matlab实现Newton法-割线法-抛物线法(14页).docx

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1、-matlab实现Newton法-割线法-抛物线法-第 14 页（一）实验目的：熟悉和掌握Newton法,割线法,抛物线法的方法思路，并能够在matlab上编程实现（二）问题描述：问题一. 方程求根(1).给定一个三次方程,分别用Newton法,割线法,抛物线法求解.方程的构造方法:(a)根:方程的根为学号的后三位乘以倒数第二位加1再除以1000.假设你的学号为B06060141,则根为141*(4+1)/1000=0.564(b)方程:以你的学号的后三位数分别作为方程的三次项,二次项,一次项的系数,根据所给的根以及三个系数确定常数项.例如:你的学号是B06060141,则你的方程是x3+4x

2、2+x+a0=0的形式.方程的根为0.564,因此有0.5643+4*0.5642+0.564+a0=0,于是a0=-2.015790144你的方程为x3+4x2+x-2.015790144=0.(2)假设方程是sinx+4x2+x+a0=0的形式（三个系数分别是学号中的数字），重新解决类似的问题(3)构造一个五次方程完成上面的工作.四次方程的构造:将三次多项式再乘以(x-p*)2得到对应的五次多项式(p*为已经确定的方程的根,显然,得到的五次方程有重根).(4)将（2）中的方程同样乘以(x-p*)得到一个新的方程来求解（三）算法介绍在本文题中，我们用到了newton法，割线法，抛物线法。1.

3、Newton法迭代格式为： xk+1=xk-f(xk)f(xk+1)当初值x0与真解足够靠近，newton迭代法收敛，对于单根，newton收敛速度很快，对于重根，收敛较慢。2.割线法：为了回避导数值f(xk)的计算，使用xk，xk-1上的差商代替f(xk)，得到割线法迭代公式：xk+1=xk-xk-xk-1fxk-fxk-1f(xk)割线法的收敛阶虽然低于newton法，但迭代以此只需计算一次f(xk)函数值，不需计算其导数，所以效率高，实际问题中经常应用。3.抛物线法：可以通过三点做一条抛物线，产生迭代序列的方法称为抛物线法。其迭代公式为： xk+1=xk-2f(xk)k+sgn(k)k2

4、-4fxkfxk,xk-1,xk-2其中 k=fxk,xk-1+(xk-xk-1)fxk,xk-1,xk-2收敛速度比割线法更接近于newton法。对于本问题的解决就以上述理论为依据。终止准则为：|pn-pn-1| 本题中所有取1e-6。（四）程序注：n表示迭代步数。第一题（1）首先根据题目要求对方程进行构造，得到的方程为：y=x3+2x-0.205061208。Newton法求解算法建立newton1.m源程序，源程序代码为：function x=newton1(fn,dfn,x0,e)if narginex0=x;x=x0-feval(fn,x0)/feval(dfn,x0);end在ma

5、tlab软件中执行下列语句并得到最终结果截图 clear fun=inline(x3+2*x-0.205061208); dfun=inline(3*x2+2);format long; newton1(fun,dfun,0.5,1e-6),format short 并得到最终结果n = 4ans = 0.10200000000000割线法求解算法建立gexianfa.m源程序，源程序代码为：function x=gexian(f,x0,x1,e)if nargine z=x-(feval(f,x)*(x-y)/(feval(f,x)-feval(f,y); y=x; x=z;end在matl

6、ab软件中执行下列语句 clear fun=inline(x3+2*x-0.205061208); gexianfa(fun,0,1,1e-6),format short并得到最终结果：n = 5ans = 0.1020抛物线法求解算法建立paowuxian.m源程序，源程序代码为：function x=pawuxian(f,x0,x1,x2,e)if nargine h1=y-z; h2=x-y; c1=(feval(f,y)-feval(f,z)/h1; c2=(feval(f,x)-feval(f,y)/h2; d=(c1-c2)/(h2+h1); w=c2+h2*d; xi=x-(2*

7、feval(f,x)/(w+(w/abs(w)*sqrt(w2-4*feval(f,x)*d); z=y; y=x; x=xi;end在matlab软件中执行下列语句 fun=inline(x3+2*x-0.205061208); paowuxian(fun,0,0.5,1,1e-6),format short并得到最终结果n = 7ans = 0.1020第一题（2）根据要求，待求解的方程应为：y=sinx+2x-0.205061208。仍然利用（1）中方法求解这一问题，并利用图解法找到初值，通过观察图像，将newton法初值设为：0.2，割线法初值设为：0,0.2。抛物线法初值设为：0,0

8、.1,0.2。图像见下图：Newton法求解：在matlab软件中执行下列语句 clear fun=inline(sin(x)+2*x-0.205061208); dfun=inline(cos(x)+2);format long; newton1(fun,dfun,0.2,1e-6),format short并得到最终结果n = 3ans = 0.06837148815510割线法求解：在matlab软件中执行下列语句 clear fun=inline(sin(x)+2*x-0.205061208); gexianfa(fun,0,0.2,1e-6),format short并得到最终结果截

