，如如如如果果果果x x是是是是自自自自然然然然数数数数，则则则则一一一一定定定定还还还还有有有有比比比比x x大大大大的的的的自自自自然然然然数数数数”，再再再再具具具具体体体体点点点点，即即即即“对对对对所所所所有有有有的的的的x x如如

47、如如果果果果x x是是是是自自自自然然然然数数数数，则则则则一一一一定定定定存存存存在在在在y y，y y也也也也是是是是自自自自然然然然数，并且数，并且数，并且数，并且y y比比比比x x大大大大”。令。令。令。令N N(x x):):x x是自然数，是自然数，是自然数，是自然数，G G(x x,y y):):x x大于大于大于大于y y，则原命题表示为：则原命题表示为：则原命题表示为：则原命题表示为：(x x)()(N N(x x)(y y)()(N N(y y)G G(y y,x x)。第31页，本讲稿共91页例例例例2.2.32.2.3 将语句将语句将语句将语句“今天有雨雪，有些人会跌

48、跤今天有雨雪，有些人会跌跤今天有雨雪，有些人会跌跤今天有雨雪，有些人会跌跤”符号化。符号化。符号化。符号化。解解解解 本语句可理解为本语句可理解为本语句可理解为本语句可理解为“若今天下雨又下雪，则若今天下雨又下雪，则若今天下雨又下雪，则若今天下雨又下雪，则存在存在存在存在x x，x x是人且是人且是人且是人且x x会跌跤会跌跤会跌跤会跌跤”。令令令令R R:今天下雨，今天下雨，今天下雨，今天下雨，S S:今天下雪，今天下雪，今天下雪，今天下雪，MM(x x):):x x是人，是人，是人，是人，F F(x x):):x x会跌跤，则本语句可表示为：会跌跤，则本语句可表示为：会跌跤，则本语句可表示

49、为：会跌跤，则本语句可表示为：R RS S(x x)()(MM(x x)F F(x x)。由于人们对命题的文字叙述含意理解的不同，由于人们对命题的文字叙述含意理解的不同，由于人们对命题的文字叙述含意理解的不同，由于人们对命题的文字叙述含意理解的不同，强调的重点不同，对个体性质的刻画深度不同，强调的重点不同，对个体性质的刻画深度不同，强调的重点不同，对个体性质的刻画深度不同，强调的重点不同，对个体性质的刻画深度不同，会影响到命题符号化的形式不同。会影响到命题符号化的形式不同。会影响到命题符号化的形式不同。会影响到命题符号化的形式不同。第32页，本讲稿共91页例例例例2.2.4 2.2.4 “这只

50、大红书柜摆满了那些古书这只大红书柜摆满了那些古书这只大红书柜摆满了那些古书这只大红书柜摆满了那些古书”。解法解法解法解法1 1 设设设设F F(x,yx,y):):x x摆满了摆满了摆满了摆满了y y;R R(x x):):x x是大红书是大红书是大红书是大红书柜；柜；柜；柜；Q Q(y y):):y y是古书是古书是古书是古书;a:;a:这只这只这只这只;b:;b:那些那些那些那些.R R(a a)Q Q(b b)F F(a,ba,b).).解法解法解法解法2 2 设设设设A A(x x):):x x是书柜是书柜是书柜是书柜;B B(x x):):x x是大的是大的是大的是大的;C C(x