高三数学一轮复习立体几何中垂直的证明讲义.docx

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1、立体几何中垂直证明 一、 “垂直关系”常见证明方法1直线与直线垂直的证明1.1 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直,等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等。1.2 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。1.3 利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。 1.4 利用平面与平面垂直的性质推论：如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。1.5 利用常用结论：c 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一

2、条直线也垂直于第三条直线。b ba 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。2 直线与平面垂直的证明2.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面 等2.2 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。2.3 利用直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。2.4 利用平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。2.5 利用常用结论： 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。 两个平面平行，一直线垂直于其中一

3、个平面，则该直线也垂直于另一个平面。3 平面与平面垂直的证明3.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等3.2 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。3.3 利用平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。考点一：线面垂直 典型例题1.如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为，且AD=2，SA=1。求证：PD平面SAP；2.如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点，求证：平面；3.如图，三棱柱中，侧棱，且棱长和底面边长均为2，是

4、中点。求证：;过关检测1.如图，已知四棱锥中，底面是直角梯形，平面，求证：平面2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1ACC1平面ABC，ABBC2，ACB30°，AA13，BC1A1C，E为AC的中点求证：A1C平面C1EB3. 如图，在四边形中，点为线段上的一点.现将沿线段翻折到，使得平面平面，连接，.证明：平面.考点二：面面垂直 典型例题1.如图，四棱锥中，为正三角形，且证明：平面平面2. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC平面PAD，ABCD，CD=2AB=2BC，M，N分别是棱PA，CD的中点，求证：平面BMN平面PAC.3. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD

5、是正方形，PBPD3，PAAD3，点E，F分别为线段PD，BC的中点求证：平面AEF平面PCD；4如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，ABCD，ADAB，ABADPDCD，PD平面ABCD证明：平面PBD平面PBC；5.如图，在四棱锥中，底面为矩形， F为CE的中点.求证：过关检测1.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点若PCPA，PDAD，求证：平面BDE平面PAB2.如图：四棱锥的底面是矩形，侧面是等边三角形，且侧面底面，证明：侧面侧面3.已知四棱锥，底面是 、边长为的菱形，又  ，且，点分别是棱的中点，证明：平面平面；考

6、点三：线线垂直典型例题1.如图,在四棱锥中,底面,点为棱的中点.证明:;2.如图，在四棱锥中，ABCD是矩形，点是的中点，点在上移动。求证：。3.如图，在五面体中，四边形是平行四边形，求证：过关检测1. 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，ABDC.求证:D1CAC1；2如图，四边形为正方形，平面，（1）求证：；3.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，PA=AD=1,AB=,点E为PD的中点，点F在棱DC上移动。求证：无论点F在DC的何处，都有PFAE, 考点四：综合应用典型例题1如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1

7、D1中，底面ABCD是梯形，ABCD，ABAD，CD2AB2AD（1）求证：BD平面BCC1；（2）在线段C1D1上是否存在一点E，使AE面BC1D若存在，确定点E的位置并证明；若不存在，请说明理由2.如图，直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC BC 1，ACB 90°，AA1 ，D 是A1B1 中点（1）求证C1D 平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 平面C1DF ？并证明你的结论。3已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是（）A若m，n，则mn B若m，n，则mnC若m，mn，则n D若m，mn，则n过关检测1.如图，平面四边形中，

8、沿对角线将折起，使平面与平面互相垂直.（1）求证:；（2）在上是否存在一点,使，证明你的结论；2在长方体中，为棱的中点，则ABCD3.已知m,n,l是直线，、是平面，下列命题中:若l垂直于内两条直线，则若l平行于，则内可有无数条直线与l平行若 ， 且，则若，则/若 ， 且/，则m/l其中正确的是_二、课后自我检测 1如图，四边形为正方形，平面，（1）求证：；（2）若点在线段上，且满足，求证：平面；（3）求证：平面2直三棱柱中， ， ， ，点是线段上的动点.（1）当点是的中点时，求证： 平面；（2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，试求出的长度；若不存在，请说明理由.3.如图， 为等边三角形， 平面， ， ， 为的中点.（）求证： 平面；（）求证：平面平面.4.已知平面四边形中， 中， ，现沿进行翻折，得到三棱锥，点， 分别是线段， 上的点，且平面.求证：（1）直线平面；（2）当是中点时，求证：平面平面.平面.