常数项级数概念和性质.ppt

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1、关于常数项级数的概念和性质第一张，PPT共四十页，创作于2022年6月常数项级数的概念和性质 二、常数项级数的概念二、常数项级数的概念 三、无穷级数的基本性质三、无穷级数的基本性质 四、级数收敛的必要条件四、级数收敛的必要条件 第一节 第九章 一、问题的提出一、问题的提出 第二张，PPT共四十页，创作于2022年6月一、问题的提出1.1.计算圆的面积计算圆的面积正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积第三张，PPT共四十页，创作于2022年6月二、级数的概念1.1.级数的定义级数的定义:(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项部分和数列部分和数列级

2、数的部分和级数的部分和第四张，PPT共四十页，创作于2022年6月2.2.级数的收敛与发散级数的收敛与发散:第五张，PPT共四十页，创作于2022年6月余项余项第六张，PPT共四十页，创作于2022年6月解解第七张，PPT共四十页，创作于2022年6月 收敛收敛 发散发散 发散发散 发散发散 综上综上第八张，PPT共四十页，创作于2022年6月解解已知级数为等比级数，已知级数为等比级数，第九张，PPT共四十页，创作于2022年6月解解第十张，PPT共四十页，创作于2022年6月第十一张，PPT共四十页，创作于2022年6月 例4.判别级数的敛散性.解解:故原级数收敛,其和为第十二张，PPT共四

3、十页，创作于2022年6月三、基本性质结论结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变敛散性不变.结论结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.第十三张，PPT共四十页，创作于2022年6月解解第十四张，PPT共四十页，创作于2022年6月第十五张，PPT共四十页，创作于2022年6月性质3.在级数中去掉、加上或改变在级数中去掉、加上或改变有限项有限项,不会不会影响级数的敛散性影响级数的敛散性.证证:将级数的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得

4、新级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十六张，PPT共四十页，创作于2022年6月性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和的和.证证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,推论推论:若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散,则原级数必发散则原级数必发散.因此必有例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十七张，PPT共四十页，创作于2022年6月注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛收敛 发散发散第十八张，PPT共四十页，创作于2022年

5、6月四、级数收敛的必要条件四、级数收敛的必要条件 设收敛级数设收敛级数则必有则必有证证:可见可见:若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0,则级数必发散则级数必发散.例如例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十张，PPT共四十页，创作于2022年6月注意注意:并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.例如例如,调和级数调和级数虽然虽然但此级数发散但此级数发散 .事实上事实上,假设调和级数收敛于 S,则但矛盾!所以假设不真.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十一张，PPT共四十页，创作于2022年6月五、小结常数项级数的基本概念常数项级数

6、的基本概念基本审敛法基本审敛法第二十二张，PPT共四十页，创作于2022年6月一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义:这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:定理定理部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列.第二十三张，PPT共四十页，创作于2022年6月证明证明即部分和数列有界即部分和数列有界3.比较审敛法比较审敛法第二十四张，PPT共四十页，创作于2022年6月不是有界数列不是有界数列定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数.第二十五张，PPT共四十页，创作于2022年6月解解由图可知由图

7、可知第二十六张，PPT共四十页，创作于2022年6月重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和级数.第二十七张，PPT共四十页，创作于2022年6月证明证明第二十八张，PPT共四十页，创作于2022年6月4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;第二十九张，PPT共四十页，创作于2022年6月证明

8、证明由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.第三十张，PPT共四十页，创作于2022年6月第三十一张，PPT共四十页，创作于2022年6月解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.第三十二张，PPT共四十页，创作于2022年6月证明证明第三十三张，PPT共四十页，创作于2022年6月收敛收敛发散发散第三十四张，PPT共四十页，创作于2022年6月比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.两点注意两点注意:第三十五张，PPT共四十页，创作于2022年6月第三十六张，PPT共四十页，创作于2022年6月解解第三十七张，PPT共四十页，创作于2022年6月比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法第三十八张，PPT共四十页，创作于2022年6月级数收敛级数收敛.第三十九张，PPT共四十页，创作于2022年6月感感谢谢大大家家观观看看第四十张，PPT共四十页，创作于2022年6月