9、图n = 3ans = 0.0684抛物线法求解在matlab软件中执行下列语句并得到最终结果截图 clear fun=inline(sin(x)+2*x-0.205061208); paowuxian(fun,0,0.1,0.2,1e-6),format short并得到最终结果n = 3ans = 0.0684问题一（3）按照题目要求对五次方程进行构造为： y=x3+2x-0.205061208*(x-0.102)2仍然利用（1）中方法求解这一问题，并利用图解法找到初值，通过观察图像，将newton法初值设为：在此处我们选取了两组初值为0以及0.5，割线法初值设为：-1,1。抛物线法初值设

10、为：两组初值为-1,0,1以及0,0.5,1。Newton法：在matlab软件中执行下列语句 clear fun=inline(x3+2*x-0.205061208)*(x-0.102)2); dfun=diff(x3+2*x-0.205061208)*(x-0.102)2)dfun = (3*x2+2)*(x-.102)2+2*(x3+2*x-.205061208)*(x-.102)dfun=inline(3*x2+2)*(x-.102)2+2*(x3+2*x-.205061208)*(x-.102);format long; newton1(fun,dfun,0,1e-6),format

11、 short并得到最终结果：n = 27ans = 0.10199821300764 newton1(fun,dfun,0.5,1e-6),format shortn = 31ans = 0.1020割线法：在matlab软件中执行下列语句 clear fun=inline(x3+2*x-0.205061208)*(x-0.102)2); gexianfa(fun,-1,1,1e-6),format short并得到最终结果：n = 41ans = 0.1020抛物线法：在matlab软件中执行下列语句 clear fun=inline(x3+2*x-0.205061208)*(x-0.102

12、)2); paowuxian(fun,0,0.5,1,1e-6),format short并得到最终结果截图：n = 57ans = 0.1020问题一（4）按照题目要求对方程进行构造仍然利用（1）中方法求解这一问题，并利用图解法找到初值，通过观察图像，可知存在重根，故将newton法初值设为：两组初值为0以及0.5，割线法初值设为：两组初值为0,0.1以及-0.1,0.1。抛物线法初值设为：两组初值为-1,0,1以及0,0.5,1。绘图语句为：fun=inline(sin(x)+2*x-0.205061208)*(x-0.102);fplot(fun,-1,1)Newton法：在matlab

13、软件中执行下列语句 clearfun=inline(sin(x)+2*x-0.205061208)*(x-0.102);fplot(fun,-1,1); dfun=diff(sin(x)+2*x-0.205061208)*(x-0.102) dfun = (cos(x)+2)*(x-.102)+sin(x)+2*x-.205061208 dfun=inline(cos(x)+2)*(x-.102)+sin(x)+2*x-.205061208);format long; newton1(fun,dfun,0,1e-6),format short并得到最终截图：n = 6ans = 0.06837

14、148815484 newton1(fun,dfun,0.5,1e-6),format short并得到最终结果：n = 8ans = 0.1020割线法：在matlab软件中执行下列语句 clear fun=inline(sin(x)+2*x-0.205061208)*(x-0.102); gexianfa(fun,0,1,1e-6),format short并得到最终结果：n = 10ans =0.0684 gexianfa(fun,0,0.1,1e-6),format short并得到最终结果：n = 5ans = 0.1020抛物线法：在matlab软件中执行下列语句 clear fu

15、n=inline(sin(x)+2*x-0.205061208)*(x-0.102); paowuxian(fun,-0.1,0,0.05,1e-6),format short并得到最终结果：n = 8ans = 0.0684 paowuxian(fun,0,0.5,1,1e-6),format short并得到最终结果：n = 15ans = 0.1020（五）计算结果Newton法割线法抛物线法问题一（1）0.1020.1020.102问题一（2）0.0683714881555100.06840.0684问题一（3）0.1020.1020.102问题一（4）0.102和0.06814881

16、54840.102和0.06840.102和0.0684（1）迭代步数（2）迭代步数（3）迭代步数（4）迭代步数Newton法 4 3 31 6,8割线法 5 3 41 10, 5抛物线法 7 3 57 8，15（六）结果分析将Newton法，割线法，抛物线法进行比较可以看到在本文题中，三种方法计算得到的最终结果基本相同，但是迭代步数有较大差别，综合看来Newton法迭代步数最少，割线法次之，抛物线法最次。这与算法设计中所说Newton法收敛最快，割线法次之，抛物线法最次很好的贴合。对每个算法单独来看，显然选择初值不同对于迭代步数影响较大，对于找到根也会有影响。因此应该先通过画图确定根的大致位置，给出在其附近的初值。（七）心得体会在实现这三个算法的过程中，本身编程较易实现，最重要的是对算法本身的理解，只有真正理解算法的含义才能更快更好的实现程序。