辐射测量中的统计学.ppt

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1、辐射测量中的统计学1现在学习的是第1页，共75页 统计性是微观世界的属性之一。放射性原子核的衰变、辐射微观粒子的探测、辐射探测器接受入射粒子并产生输出信号等都是一个随机过程。这些粒子数、输出信号的电荷量、信号出现的时刻等是一个涨涨落落的随随机机变变量量，这样辐射测量所得到的数据也都是涨落的，要从这些数据推导出结论，就必须用概率论与数理统计概率论与数理统计的方法处理。1、可用于检验一台辐射测量装置的功能和状态是否正常；了解辐射探测中的概率统计问题，有两方面的意义：2、在处理只有一次或极为有限的测量中，可用统计学来预测其固有的统计不确定性，从而估计该单次测量应有的精密度,进而指导进而指导实验方案和

2、和条件。2现在学习的是第2页，共75页概率论基础知识概率论基础知识7.1 核衰变和放射性计数的统计分布核衰变和放射性计数的统计分布随机试验：随机试验：随机事件：随机事件：随机变量：随机变量：一定条件下的每次观察。一定条件下的每次观察。每次随机试验的各种结果。每次随机试验的各种结果。样本：样本：N次测量中随机变量的取值构成次测量中随机变量的取值构成代表随机事件的数量代表随机事件的数量概率：概率：描述在某种描述在某种随机试验随机试验的的各个随机事件各个随机事件出现出现的可能性的可能性。出现事件出现事件A的次数的次数总试验次数总试验次数事件事件A发生的概率发生的概率实验的平均值：实验的平均值：3现在

3、学习的是第3页，共75页随机变量可分为两种随机变量可分为两种离散型随机变量离散型随机变量可可取取值值是是有有限限个个或或“可可列列个个”分分立立的的数数值值。该该类类型随机变量用型随机变量用 表示，其可取值用表示，其可取值用 表示表示连续型随机变量连续型随机变量可取值是可取值是整个数轴整个数轴或或某一区间内某一区间内的的所有数值所有数值。连续型随机变量及其可取值则用连续型随机变量及其可取值则用 和和 表示。表示。数字量与模拟量，偏微分方程数值求解。数字量与模拟量，偏微分方程数值求解。4现在学习的是第4页，共75页 有有一一类类特特殊殊的的随随机机试试验验，其其试试验验结结果果只只有有两两个个，

4、非非此此即即彼彼。它它的的随随机机变变量量的的可可取取值值只只有有两两个个：“0”和和“1”。这这类类随随机机试试验验称称为为“伯伯努努利利试验试验”。把把正正事事件件（即即随随机机变变量量取取“1”）发发生生的的概概率率定义为定义为 p，则则正正事事件件不不发发生生（即即随随机机变变量量取取“0”）的的概率概率为为 q1p。低能光子打光阴极。低能光子打光阴极。5现在学习的是第5页，共75页1.1.随机变量的分布函数与数字表征随机变量的分布函数与数字表征 要要确确知知某某一一随随机机变变量量，就就需需要要不不仅仅知知道道这这随随机机变变量量的的所所有有各各个个可可取取值值，而而且且还要知道还要

5、知道与各可取值与各可取值相应的概率相应的概率。概率论中，用概率论中，用概率（密度）函数概率（密度）函数f(x)f(x)和和分布函数分布函数F(x)F(x)来描述随机变量的这一特来描述随机变量的这一特性。性。6现在学习的是第6页，共75页(1)(1)随机变量的一般特征及定义随机变量的一般特征及定义连续型随机变量连续型随机变量 离散型随机变量离散型随机变量 可取值可取值分布函数分布函数概率函数概率函数概率密度函数概率密度函数相互关系相互关系 归一性归一性7现在学习的是第7页，共75页(2)(2)随机变量的数字表征随机变量的数字表征 对服从任一种分布的对服从任一种分布的随机变量随机变量，有两个最重，

6、有两个最重要的要的数字表征数字表征。数学期望值数学期望值：（简称（简称期望值期望值，在物理中也称，在物理中也称平均值平均值 ，常用，常用 表示）表示），它表示随机变量取值的平均位置。它表示随机变量取值的平均位置。均方偏差均方偏差：（简称（简称方差方差），它表示），它表示随机变量随机变量的的取值取值相对于相对于期望值期望值的的离散程度离散程度。其开根值称其开根值称均方根偏差均方根偏差，常用，常用 表示。即：表示。即：8现在学习的是第8页，共75页数学期望值数学期望值（平均值）（平均值）对对离散型随机变量离散型随机变量 对对连续型随机变量连续型随机变量 将若干次实验中随机变量所取的数值加在将若干次

