第12讲 运动路径长度问题-备考2022年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版.doc

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1、硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来，那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好：1. 隐圆模型2. 共顶点模型-也可称“手拉手模型”3. 主从联动模型-也可称“瓜豆原理模型”4. 旋转问题本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型此外，还需要明白的动点类型还有：5. 线段垂直平分线到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上6. 角平分线到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上7. 三角形中位线动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半8. 平行线分线段成比例动点到某条线的距离与某平行线段成比例9. 两平行线的性质平行线间的距离，处处相等Ps强

2、烈建议：如果您之前没有对上述模型进行过学习，建议您先到学科网搜索下载独家精品出版的：中考数学几何模型能力提升篇专题系列资料包，您一定可以大有提升！一、路径为圆弧型解题策略：作出隐圆，找到圆心作出半径，求出定长解题关键：通过隐圆模型中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆，即可轻易得出结论.二、路径为直线型解题策略：利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可解题关键：解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点三、路径为往返型解题策略：通常为主从联动模型的衍生版确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化找出动点运动的最远点解

3、题关键：解题过程中常常出现相似转线段长、主从联动模型中的滑动模型等【例题1】如图，等腰RtAOB中，AOB90°，OA，O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰RtBPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）ABCD【分析】解题标签：共顶点模型中的旋转相似、隐圆模型中的动点定长模型、主从联动模型【解析】如图，连接OP，AQ，设O与AB相切于C，连接OC，则OCAB，OAOB，AOB90°，OB，AB2，OPOCAB，ABO和QBP均为等腰直角三角形，ABOQBP45°，ABQOBP，ABQOBP，BAQBOP，即，AQ，又点

4、P在弧MN上由点M运动到点N，0°BOP90°，0°BAQ90°，点Q的运动轨迹为以A为圆心，AQ长为半径，圆心角为90°的扇形的圆弧，点Q运动的路径长为，故选：D本题用主从联动模型来接替会更快得到结果【例题2】已知O，AB是直径，AB4，弦CDAB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）ABCD2【分析】解题标签：“定边对直角”确定隐圆模型【解析】作DQAC于Q，如图，当P点在C点时，F点与Q重合；当P点在B点时，F点与E点重合，AFD90°，点F在以AD为直径的圆上，点

5、F运动的路径为，弦CDAB且过OB的中点，OEOD，CEDE，ACAC2，DOE60°，DAC60°，ACD为等边三角形，MQ和ME为中位线，MQ，QME60°，F运动的路径长度故选：A【例题3】如图，O的半径为1，弦AB1，点P为优弧AB上一动点，ACAP交直线PB于点C，则ABC的最大面积是 【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型【解析】连结OA、OB，作ABC的外接圆D，如图1，OAOB1，AB1，OAB为等边三角形，AOB60°，APBAOB30°，ACAP，C60°，AB1，要使ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大

6、，ACB60°，点C在D上，ADB120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时ABC为等边三角形，且面积为AB2，ABC的最大面积为故答案为：【例题4】 如图，等腰RtABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQOP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（   ）A.                 &

7、#160;                      B.                           

8、;             C. 1                                   &#

9、160;   D. 2【分析】解题标签：“线段垂直平分线”产生“平行定距型”【解析】连接OC，作PEAB于E，MHAB于H，QFAB于F，如图，ACB为到等腰直角三角形，AC=BC= AB= ，A=B=45°，O为AB的中点，OCAB，OC平分ACB，OC=OA=OB=1，OCB=45°，POQ=90°，COA=90°，AOP=COQ，在RtAOP和COQ中，RtAOPCOQ，AP=CQ，          

10、0; 易得APE和BFQ都为等腰直角三角形，PE=AP=CQ，QF=BQ，PE+QF=（CQ+BQ）=BC=1，M点为PQ的中点，MH为梯形PEFQ的中位线，MH=（PE+QF）=，即点M到AB的距离为，而CO=1，点M的运动路线为ABC的中位线，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1，故答案为：C 或连接OM，CM，点M运动路径为线段OC中垂线【例题5】 已知：如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在x轴上，且BAO30°，点D是线段OA上的一点，以BD为边向下作等边BDE（1）如图2，当ODB45°时，求证：OE平分BED（2）如图3，当

