-数学的完美之旅——数学悖论与三次数学危机资料.doc

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1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。-数学的完美之旅数学悖论与三次数学危机-数学的完美之旅数学悖论与三次数学危机摘要：古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精确的思考，也正是悖论直接导致了三次数学危机，并不断推动数学走向完整与完美。关键词：数学悖论；三次数学危机；数学的完美1引言“现在我说一句假话。”这句话是真是假？“悖论(Paradox)”，也可叫“逆论”或“反论”。悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。“一般而言，悖论的某个答案单独看是很有说服力的，而势均力敌的对手之间

2、的拉锯战则使问题保持了生气。”罗伊索伦森；悖论简史哲学和心灵的迷宫中译本序言；北京；北京大学出版社；2007年；第2页悖论有四种主要形式。1一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。2一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）3某一理论的公理和推理原则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题“悖论是有趣的”是每一个接触过悖论的人的感受；“悖论是极其重要的”接受这一观点的人却少之又少。但请不要小看悖论，生活中存在悖论，如“涂写一个告示，上书：不准涂写！”马丁加德纳；从惊讶到思考数学悖论奇景；北京；科学技术文献出版社；1986年；第5页古今中外也有不

3、少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精确的思考，也正是悖论直接导致了三次数学危机，并不断推动数学走向完美。2第一次数学危机“在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。”胡作玄；第三次数学危机；成都；四川人民出版社；1985年；第3页这句话很精确地道出了三次数学危机的本质。公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。这一个小小的不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，这一结

4、论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量都“应该”表示成有理数。可是这一为人们的经验所确信的常识性论断居然被小小的的存在而推翻了！希帕索斯的这一发现，史称“希帕索斯悖论”，它成为一场巨大数学风波的导火索，直接触发了第一次数学危机。但也正是希帕索斯的发现，让人们认识到直觉、经验乃至实验都不是完全可靠的，推理论证才是可靠的。促使人们进一步去认识和理解无理数，引导古希腊数学走向一条迥异于其它古代民族数学的发展道路，从而开始了几何优先发展的时期。虽然这一做法一度阻碍了代数的发展，但之后，数学家逐步解决了这一由主观认识错误而造成的悖论，使数学获得长足进步。3第二次数学危机17世纪末，牛顿和莱布尼兹创立的

5、微积分理论在实践中取得了成功的应用，大部分数学家对于这一理论的可靠性深信不移。然而，这一震撼人之心灵的智力奋斗的结晶在其刚刚诞生时却有着艰难的发展历程。原因是微积分理论的基础无穷小是包含逻辑矛盾的。英国大主教贝克莱指责牛顿：无穷小量在同一思维过程中一会儿说是0，一会儿又说不是0。运动的结果在量上等于0，而在起点上则不等于0。这就是“贝克莱悖论”，而这一点连牛顿也无法解释，因为无穷小量必须是0，但又不能是0。这一悖论在当时的数学界引起了一场轩然大波，由此导致了第二次数学危机的产生。极限从古希腊的穷竭法发展而来，但一直缺乏精确的表达，“这是它以几何直观为依据所造成的后果”，卡尔B波耶；微积分概念史

6、发展；上海；复旦大学出版社；2007年；第286页这之后，数学家不断努力去解决它。法国数学家柯西是数学分析的集大成者，他通过分析教程无穷小计算讲义无穷小计算在几何中的应用这几部著作试图解决这一悖论。“在19世纪，通过无穷级数和无限集合的使用，无限性的概念已成为微积分学的基础了。卡尔B波耶；微积分概念史发展；上海；复旦大学出版社；2007年；第282页”之后的数学家不仅重建了微积分学坚实牢固的基础，还给出无理数的严格定义。这些定义，从不同的侧面深刻揭示了无理数的本质，从而建立了严格的实数理论，彻底消除了希帕索斯悖论，并解决了无穷小量的辨证性与数学方法的形式特性的矛盾。从此“微积分无论在基本概念，

7、还是在逻辑严密性，形式严谨性上，都有如欧几里得几何学一般的令人赞叹！”韩雪涛；数学悖论与三次数学危机；湖南；湖南科学技术出版社；2006年；第200页这也宣布了第二次数学危机的彻底解决。4第三次数学危机经过第一、二次数学危机，人们把数学基础理论的无矛盾性，归结为集合论的无矛盾性，集合论已成为整个现代数学的基础，数学这座无比辉煌的大厦就算竣工了。然而，良日总是苦短。1903年，英国数学家罗素提出：集合论是有漏洞的！罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。那S是否属于S呢？如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。

8、这一悖论就像在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。作为对集合论悖论研究的直接成果是哥德尔集合论公理体系和不完全性定理。他认为，一个包含逻辑和初等数论的形式系统，如果是协调的，则是不完全的，亦即无矛盾性不可能在本系统内确立；如果初等算术系统是协调的，则协调性在算术系统内是不可能证明的。“就最本质的意义上说，哥德尔定理所做的无非是永远的击碎了真与证明同一的信念。”韩雪涛；数学悖论与三次数学危机；湖南；湖南科学技术出版社；2006年；第270页从此以后，“真”永远大于“证明”。美国著名数学家冯诺伊曼说过：“哥德尔在现代逻辑中的成就是非凡的、不朽的它的不朽甚至超

9、过了纪念碑。”时至今日，第三次数学危机看似解决了，但其实是以更深刻的其它形式延续着。因为“一般来说，每当数学家解决一个问题，就会产生很多新的问题。”塞吉兰；做数学之美妙三次公开演讲前言；成都；四川大学出版社；2001年；第1页关于数学确定性与真理性的很多重要课题还未能从根本上得到解决。然而，我们可以乐观地相信，与前几次危机一样，人们最终可以找到想要的答案。5总结“解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。”刘志彬；趣谈数学悖论；理科爱好者；2010年第1期；第4页作为大学生在平日里思考或解决简单的悖论对我们养成良好的思维素养是十分有益的。显然，悖论的作用也不止这一点

10、，它对于数学基础、逻辑学和哲学都有十分重要的意义。它会给数学带来许多新内容、新知识，有时也带来革命性的变化。正如数学家塔斯基所指出的：“必须强调的是，悖论在建立现代演绎科学的基础上占有一个特别重要的地位。”而这或许就是数学悖论重要意义之所在，即在解决一个又一个悖论中实现数学不断地完整化与完美化。参考文献：1罗伊索伦森；悖论简史哲学和心灵的迷宫中译本序言；北京；北京大学出版社；2007年2马丁加德纳；从惊讶到思考数学悖论奇景；北京；科学技术文献出版社；1986年3胡作玄；第三次数学危机；成都；四川人民出版社；1985年4卡尔B波耶；微积分概念史发展；上海；复旦大学出版社；2007年5韩雪涛；数学悖论与三次数学危机；湖南；湖南科学技术出版社；2006年6塞吉兰；做数学之美妙三次公开演讲前言；成都；四川大学出版社；2001年7刘志彬；趣谈数学悖论；理科爱好者；2010年第1期-