7、实验中随机变量所取的数值加在一起，再用实验次数除后，得到一起，再用实验次数除后，得到算术平均值算术平均值。当实验次数无限增加时，当实验次数无限增加时，算术平均值算术平均值将无限的将无限的接近接近数学期望数学期望（大数定律）（大数定律）9现在学习的是第9页，共75页均方偏差（方差）均方偏差（方差）对对离散型随机变量离散型随机变量 ：对对连续型随机变量连续型随机变量 ：方方差差的的意意义义：代代表表了了随随机机变变量量各各个个可可取取值值相相对对于于数数学学期期望望值值的的离离散散程程度度。方方差差小小则则代代表表随随机机变变量量在在各各次次实实验验中中所所取取得得的的数数值值越越集集中中的的分分

8、布布在在数数学学期期望望值值附附近近，方方差差大大则则表表示示分分布布得得越分散越分散。10现在学习的是第10页，共75页均方根偏差均方根偏差 （标准偏差）（标准偏差）对对离散型随机变量离散型随机变量 ：对对连续型随机变量连续型随机变量 ：相对均方偏差相对均方偏差 （相对方差）（相对方差）对对离散型随机变量离散型随机变量 ：对对连续型随机变量连续型随机变量 ：相对均方根偏差相对均方根偏差 （相对标准偏差）（相对标准偏差）对对离散型随机变量离散型随机变量 ：对对连续型随机变量连续型随机变量 ：11现在学习的是第11页，共75页 方差方差或或均方根偏差均方根偏差代表了代表了随机变量可取随机变量可取

9、值值相对于相对于平均值平均值的的绝对离散程度绝对离散程度；相对方差相对方差或或相对均方根偏差相对均方根偏差则代表了则代表了测量精度测量精度。12现在学习的是第12页，共75页(3)(3)一些相似概念区分一些相似概念区分(A)(A)误差误差(error)和偏差和偏差(deviation)偏差：偏差：误差：误差：N次测量平均值次测量平均值 真值真值 实际上，当真值未知的情况下，一般以实际上，当真值未知的情况下，一般以偏差偏差代替代替误差误差。13现在学习的是第13页，共75页(B)(B)准确度准确度精确度精确度测量值测量值与被测对象与被测对象真值真值的的一致程度一致程度。一次一次测量测量的的可重复

10、性可重复性或或可靠性可靠性。accuracyprecision准确度：准确度：精确度：精确度：可用测量的可用测量的平均值平均值与与真值真值的的差差描述。描述。可用测量的可用测量的均方偏差均方偏差描述。描述。14现在学习的是第14页，共75页(C)(C)系统误差系统误差偶然误差偶然误差 系统误差：系统误差：在同一条件下，在同一条件下，多次测量多次测量同一物理同一物理量，测量值量，测量值误差误差的的大小大小和和符号保持恒定符号保持恒定。产生原因产生原因：仪器本身仪器本身不精确不精确、或、或实验方实验方法法粗略粗略、或、或实验原理实验原理不完善不完善而产生的。而产生的。特点特点：在：在多次重做多次重

11、做同一实验同一实验时，时，误差误差总是总是同样同样地地偏大或偏小偏大或偏小，不会出现不会出现这几次偏大这几次偏大而另几次偏小而另几次偏小的情况。的情况。要要减小减小系统误差系统误差，必须，必须提高提高测量仪器测量仪器的的精精度度，改进改进实验方法实验方法，设计在，设计在原理上原理上更为完更为完善的善的实验实验。15现在学习的是第15页，共75页 偶偶然然误误差差：在在同同一一条条件件下下，多多次次测测量量同同一一物物理理量量，测测量量值值误误差差的的大大小小和和符符号号随随机机变变化化。也叫也叫随机误差随机误差。2 2）是）是绝对存在绝对存在且且不可避免不可避免的的 。产生原因产生原因：由：由

12、各种偶然因素各种偶然因素对对实验者实验者、测测量仪器量仪器、被测物理量被测物理量的影响而产生的。的影响而产生的。特点特点：1 1）有时偏大有时偏小有时偏大有时偏小，并且，并且偏大偏大和偏小和偏小的的机会相同机会相同；可以多可以多进行几次测量进行几次测量来减小来减小偶然误差偶然误差。各次测得各次测得的数值的的数值的平均值平均值就比就比一次测得一次测得的的数值数值更更接近于接近于真实值真实值。16现在学习的是第16页，共75页 在在核辐射测量核辐射测量中，中，偶然误差偶然误差是一项主要的是一项主要的误差，产生的原因有误差，产生的原因有两个两个：一是一是核事件的随机性核事件的随机性产生的产生的统计误

13、差统计误差；二是二是测量仪器测量仪器在正常工作条件下的在正常工作条件下的测量误差测量误差。统计误差统计误差是一种特殊的是一种特殊的偶然误差偶然误差，是，是由微观世界的随机性所决定的。由微观世界的随机性所决定的。系统误差系统误差影响影响系统的系统的准确度准确度，偶然误差偶然误差影响影响系统的系统的精确度精确度。17现在学习的是第17页，共75页2.2.核衰变的统计分布核衰变的统计分布(1)(1)二项式分布二项式分布 二项式分布是二项式分布是支配支配偶然事件偶然事件的的最通用的最通用的概率分布，概率分布，广泛应用于所有广泛应用于所有概率概率p恒定恒定的过程。的过程。设一随机试验条件组为：作设一随机

