备战备考2022年中考数学一轮复习——二次函数（压轴题专项）（含详细解析）.doc

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1、备战2020年中考数学一轮复习二次函数（压轴题专项）1、【2019遂宁中考】如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON（1）求该二次函数的关系式（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：连接OP，当OPMN时，请判断NOB的形状，并求出此时点B的坐标求证：BNMONM2、如图，直线yxn交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)，抛物线yx2bxc经过点A，交y轴于点B(0，2)，点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BDPD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.

2、(1)求抛物线的解析式；(2)当BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长3、如图，点O是坐标原点，点A(n,0)是x轴上一动点(n0)以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB2OA矩形AOBC绕点A逆时针旋转90°得矩形AGDE.过点A的直线ykxm交y轴于点F，FBFA抛物线yax2bxc过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HMx轴，垂足为M.(1)求k的值；(2)点A位置改变时，AMH的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由4、已知抛物线yx2(2m1)x2m(m0.5)的最低点的纵坐标为4. (1) 求抛物线的解析式； (2) 如图1，抛物线与x

3、轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，D为抛物线上的一点，BD平分四边形ABCD的面积，求点D的坐标； (3) 如图2，平移抛物线yx2(2m1)x2m，使其顶点为坐标原点，直线y2上有一动点P，过点P作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点E、F(直线PE、PF不与y轴平行)，求证：直线EF恒过某一定点. 5、如图1，点A是直线ykx(k0，且k为常数)上一动点，以A为顶点的抛物线y(xh)2m交直线yx于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C(点A，E，F两两不重合)(1)请写出h与m之间的关系；(用含k的式子表示)(2)当点A运动到使EF与x轴

4、平行时(如图2)，求线段AC与OF的比值图1 图26、已知直线yx2t与抛物线ya(xt)2k(a>0，t0，a、t、k为已知数)，在t2时，直线刚好经过抛物线的顶点(1)求k的值；(2)t由小变大时，两函数值之间大小不断发生改变，特别当t大于正数m时，无论自变量x取何值，yx2t的值总小于ya(xt)2k的值，试求a与m的关系式；(3)当0tm时，设直线与抛物线的两个交点分别为A、B，在a为定值时，线段AB的长度是否存在最大值，若有，请求出相应的t的取值，若没有，请说明理由7、如图，已知矩形ABCO在坐标系的第一象限，它的长AO是宽OC的倍，且有两边在坐标轴上将ACO沿对角线AC翻折的

5、ACP，P点落在经过矩形ABCO四个顶点的E上，E的半径为R.(1)用R的式子表示点B的坐标；(2)若抛物线yax2xc经过P、A两点，请你判断点C是否在此抛物线上；(3)若(2)中的抛物线的顶点为Q，该抛物线与x轴的另一个交点为M，那么直线OB将AMQ的面积分为两个部分的比值k是否是一个定值？如果不是，请说明理由；如果是，请求出其比值k.8、如图，在平面直角坐标系中，直线yxm(m为大于0的常数)与x轴相交于点A，与y轴相交于点C，开口向下的抛物线yax2bxc经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，以AB为直径的M经过点C(1)直接写出点A，C的坐标(用含m的式子表示)；(2)求ac的值；(

6、3)若直线l平行于AC，且与抛物线yax2bxc有且只有一个公共点P，连接PA，PC，当PAC的面积等于4时，求M与抛物线yax2bxc的交点坐标9、如图1，抛物线yax29ax36a（a0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OCOA，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PEx轴于点E，交直线BC于点D，连接PC（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，连接PB，试问PCB的面积是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由（3）当点P在抛物线上运动时，将CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否能成为菱形？如果能，请直

7、接写出点P的坐标；如果不能，请说明理由参考答案1、【2019遂宁中考】如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON（1）求该二次函数的关系式（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：连接OP，当OPMN时，请判断NOB的形状，并求出此时点B的坐标求证：BNMONM【解析】（1）二次函数顶点为P（3，3）设顶点式ya（x3）2+3二次函数图象过点A（6，0）（63）2a+30，解得：a 二次函数的关系式为y（x3）2+3x2+2x（2）设B（b，b2+2b）（b3）直线OB解析式

8、为：y（b+2）xOB交对称轴l于点M当xM3时，yM（b+2）×3b+6M（3，b+6）点M、N关于点P对称NPMP3（b+6）b3，yN3+b3b，即N（3，b）OPMNOPMPb3解得：b3+3b2+2b×（3+3）2+2×（3+3）3 B（3+3，3），N（3，3+3）OB2（3+3）2+（3）236+18，ON232+（3+3）236+18，BN2（3+33）2+（333）272+36OBON，OB2+ON2BN2NOB是等腰直角三角形，此时点B坐标为（3+3，3）证明：如图，设直线BN与x轴交于点D B（b，b2+2b）、N（3，b）设直线BN解析式为

9、ykx+d 解得：直线BN：ybx+2b当y0时，bx+2b0，解得：x6D（6，0）C（3，0），NCx轴NC垂直平分OD NDNO BNMONM2、如图，直线yxn交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)，抛物线yx2bxc经过点A，交y轴于点B(0，2)，点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BDPD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长【解析】：(1)由直线yxn过点C(0，4)，得n4，yx4.令y0时，x40，解得x3.A(3，0)抛物线yx2bxc经过点A(3，0)，B(0，2)，抛物线的解析式

