知其然,更知其所以然.中国先哲.ppt

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1、知其然,更知其所以然. -中国先哲,哪里有数,哪里就有美. - Proclus,数学实验,上海交大数学科学学院, 的 计 算,你也许能写出 = 3.1415926535,实际问题,圆周率, 我们十分熟悉的常数.,用Matlab 可以求出 到几百位, digits(100) vpa(pi),但你会计算 的值吗？你又能用几种方法计算？,ans = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068,刘徽割圆法,从正六边形开始，逐步求边长与面积,相应

2、OAC的面积,设边数为62n的正多边形边长为 an,递推法,于是 的值,(刘徽计算到192边形面积，得到 3.141),用Matlab计算 m文件,function calpi(n)a(1)=1;for i=1:n-1 a(i+1)=sqrt(2-sqrt(4-a(i)2);end S=3*2(n-1)*a(n),命令窗口输入,format long gcalpi(5),如何提高精度,提高多边形的边数,不能完全达到目的,在Matlab文件中解决 符号运算,function calpi1(n)a(1)=sym(1);for i=1:n-1 a(i+1)=sym(sqrt(2-sqrt(4-a(i

3、)2); endS=3*2(n-1)*a(n);vpa(S,60) %最后进行数值计算，60为数值计算过程中保留的有效数字,任务1,德国人鲁道夫用一生计算圆周率。他同样是用圆的内接多边形逼近圆周，不过他是从正方形开始成倍增加边数。试推导出他计算所采用的递推公式，然后求的近似值到10位和20位.,利用幂级数计算,积分导出,取 x=1,( Sn的迭代格式 ),用Matlab计算,创建m文件 calpi 2.m，内容如下：,function calpi2(n)S=0;for i=1:n if mod(i,2)=0 S=S-1/(2*i-1); else S=S+1/(2*i-1); endendS=

4、4*S, calpi2(1000)ans = 3.14059265383979 calpi2(10000)ans = 3.14149265359003,结果如何 ?, calpi2(20000)ans = 3.14154265358982,精度提高很慢!,能不能算得更快一点、更精确一点？,Machin 公式,简单公式,用Matlab,创建m文件,function calpi2_1(n)S=0;for i=1:n if mod(i,2)=0 S=S-1/(2*i-1)*(1/(2(2*i-1)+1/(3(2*i-1); else S=S+1/(2*i-1)*(1/(2(2*i-1)+1/(3(2

5、*i-1); endendS=vpa(4*S,30)%观察30位有效数字, calpi2_1(10)ans = 3.14159257960635063255949717131,计算结果, calpi2_1(20)ans = 3.14159265358975625659354591335 calpi2_1(50)ans = 3.14159265358979323846264338328,一个结论,算法很重要,计算机速度,300次/秒 33.861040 兆/秒,从1950 2000年,104次 /秒 1012次 /秒，提高1亿倍, 算法 (解线性方程组 高斯消去法 多重网格法), 计算机速度,运

6、算次数：,1018次 106次，提高1万亿倍,任务2,2) 验证公式,1) 用反正切函数的幂级数展开式结合有关公式,简单公式和Machin公式所用的项数.,求，若要精确到40位、50位数字，试比较,试用此公式右端作幂级数展开完成任务1),所需的项数,3）回忆在微积分中学习到的其它级数形式是否可用来求的值到10位、20位、30位，相应需要级数的多少项？,将0,1区间n等分，取xk=k/n,利用数值积分方法,yk= 1/ (1+xk2),Matlab 计算,创建 m 文件,梯形法,function calpi3(n)x=0:1/n:1;y=1./(1+x.2);S=2*sum(y)-1-0.5;2

7、*S/n, calpi3(100)ans = 3.14157598692313, calpi3(500)ans = 3.14159198692313 calpi3(10000)ans = 3.14159265192314,用数值积分计算，分别用梯形法和Simpson,法精确到10位数字，用Simpson法精确到15,位数字.,任务3,针与平行线相交的次数为n,Monte Carlo 法,从Buffon落针实验谈起：,纸上一组平行线距离为1，,将长度为1的针多次地扔到,纸上。若扔针次数为m,而其中,Buffon指出： 的数值与 m/n 有关，他由此,求出 的近似值为3.142,设计方案, 4 m

8、/n,计算机模拟：产生区间0,1上数目为n 的一组,在正方形 0 x 1, 0 y1,上随机的投大量的点，那么,落在四分之一圆内的点数,m与在正方形内的点数n之,比 m/n 应为这两部分图形,面积之比 /4, 故,随机数(x, y)，计算满足 x2 + y2 1 的点数m,Matlab计算,创建m文件,function y=calpi4(k)m=0;for n=1:k if rand(1)2+rand(1)2=1 m=m+1; end;end;y=4*m/k;,观察结果，思考为什么？,2) 设计方案用计算机模拟Buffon实验,任务4,看能否求得5位精确数字？,1) 用Monte Carlo

9、法计算，除了加大随机数，,在随机数一定时可重复算若干次后求平均值，,其他方法,1/ 的展开式 Ramanujan 公式,算术几何平均值迭代法,利用积分,推导公式,任务5,用此公式计算的近似值，效果如何？,有必要计算那么精确吗,十位小数就足以使地球周界准确到一英,寸以内，三十位小数便能使整个可见宇宙周,边准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个,度量， 三十五位小数的值计算能把太阳系,包围起来的圆的周长，误差还不到质子直径的,百万分之一,计算 的意义, 反映数学和计算技术发展的一个侧面,“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”,3.1415926 3

10、.1415927,(领先世界900余年),位数 100万 10.1亿 2061亿 12411亿 2.7万亿 10万亿年代 1973 1989 1999 2002 2010.1 2011.10国家 法国 美国 日本 日本 法国 日本,人工计算：实验法 几何法 分析法,用计算机: 始于1949 2035 位 （Von Neumann）,最高记录：808位(1948 ),家用电脑,运用超级计算机 已算到小数位60万亿位, 引发新的概念、方法和思想 ,产生新的问题, 测试或检验超级计算机的各项性能(Super PI),Intel公司推出奔腾（Pentium）时发现问题,雅虎科技公司的研究员尼古拉斯斯则(Nicholas Sze)，采用“云计算”技术，利用1000台电脑同时计算，历时23天，将圆周率精确到小数点后2千万亿位,1) 利用学习过的知识(或查阅资料)，提出其他,计算的方法(先用你学过的知识证明)，然后,2) 对你在实验中应用的计算的方法进行比较,实践这方法.,任务5,分析讨论,任务,e 是一个重要的超越数,还有,试用上述公式或其他方法近似计算e,谢谢各位！,