14、试验条件组为：作 次次独立独立试验，每次试验，每次试验中试验中要么发生要么发生 事件，事件，要么不发生要么不发生，且，且 事件事件发生的概率发生的概率为为 ，不发生的概率不发生的概率 。定义随机。定义随机变量变量 为按上述条件组试验后，为按上述条件组试验后，事件事件 总共发生的总共发生的次数。次数。可取值为可取值为0，1，2，.，是是离散型随离散型随机变量机变量。18现在学习的是第18页，共75页二项式分布二项式分布的的概率函数概率函数：在一组在一组 个个独立试验独立试验中，中，事件事件 成功成功 次次的的概率概率为为：可见，二项式分布的可见，二项式分布的概率函数概率函数是由是由双参数双参数

15、N0 和和 p 决定的。决定的。二项式分布随机变量二项式分布随机变量的的数学期望数学期望和和方差方差数学期望数学期望 方差方差 19现在学习的是第19页，共75页例子：例子：具有具有N0个放射性原子核的个放射性原子核的放射源放射源在在t时间内的时间内的衰变总数衰变总数，服从，服从二项式分布二项式分布。原子核衰变服从原子核衰变服从指数规律指数规律，即，即 那么在那么在（0t）时间内，时间内，发生衰变的原子核发生衰变的原子核数数为：为：所以对于所以对于N0个原子核，个原子核，(0t)时间内发生衰变总时间内发生衰变总数的数的数学期望数学期望为：为：方差方差：则则1 1个原子核在个原子核在(0t)时间

16、内发生衰变的概率为：时间内发生衰变的概率为：，不发生衰变的概率为：，不发生衰变的概率为：20现在学习的是第20页，共75页(2)(2)泊松分布泊松分布 泊泊松松分分布布是是在在N0很很大大、概概率率p很很小小的的条条件件下下，二二项项式式分分布布在在数数学学上上的的直直接接简简化化，是是二二项项式式分分布布的的一一种极限情况。种极限情况。对二项式分布，当对二项式分布，当 N0 很大，但很大，但 p11(1(例例如如20)20)时，时，泊松分布泊松分布就可就可简化为简化为高斯分布高斯分布 对对高高斯斯分分布布，随随机机变变量量X取取值值范范围围为为()，为为连续型随机变量连续型随机变量。其。其概

17、率密度函数概率密度函数为：为：高斯分布随机变量高斯分布随机变量的的数学期望和方差数学期望和方差数学期望数学期望 方差方差 24现在学习的是第24页，共75页 对对于于核核衰衰变变，单单位位时时间间发发生生衰衰变变的的核核数数服服从从泊松分布泊松分布。其特点为：。其特点为：当当m较大时，泊松分布可用高斯分布近似，并较大时，泊松分布可用高斯分布近似，并保留上面的关系：保留上面的关系：此式表明，仅有统计涨落时，此式表明，仅有统计涨落时，除了统计涨落，还有其他误差时，除了统计涨落，还有其他误差时，25现在学习的是第25页，共75页 高斯分布高斯分布连续对称连续对称，可以方便的计算测，可以方便的计算测量

18、值出现在量值出现在 区间内的区间内的概率概率，即，即：令：令：可由高斯函数数值积分表查得。可由高斯函数数值积分表查得。26现在学习的是第26页，共75页表示表示置信区间置信区间为为该置信区间的该置信区间的置信度置信度为：为：例如：例如：当当Z1 1时，时，置信区间置信区间为为该置信区间的该置信区间的置信度置信度为为当当Z2 2时，时，置信区间置信区间为为该置信区间的该置信区间的置信度置信度为为27现在学习的是第27页，共75页3.3.随机变量组合的分布随机变量组合的分布 复杂随机变量复杂随机变量往往可以往往可以分解分解为为由若干由若干简单的随机变量简单的随机变量运算运算、组合组合而成。而成。这

19、这样样就就可可以以由由已已知知的的简简单单随随机机变变量量的的分分布布函函数数与与数数字字表表征征来来求求复复杂杂随随机机变变量量的的分布函数分布函数和和数字表征数字表征。解耦的应用。解耦的应用。28现在学习的是第28页，共75页(1).(1).随机变量的函数随机变量的函数 已已知知随随机机变变量量X，其其可可取取值值为为x，概概率率密密度度函函数数为为f(x)。而而Y(X)，求求随随机机变变量量Y 的可取值的可取值 y 和概率密度函数和概率密度函数 g(y)。由于由于X取各可取值的概率就是取各可取值的概率就是Y取相应可取相应可取值的概率，所以：取值的概率，所以：29现在学习的是第29页，共7