10、为yx2x2.(2)点P的横坐标为m，P，D(m，2)若BDP为等腰三角形，则PDBD.当点P在直线BD上方时，PDm2m.()若点P在y轴左侧，则m 0，BDm.m2mm，m10(舍去)，m2(舍去)()若点P在y轴右侧，则m 0，BDm.m2mm，m30(舍去)，m4.当点P在直线BD下方时，m 0，BDm，PDm2m.m2mm，m50(舍去)，m6.综上所述，当m或，BDP为等腰直角三角形，此时PD的长为或.3、如图，点O是坐标原点，点A(n,0)是x轴上一动点(n0)以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB2OA矩形AOBC绕点A逆时针旋转90°得矩形AGDE.过点

11、A的直线ykxm交y轴于点F，FBFA抛物线yax2bxc过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HMx轴，垂足为M.(1)求k的值；(2)点A位置改变时，AMH的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由【解析】 (1)根据题意得到：E(3n,0)，G(n，n)当x0时，ykxmm，点F坐标为(0，m)RtAOF中，AF2m2n2，FBAF，m2n2(2nm)2，化简，得m0.75n，对于ykxm，当xn时，y0，0kn0.75n，k0.75(2)抛物线yax2bxc过点E、F、G，解得a，b，c0.75n.抛物线为yx2x0.75n.解方程组：得：x15n，y13n；x20，

12、y20.75n.H坐标(5n,3n)，HM3n，AMn5n4n，AMH的面积0.5×HM×AM6n2.而矩形AOBC的面积2n2，AMH的面积矩形AOBC的面积31，不随着点A的位置的改变而改变4、已知抛物线yx2(2m1)x2m(m0.5)的最低点的纵坐标为4. (1) 求抛物线的解析式； (2) 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，D为抛物线上的一点，BD平分四边形ABCD的面积，求点D的坐标； (3) 如图2，平移抛物线yx2(2m1)x2m，使其顶点为坐标原点，直线y2上有一动点P，过点P作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点E、

13、F(直线PE、PF不与y轴平行)，求证：直线EF恒过某一定点. 【解析】(1) yx2(2m1)x2m(xm0.5)2m2m0.25，最低点的纵坐标为4，m2m0.254，即4m24m150，m1.5或2.5. m0.5，m1.5. 抛物线的解析式为yx22x3. (2) yx22x3，A(3，0)，B(1，0)，C(0，3). 连AC交BD于E，过A作AMBD于M，过C作CNBD于N， 由ABD与CBD面积相等，得AMCN. 于是易得AEMCEN(AAS)，AECE，E(1.5，1.5). 又B(1，0)，直线BE的解析式为y0.6x0.6. 由，解得D(，). (3) 设E(t，t2)，F

14、(n，n2)，设直线PE为yk1(xt)t2，由，得 x2k1xk1tt20，k124(k1tt2)(k12t)20，k12t. 直线PE为y2t(xt)t2，即y2txt2. 令y2，得xP. 同理，设直线PF为yk2(xn)n2，xP，得：， tn，tn2. 设直线EF的解析式为ykxb，由，得x2kxb0， xE·xFb，即tnb，b2. 直线EF为ykx2，过定点(0，2).5、如图1，点A是直线ykx(k0，且k为常数)上一动点，以A为顶点的抛物线y(xh)2m交直线yx于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C(点A，E，F两两不重合)(1)请

15、写出h与m之间的关系；(用含k的式子表示)(2)当点A运动到使EF与x轴平行时(如图2)，求线段AC与OF的比值图1图2【解析】 (1)抛物线顶点(h，m)在直线ykx上，mkh；(2)解方程组将代入得到：(xh)2khkx，整理得：(xh)(xh)k0，解得：x1h，x2kh.代入到方程得y1kh，y2k2hk.所以点E坐标是(kh，k2hk)当x0时，y(xh)2mh2kh，点F坐标是(0，h2kh)当EF和x轴平行时，点E，F的纵坐标相等，即k2khh2kh解得：hk(hk舍去，否则E，F，O重合)此时点E(2k,2k2)，F(0,2k2)，C(k,2k2)，A(k，k2)ACOFk22

16、k2126、已知直线yx2t与抛物线ya(xt)2k(a>0，t0，a、t、k为已知数)，在t2时，直线刚好经过抛物线的顶点(1)求k的值；(2)t由小变大时，两函数值之间大小不断发生改变，特别当t大于正数m时，无论自变量x取何值，yx2t的值总小于ya(xt)2k的值，试求a与m的关系式；(3)当0tm时，设直线与抛物线的两个交点分别为A、B，在a为定值时，线段AB的长度是否存在最大值，若有，请求出相应的t的取值，若没有，请说明理由【解析】 (1)由题意，t2时，直线刚好经过抛物线的顶点而此时直线解析式为yx4，对称轴坐标为直线x2.易得k2.(2)当tm时，无论自变量x取何值，一次函

