多面体与欧拉公式优秀PPT.ppt
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1、多面体与欧拉公式第1页,本讲稿共21页問題:以下哪些是多面體?哪些是正多面體呢?第2页,本讲稿共21页多面體與正多面體的定義多面體與正多面體的定義n多面體:由若干個多邊形圍成的封閉立體圖形。n正多面體:每個面都有相同邊數的正多邊形,而每個頂點都有相同棱數的凸多面體。第3页,本讲稿共21页究竟有多少個正多面體呢?第4页,本讲稿共21页歐拉公式n對簡單多面體而言,其頂點數(V)、面數(F)及棱數(E)滿足以下公式:nV+F E=2第5页,本讲稿共21页例子例子:若一凸三十二面體的頂點數是60,求它的棱數。n解:V=60,F=32n代入 V+F-E=2,得:n E=V+F-2 n =60+32-2n
2、 =90n該多面體的棱數是90。第6页,本讲稿共21页例子例子:若一凸多面體的面全是三角形,證明 F=2V-4。n解:由於每塊面有3條邊,而每條邊是兩 塊相鄰面所共有,所以:n E=3F/2.(*)n引用歐拉公式 V+F-E=2,得:n 2V+2F-2E=4n把(*)代入,得:2V+2F3F=4n 2V-F=4n F=2V 4。第7页,本讲稿共21页m的意義nm代表一個正多面體每塊面上的邊數正六面體m=4正四面體m=3第8页,本讲稿共21页n的意義nn代表一個正多面體每個頂點上的邊數正六面體n=3正八面體n=4第9页,本讲稿共21页想想看:mF=?nm代表一個正多面體每塊面上的邊數正六面體m=
3、4正八面體m=3F=6F=8mF=24=2EE=12E=12mF=24=2E第10页,本讲稿共21页想想看:nV=?nn代表一個正多面體每個頂點上的邊數正六面體n=3正八面體n=4V=8V=6nV=24=2EE=12E=12nV=24=2E第11页,本讲稿共21页n一般而言,對任意正多面體,有以下結果:nmF=2E 及 nV=2E第12页,本讲稿共21页一個幾何定理n定理:正多面體只有五種第13页,本讲稿共21页證明:正多面體只有五種n假設m代表一正多面體每塊面上的邊數n n代表它的每個頂點上的邊數n考慮以下公式:(1)(2)第14页,本讲稿共21页n將(1)、(2)式代入歐拉公式,得:(3)第15页,本讲稿共21页第16页,本讲稿共21页m-2n-21112132131mn3334353345第17页,本讲稿共21页把不同的m,n值代回(1)、(2)、(3),得:mnEF多面體名稱多面體名稱3364正四面體34128正八面體353020正二十面體43126正六面體533012正十二面體第18页,本讲稿共21页結論n正多面體只有以下五種:第19页,本讲稿共21页第20页,本讲稿共21页第21页,本讲稿共21页
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