20、5页(A)(A)C 为常量。为常量。由此，可得到若干简单的关系：由此，可得到若干简单的关系：(B)(B)相互相互独立独立的随机变量的的随机变量的“和和”、“差差”与与“积积”的的数学期望数学期望，是各随机变量，是各随机变量数学期望数学期望的的“和和”、“差差”与与“积积”，即：，即：30现在学习的是第30页，共75页(C)(C)相相互互独独立立的的随随机机变变量量的的“和和”与与“差差”的的方方差差，是各随机变量是各随机变量方差方差的的“和和”，即：，即：(D)(D)相互相互独立独立的的遵守泊松分布的随机变量遵守泊松分布的随机变量之之“和和”仍仍服从服从泊松分布泊松分布。要注意的是相互独立的遵

21、守泊松分布的随机变量要注意的是相互独立的遵守泊松分布的随机变量之之“差差”，不服从不服从泊松分布。泊松分布。31现在学习的是第31页，共75页(2).(2).串级随机变量串级随机变量 辐射测量中经常会遇到辐射测量中经常会遇到 级联级联、倍增倍增过程过程的的涨落问题涨落问题，这些问题可以用，这些问题可以用串级型随机变串级型随机变量量的概念及运算规则来处理。的概念及运算规则来处理。设对应于试验条件组设对应于试验条件组A A定义定义一个随机变量一个随机变量 1 1，对应于另一试验条件组，对应于另一试验条件组B B定义定义另一随机变另一随机变量量 2 2，且二者，且二者相互相互独立独立。按以下规则定义

22、一。按以下规则定义一个个新的随机变量新的随机变量：32现在学习的是第32页，共75页(A)(A)先先按条件组按条件组A A作作一次一次试验，实现了试验，实现了随机随机变量变量 1的的一个一个可取值可取值 1i；(B)(B)再再按条件组按条件组B B作作 1i次次试验，实现了试验，实现了随随机变量机变量 2的的 1i个个可取值可取值 ；(C)(C)将将这些可取值加起来这些可取值加起来得到得到一个一个值值 i，并将，并将此值定义为一个此值定义为一个新的随机变量新的随机变量 的的一个一个可取值可取值；这里，这里，随机变量随机变量 为为随机变量随机变量 1与与 2的的“串级串级”随机变量。而且按顺序分

23、别称随机变量。而且按顺序分别称 1和和 2为此串为此串级随机变量的级随机变量的第一级第一级和和第二级第二级。33现在学习的是第33页，共75页串级随机变量的主要特点：串级随机变量的主要特点：(A)(A)期望值期望值：(B)(B)方差方差：(C)(C)相对方差相对方差：假假如如第第一一级级随随机机变变量量的的数数学学期期望望很很大大，那那么么就就可可以以忽忽略略第第二二级级随随机机变变量量的的相相对对方方差差对对串串级级随随机机变变量量的的相相对对方方差差的的贡贡献献。此此时时，串串级级随随机机变变量量的的相相对对方方差差主主要要由由第第一一级级随随机机变变量的量的相对方差相对方差决定。决定。3

24、4现在学习的是第34页，共75页(D)(D)由由两两个个伯伯努努利利型型随随机机变变量量 1 1和和 2 2串串级级而而成成的的随随机机变变量量 仍仍是是伯伯努努利利型型随随机机变变量量。即即 仍仍是是只只有有两两个个可可取取值值(0,1)的的伯伯努努利利型型随机变量。随机变量。若若 1 的的正正结结果果发发生生概概率率为为 p1,2 的的正正结结果发生概率为果发生概率为 p2，则，则 正结果发生概率为：正结果发生概率为：均值均值 方差方差 35现在学习的是第35页，共75页(E)(E)由由遵遵守守泊泊松松分分布布的的随随机机变变量量 1 1与与伯伯努努利利型型随随机机变变量量 2串串级级而而

25、成成的的随随机机变变量量 仍仍遵遵守守泊松分布泊松分布。设设 1的的数学期望（平均值）数学期望（平均值）为为m1,而而 2的正的正结果发生概率为结果发生概率为p2，则，则 的的数学期望（平均数学期望（平均值）值）为：为：均值均值 方差方差 36现在学习的是第36页，共75页对对N个相互个相互独立独立的随机变量的随机变量 串串级而成的级而成的N级串级随机变量级串级随机变量，有：，有：37现在学习的是第37页，共75页4 4 放射性测量放射性测量计数计数的统计分布的统计分布（1 1）、核衰变数的涨落）、核衰变数的涨落 放射性衰变是一种随机过程，放射性放射性衰变是一种随机过程，放射性衰变衰变规律规律