17、数的值总小于二次函数的值，说明当tm时，直线与抛物线有且只有一个公共点可设此时直线与抛物线解析式分别为yx2m和ya(xm)22，联立消去y，得：ax2(2am1)xam222m0，由0得：8a14am0.(3)设A(x1，y1)，B(x1，y1)，坐标系内构造直角三角形后易知，AB联立直线与抛物线解析式消去y，得：ax2(2at1)xat222t0.由求根公式可知：，AB.由于a为定值且a>0，所以4a<0，由于1,8a，、均为正，从而t0时，AB最大7、如图，已知矩形ABCO在坐标系的第一象限，它的长AO是宽OC的倍，且有两边在坐标轴上将ACO沿对角线AC翻折的ACP，P点落在

18、经过矩形ABCO四个顶点的E上，E的半径为R.(1)用R的式子表示点B的坐标；(2)若抛物线yax2xc经过P、A两点，请你判断点C是否在此抛物线上；(3)若(2)中的抛物线的顶点为Q，该抛物线与x轴的另一个交点为M，那么直线OB将AMQ的面积分为两个部分的比值k是否是一个定值？如果不是，请说明理由；如果是，请求出其比值k.【解析】 (1)点B坐标为(R，R)(2)易求点P坐标为，点A坐标为(R,0)，则：解得抛物线的解析式为：y x2xR.由于点C坐标为(0，R)，因其正好为抛物线与y轴的交点，故点C在抛物线上(3)如图，由顶点坐标公式易求得Q点坐标为，令y0，可解得M点的坐标为，从而SAM

19、Q.又易求OB解析式为yx.设AQ解析式为ykxb，则：解得设AQ解析式为yx联立AQ与OB的解析式解得交点N的坐标为.从而易求SAON·R·.÷.直线OB将AMQ的面积分为两个部分的比值k是一个定值，且k或者.8、如图，在平面直角坐标系中，直线yxm(m为大于0的常数)与x轴相交于点A，与y轴相交于点C，开口向下的抛物线yax2bxc经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，以AB为直径的M经过点C(1)直接写出点A，C的坐标(用含m的式子表示)；(2)求ac的值；(3)若直线l平行于AC，且与抛物线yax2bxc有且只有一个公共点P，连接PA，PC，当PAC的面积

20、等于4时，求M与抛物线yax2bxc的交点坐标【解析】 (1)点A(2m,0)，C(0，m)；(2)以AB为直径的M经过点C，ACB90°.可证得，BOCCOA，OBOCOCOAOA2m，OCm，OBm.点B(m,0)将点A(2m,0)，B(m,0)，C(0，m)的坐标分别代入yax2bxc，解得a，b，cm.抛物线的解析式为：yx2xm，ac()×m1.(3)过点P作PHx轴交AC于点E，交x轴于点H，过点C作CFPH，垂足为F.直线l平行于AC，设l的解析式为：yxn.代入抛物线的解析式并整理，得x22xmn0.l与抛物线yx2xm有且只有一个公共点P，224()(mn

21、)0.解得n2m.l的解析式为：yx2m.SPACSPCESPAEPE×CFPE×AHPE×AO.AO2m，PE2mmm.SPACPE×AOm×2m4.解得m±2.m0，m2.抛物线的解析式为：yx2x2.M与抛物线的一个交点C(0,2)的纵坐标为2，令x2x22.解得x0或x3.M与抛物线yax2bxc的交点坐标为：A(4,0)，B(1,0)，C(0,2)和C1(3,2)9、如图1，抛物线yax29ax36a（a0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OCOA，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PEx轴于点E，交直线BC于点D，

22、连接PC（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，连接PB，试问PCB的面积是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由（3）当点P在抛物线上运动时，将CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否能成为菱形？如果能，请直接写出点P的坐标；如果不能，请说明理由【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得方程，根据解方程，可得A，B，根据OCOA，可得a的值；（2）根据待定系数法，直线BC的解析式为：yx+5，根据平行于y轴直线上两点间的距离大的纵坐标减小的纵坐标，可得PD，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的

23、性质，可得答案；（3）根据两点间距离公式，可得CD，根据菱形的判定，可得PDCDCQPQ，可得关于n的方程，根据解方程，可得n的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标【解答】解：（1）当y0时，ax29ax36a0，解得x13，x212即A（3，0），B（12，0），由OCOA，得36a×3，解得a故抛物线的解析式为：yx2+x+5；（2）如图2，设P（m，m2+m+5）直线BC经过B（12，0），C（0，5），设直线BC的解析式为：ykx+b，则，解得：直线BC的解析式为：yx+5，则D（m，m+5），PDm2+m，S（m2+m）×12Sm2+10m（m6）2+30当m6时，S最大30（3）PDCD，翻折后PDCDCQPQ，PDCQ是菱形设P（n，n2+n+5），则D（n，n+5），CD|n|而PDn2+nPDCD，n2+nnn2+nn，解方程得：n或0（不符合条件，舍去），解方程得：n或0（不符合条件，舍去），当n时，P（ ，），综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（ ，）或（，）