26、为为:在在0t 时间内，原来时间内，原来N0个放射性核中，发个放射性核中，发生了生了衰变衰变的核的的核的平均数平均数为为 当当N0很大很大时，对一个核而言，一个核在时，对一个核而言，一个核在0t 时间时间内发生衰变的内发生衰变的概率概率为：为：38现在学习的是第38页，共75页每一个每一个放射性核放射性核在在t 时间内发生时间内发生衰变衰变是是什么什么事件事件？是是伯努利事件伯努利事件 随机变量取随机变量取1的正事件发生的概率的正事件发生的概率取取0的概率为的概率为对应的随机变量是对应的随机变量是伯伯努利型随机变量努利型随机变量 表示发生衰变表示发生衰变表示不发生衰变表示不发生衰变39现在学习

27、的是第39页，共75页 则则t 时间内时间内总总的的衰变数衰变数N就是上述就是上述伯努利事伯努利事件件重复重复N0次发生次发生正结果正结果的的事件之和事件之和。对于一个具有对于一个具有N0个个放射性核放射性核的放射源，在的放射源，在t 时间内发生时间内发生核衰变数核衰变数为为N，是一个遵守，是一个遵守二项式二项式分布分布的的随机变量随机变量。概率函数概率函数数学期望值数学期望值方差方差 40现在学习的是第40页，共75页长寿命长寿命核素，其核素，其衰变概率衰变概率很小很小为为有限量有限量在在0 t 时间内的时间内的总衰变数N遵守遵守泊松分布泊松分布期望值期望值方差方差 在核衰变过程中核衰变数的

28、在核衰变过程中核衰变数的方差方差与其与其平均平均值值相等相等。41现在学习的是第41页，共75页（2 2）、放射性测量计数的统计分布）、放射性测量计数的统计分布 计数值计数值反映了反映了t时间时间内内射入探测器射入探测器的的粒子数粒子数，也就代表了也就代表了放射源放射源在在t时间时间内内发射发射出的出的总粒子总粒子数数。由由于于放放射射性性核核衰衰变变具具有有统统计计分分布布，测测量量过过程程中中射射线线与与物物质质相相互互作作用用过过程程也也具具有有随随机机性性，因因此此在在某某个个测测量量时时间间内内对对样样品品进进行行测测量量得得到的到的计数值计数值同样是一个同样是一个随机变量随机变量。

29、42现在学习的是第42页，共75页、n1为为t 时间内时间内放射源放射源发出的发出的粒子数粒子数，服从，服从泊泊松分布松分布 源源发射粒子数发射粒子数n1射入射入探测器探测器粒子数粒子数n2探测器探测器输出输出脉冲数脉冲数n3 脉脉冲冲探探测测器器的的测测量量过过程程可可以以概概括括为为三三个个基基本本过过程程，其，其计数值计数值为一个为一个三级三级串级型随机变量串级型随机变量。43现在学习的是第43页，共75页、n3为探测器为探测器输出脉冲数输出脉冲数（粒子能否被探测输出脉（粒子能否被探测输出脉冲是冲是伯努利事件伯努利事件）。）。n3实际上是一个实际上是一个三级串级型三级串级型随随机变量机变

30、量，遵守遵守泊松分布泊松分布。平均值平均值方差方差、n2为进入为进入探测器探测器表面，即进入表面，即进入立体角立体角的粒子的粒子数（粒子能否进入该立体角是数（粒子能否进入该立体角是伯努利事件伯努利事件）。）。n2为为二级串级型二级串级型随机变量，遵守随机变量，遵守泊松分布泊松分布：44现在学习的是第44页，共75页 放放射射源源在在t 时时间间内内发发射射的的粒粒子子数数n1 遵遵守守泊泊松松分分布布，探探测测器器相相应应的的输输出出脉脉冲冲数数n3也也遵遵守守泊泊松松分分布布，探探测测器器输输出出脉脉冲冲数数的的平平均均值值为为源源发发射射的的平平均均粒粒子子数数与与几几何何因因子子及及探探

31、测测器器效效率率之积。之积。如果如果放射源放射源发射粒子发射粒子不是不是各向各向均匀均匀的，上述的，上述结论是否成立？结论是否成立？只要粒子落在只要粒子落在内的内的概率概率是是不变的不变的即为即为某一常数某一常数 ，上述结论就仍然成立。上述结论就仍然成立。几何因子几何因子不再是不再是 ，而是，而是45现在学习的是第45页，共75页7.2.7.2.放射性测量的放射性测量的统计误差统计误差 粒子计数粒子计数 探测器探测器输出脉冲数输出脉冲数服从服从统计分布统计分布规律，当规律，当计数计数的的数学期望值数学期望值 m较较小小时，服从时，服从泊松分布泊松分布；m较较大大时，可近似为时，可近似为高斯分布

32、高斯分布。而且，而且，1.1.辐射探测数据的辐射探测数据的统计误差统计误差46现在学习的是第46页，共75页m较大时，较大时，m与与有限次测量有限次测量的的平均值平均值 和和任一次任一次测量值测量值 N 相对偏差不大。相对偏差不大。N为为单次单次测量值测量值 表明：对表明：对放射性计数放射性计数的的标准偏差标准偏差只需用只需用 一次计数一次计数N 或或 有限次计数的平均值有限次计数的平均值 开方即可得到。开方即可得到。【注意注意】这种表示的标准偏差仅适用于这种表示的标准偏差仅适用于误差误差仅仅仅仅由由统计涨落统计涨落引起的情况。引起的情况。47现在学习的是第47页，共75页 标准偏差标准偏差

33、随随计数计数N增大而增大，因此用增大而增大，因此用相相对标准偏差对标准偏差来表示来表示测量值测量值的的离散程度离散程度：计数测量结果的表示计数测量结果的表示：表示一个表示一个置信区间置信区间，该区间包含，该区间包含真平均值真平均值(数学期望数学期望)的概率为的概率为68.3(置信度置信度)。测量时间计算测量时间计算48现在学习的是第48页，共75页 实验数据分析中，可由实验数据直接得实验数据分析中，可由实验数据直接得到到样本方差，它样本方差，它是是总体方差总体方差的的无偏估计无偏估计，可以由样本方差来估计有限次测量的方差，可以由样本方差来估计有限次测量的方差，称为称为标准偏差标准偏差 ：不仅包

34、括不仅包括统计误差统计误差，还还反映了反映了其他其他偶然误差偶然误差的贡献。的贡献。可用于数据的检验可用于数据的检验.49现在学习的是第49页，共75页2.计数统计误差的传递计数统计误差的传递 在一般的核测量中，常涉及在一般的核测量中，常涉及函数的统计误差函数的统计误差的计算，的计算，也就是也就是误差传递误差传递(Error Propagation)。若若 是是相互独立相互独立的随机变量，其标的随机变量，其标准偏差相应为准偏差相应为 ，由这些随机变，由这些随机变量量导出的任何量导出的任何量 的的标准偏标准偏差差可以用下面的可以用下面的误差传递公式误差传递公式求出：求出：50现在学习的是第50页

35、，共75页分析一些常见情况：分析一些常见情况：(1)例如：存在本底时净计数误差的计算：例如：存在本底时净计数误差的计算：辐辐射射测测量量中中，本本底底总总是是存存在在的的。本本底底包包括括宇宇宙宙射射线线、环环境境中中的的天天然放射性及仪器噪声等。这时，为求得净计数需要进行两次测量：然放射性及仪器噪声等。这时，为求得净计数需要进行两次测量：第一次第一次，没有样品，在时间，没有样品，在时间t内测得本底的计数为内测得本底的计数为Nb；第二次第二次，放上样品，在，放上样品，在相同相同时间内测得样品和本底的总计时间内测得样品和本底的总计数为数为Ns。样品的净计数为：样品的净计数为：其标准偏差为：其标准

36、偏差为：51现在学习的是第51页，共75页(2)或或例如：计数率的误差：例如：计数率的误差：设在设在 t 时间内记录了时间内记录了N个计数，则计个计数，则计数率为数率为n=N/t，计数率的标准偏差计数率的标准偏差为：为：其其相对标准偏差相对标准偏差为：为：52现在学习的是第52页，共75页(3)或或53现在学习的是第53页，共75页(4)平均计数的统计误差平均计数的统计误差对某样品重复测量对某样品重复测量k次，每次测量时间次，每次测量时间t相同相同(等精度测量等精度测量)，得到，得到k个计数个计数 则在时间则在时间t内的内的平均计数值平均计数值为：为：由误差传递公式，平均计数值的由误差传递公式

37、，平均计数值的方差方差为：为：54现在学习的是第54页，共75页多次重复测量多次重复测量结果表达结果表达：平均计数的相对标准偏差平均计数的相对标准偏差：55现在学习的是第55页，共75页(5)存在本底时净计数率误差的计算：存在本底时净计数率误差的计算：第一次，在时间第一次，在时间tb内测得本底的计数为内测得本底的计数为Nb；第二次，在时间第二次，在时间ts内测得样品和本底的总计数内测得样品和本底的总计数为为Ns。样品的样品的净计数率净计数率为：为：标准偏差标准偏差为：为：相对标准偏差相对标准偏差为：为：56现在学习的是第56页，共75页(6)不等精度独立测量值的组合不等精度独立测量值的组合 如

38、如果果对对同同一一量量进进行行了了k次次独独立立测测量量，各各次次测测量量的的时时间间为为ti，计计数数为为Ni。这这是是不不等等精精度度测测量量。这这时时，简简单单的的求求平平均均不不再再是是求求单单次次“最最佳佳值值”的的适适宜宜方方法法。需需要要进进行行加加权权平平均均，使使测测量量精精度度高高的的数数据据在在求求平平均均值值时时的的贡贡献献大大，精精度度低低的的贡贡献献小小。问题是：如何确定一个合适的权重因子？问题是：如何确定一个合适的权重因子？先求各次测量的先求各次测量的计数率计数率及及方差方差：可以设各次测量的权重为可以设各次测量的权重为：设设 57现在学习的是第57页，共75页计

39、数率的加权平均值为计数率的加权平均值为：标准偏差为：标准偏差为：相对标准偏差为：相对标准偏差为：58现在学习的是第58页，共75页结果表示为：结果表示为：如如果果k次次测测量量的的时时间间均均相相等等，则则测测量量为为等等精精度测量：度测量：从统计误差而言，无论是一次测量还是多次从统计误差而言，无论是一次测量还是多次测量，只要测量，只要总的计数总的计数相同，多次测量的平均计相同，多次测量的平均计数率的数率的相对误差相对误差和一次测量的计数率的和一次测量的计数率的相对误差相对误差、以及总计数和平均计数的以及总计数和平均计数的相对误差相对误差都是都是一致一致的。的。59现在学习的是第59页，共75

40、页(7)测量时间和测量条件的选择测量时间和测量条件的选择(B)有本底存在时，需要合理分配样品测有本底存在时，需要合理分配样品测量时间量时间ts和本底测量时间和本底测量时间tb。(A)不考虑本底的影响；不考虑本底的影响；根据：根据：60现在学习的是第60页，共75页 为在为在规定的规定的总测量时间总测量时间Tts+tb内使测量内使测量结果的结果的误差最小误差最小。由极值条件：。由极值条件：得到：得到：该条件下的该条件下的相对方差相对方差为：为：据此，在据此，在相对标准偏差相对标准偏差给定给定的情况下，所的情况下，所需需最小总测量时间最小总测量时间为：为：61现在学习的是第61页，共75页7.3

41、7.3 带电粒子在介质中带电粒子在介质中电离过程的统计涨落电离过程的统计涨落 微观上，产生微观上，产生电子电子离子对离子对或或电子电子空穴对空穴对的碰撞的碰撞都是都是随机随机的的，因而因而一定能量一定能量的的带电粒子带电粒子在介质中损失在介质中损失能量形成的能量形成的离子对数离子对数是是涨落涨落的的，是一个是一个随机变量随机变量，服从一定的服从一定的概率分布概率分布。以以气体介质气体介质为例，实验发现：为例，实验发现：入射带电粒子入射带电粒子每每产生产生一一离子对离子对需需 消耗能量消耗能量 基本上是一个常数：基本上是一个常数：能量能量为为E0 的的入射带电粒子入射带电粒子把把全部能量全部能量

42、损耗在损耗在气体气体中后，共产生的中后，共产生的离子对数离子对数的的平均值平均值为：为：1、电离过程的涨落和法诺分布、电离过程的涨落和法诺分布62现在学习的是第62页，共75页 假设假设能量能量为为E0 的的入射带电粒子入射带电粒子在在气体气体中总共中总共经历了经历了N（是一个（是一个非常大非常大的的常数常数）次与气体原子）次与气体原子的的碰撞碰撞。每一次碰撞就每一次碰撞就是一次是一次伯努利型伯努利型随机试验随机试验 每一次碰撞只可能有两种结果：每一次碰撞只可能有两种结果：产生产生或或不产生不产生离子对离子对已知已知N次次碰撞碰撞后产生后产生 个个离子对离子对，因而每次，因而每次碰撞中碰撞中平

43、均产生平均产生的的离子对数离子对数是是伯努利伯努利正事件正事件概率概率为为 63现在学习的是第63页，共75页 若若N次次碰撞碰撞产生产生n个个离子对，离子对，且各次碰撞且各次碰撞相相互独立互独立，则则n服从服从二项式分布二项式分布.且且为一个为一个有限有限的的常数常数时时趋于趋于泊松分布泊松分布离子对数离子对数涨落涨落的的标准偏差标准偏差及及相对标准偏差相对标准偏差为：为：平均离平均离子对数子对数64现在学习的是第64页，共75页 但但实实际际上上电电离离过过程程中中各各次次碰碰撞撞是是非非独独立立的的，产产生生的的离离子子对对数数不不能能简简单单的的用用泊泊松松分分布布来来描描述述，而要对

44、泊松分布进行修正，引入：而要对泊松分布进行修正，引入：法诺因子法诺因子FF一般取一般取 (气体气体)或或 0.10.15(半导体半导体)不同材料不同材料法诺因子法诺因子不同不同，F 可可由由实验测定实验测定法诺分布法诺分布：电离产生的离子对数服从的分布：电离产生的离子对数服从的分布65现在学习的是第65页，共75页2 2、粒子束脉冲的总电离电荷量的涨落、粒子束脉冲的总电离电荷量的涨落（1 1）、脉冲型工作方式）、脉冲型工作方式通过通过脉冲探测器脉冲探测器对对逐个逐个辐射粒子辐射粒子进行探测，进行探测，测得测得的的信号信号与与单个单个入射粒子入射粒子相对应，相对应，脉冲计数脉冲计数的的个数个数与

45、与入射入射的的粒子数粒子数对应，对应，输出信号输出信号的的幅度幅度反映反映单个单个入射粒子入射粒子损耗在损耗在探测器灵敏体积中的探测器灵敏体积中的能量能量。探测器信号反映探测器信号反映单个单个粒子的粒子的特性特性。66现在学习的是第66页，共75页B.稳定粒子束流稳定粒子束流在在探测器探测器内产生的内产生的平均平均电离效应电离效应。A.粒子束脉冲粒子束脉冲在在探测器内探测器内产生的产生的总电离效总电离效果果，形成一个，形成一个大大脉冲脉冲，脉冲幅度脉冲幅度与与粒子束粒子束内内粒子数量粒子数量和和能量能量有关。有关。（2 2）、）、累计型工作方式累计型工作方式探测器信号反映探测器信号反映一定数量

46、一定数量粒子的粒子的累计特性累计特性。输出一个输出一个直流电流直流电流(电压电压)信号，该信号的大信号，该信号的大小一般小一般正比于正比于粒子束流粒子束流的的强度强度。又称又称电流型电流型工作方式工作方式。67现在学习的是第67页，共75页分析粒子束脉冲分析粒子束脉冲的的总电离电荷量总电离电荷量的的涨落涨落 例如，在例如，在电子直线加速器电子直线加速器加速电子打在靶上产加速电子打在靶上产生生轫致辐射轫致辐射，在，在持续时间持续时间仅为仅为23 s内包含了内包含了大大量光子量光子，这时探测器，这时探测器输出信号输出信号反映了这些光子在反映了这些光子在探测器内探测器内产生的产生的总电离总电离效果。

47、效果。以以 n1 代表一个代表一个入射粒子束脉冲入射粒子束脉冲中包含的中包含的粒子数粒子数，且假设其为服从且假设其为服从泊松分布泊松分布的的随机变量随机变量。每每个个入入射射带带电电粒粒子子(或或入入射射/X辐辐射射通通过过次次级级效效应应产产生生的的次次电电子子)在在探探测测器器内内产产生生n2个个离离子子对对，也也是一个是一个随机变量随机变量，服从，服从法诺分布法诺分布。68现在学习的是第68页，共75页粒子束脉冲粒子束脉冲输出信号输出信号的探测的探测n1n2输出信号输出信号N69现在学习的是第69页，共75页输出信号输出信号 N是是n1和和n2 的的串级型随机变量串级型随机变量则，第则，

48、第i个脉冲产生的个脉冲产生的总离子对数总离子对数为：为：总离子对数平均值：总离子对数平均值：相对标准偏差：相对标准偏差：由于由于n1服从服从泊松分布泊松分布，n2服从服从法诺分布法诺分布70现在学习的是第70页，共75页7.4 7.4 辐射粒子与信号的时间分布辐射粒子与信号的时间分布1、相邻脉冲的时间间隔、相邻脉冲的时间间隔 核核辐辐射射事事件件及及探探测测器器计计数数服服从从泊泊松松分分布布，设设单单位位时时间间内内的的平平均均脉脉冲冲数数m为为一一常常数数，相相邻邻两两个个脉脉冲冲的的时时间间间间隔隔T是是一一连连续续型型随随机机变变量量，它服从什么样的分布呢它服从什么样的分布呢？容易得到

49、脉冲间的平均时间间隔：容易得到脉冲间的平均时间间隔：t 时间内出现脉冲数为时间内出现脉冲数为n的概率为：的概率为：71现在学习的是第71页，共75页两个相邻脉冲时间间隔为两个相邻脉冲时间间隔为 t 的条件为的条件为：(1)在第一个脉冲发生后的在第一个脉冲发生后的t 时间内时间内没有脉冲发生没有脉冲发生；(2)在在t后的后的dt时间内时间内有一个脉冲发生有一个脉冲发生。即：即：所以，随机变量所以，随机变量 T 的的概率密度函数概率密度函数为：为：即：即：72现在学习的是第72页，共75页相邻两个脉冲时间间隔相邻两个脉冲时间间隔T服从服从指数型分布指数型分布。表明：在表明：在短时间内短时间内出现第

50、二个脉冲的概率较大出现第二个脉冲的概率较大。73现在学习的是第73页，共75页其均值为：其均值为：其方差为：其方差为：时间间隔时间间隔t T的概率：的概率：时间间隔时间间隔t T的概率：的概率：时间间隔时间间隔 的概率为：的概率为：时间间隔时间间隔 的概率为：的概率为：74现在学习的是第74页，共75页测量系统对入射粒子的有响应时间测量系统对入射粒子的有响应时间，叫做，叫做分辨时间分辨时间。要控制要控制计数损失计数损失1%，允许计数率，允许计数率m1 104cps。对对分辨时间分辨时间为为1 s的系统，要实现控制的系统，要实现控制计数计数损失损失3%：即即分辨时间分辨时间为为1 s的的测量系统