11、点E落在y轴上时，求出点E的坐标（3）利用图1探究并说理：点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点E也会在一条直线上滑动；并直接写出点E运动路径的长度【分析】解题标签：“共顶点模型”、“全等或相似转固定角度法确定动点的直线运动”【解析】（1）ODB45°，AOB90°，OBDODB45°，ODOB，BDE是等边三角形，DEBE，在DOE和BOE中，DOEBOE（SSS），DEOBEO，即OE平分BED；（2）BOE是等边三角形，EDB60°，OBDE，设ODx，则OEx，BAO30°，AOB90°，DBOABDBAO30°，

12、BD2OD2x，ADBD2x，OAAD+OD3x6，解得，x2，E（0，2）；（3）如图1，在x轴上取点C，使BCBA，连接CE，ABD+OBDCBE+OBD60°，ABDCBE，在ABD和CBE中，ABDCBE（SAS），BCEBAO30°，当D在OA上滑动时，点E总在与x轴夹角为30°的直线CE上滑动，如图可知，点E运动路径的长度为6【例题6】 如图，RtABC中，BC4，AC8，RtABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束在这个运动过程中，点C运动的路径长是8

13、12 【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】当A从O到现在的点A处时，如图2，此时CAy轴，点C运动的路径长是CC的长，ACOC8，ACOB，ACOCOB，cosACOcosCOB，OC4，CC48；当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C到C，长是CC，CCOCBC44，综上所述，点C运动的路径长是：48+44812；故答案为：812【例题7】如图1，已知抛物线yx2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB（1）

14、求抛物线的函数解析式；（2）当AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，M为AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1t5时，求点M经过的路径长度【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】（1）抛物线yx2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x2，c0，2，则b4、c0，抛物线解析式为yx24x；（2）设点B（a，a24a），yx24x（x2）24，点A（2，4），则OA222+4220、OB2a2+（a24a）2、AB2（a2）2+（a24a+4）2，若OB2OA2+AB2，则a2+（a24a）220+（a2）2+（a24a+4）2，解得a2（舍）或a，B

15、（，），则直线OB解析式为yx，当x2时，y3，即P（2，3），t（3+4）÷11；若AB2OA2+OB2，则（a2）2+（a24a+4）220+a2+（a24a）2，解得a0（舍）或a，B（，），则直线OB解析式为yx，当x2时，y1，即P（2，1），t1（4）÷15；若OA2AB2+OB2，则20（a2）2+（a24a+4）2+a2+（a24a）2，整理，得：a38a2+21a180，a33a25a2+15a+6a180，a2（a3）5a（a3）+6（a3）0，（a3）（a25a+6）0，（a3）2（a2）0，则a3或a2（舍），B（3，3），直线OB解析式为yx，当x

16、2时，y2，即P（2，2），t2（4）÷12；综上，当AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5（3）M为AOB的外接圆，点M在线段OA的中垂线上，当1t5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，当t1时，如图1，由（2）知OAB90°，此时RtOAB的外接圆圆心M是OB的中点，B（，），M（，）；当t5时，如图2，由（2）知，AOB90°，此时RtOAB的外接圆圆心M是AB的中点，B（，）、A（2，4），M（，）；当t2时，如图3，由（2）知，OBA90°，此时RtOAB的外接圆圆心M是OA的中点，A（2，4），M（1，2）；则点M经过的路径长

17、度为【例题8】如图，OMON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB5，P为AB的中点当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（）A2B2CD5【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】建立如图坐标系设OBt，则OA5t，B（t，0），A（0，5t），APPB，P（，），令x，y，消去t得到，yx+（0x），点P的运动轨迹是线段HK，H（0，），K（，0），点P的运动路径的长为，故选：C【例题9】如图1，在RtABC中，C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度

18、运动，过点P作PDBC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长 【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系依题意，可知0t4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）设直线M1M2的解析式为y=kx+b， ，解得，直线M1M2的解析式为y=-2x+6点Q（0，2t），P（6-t，0）在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（ ，t）把x= 代入y=-2x+6得y=-2

19、× +6=t，点M3在直线M1M2上过点M2作M2Nx轴于点N，则M2N=4，M1N=2M1M2=2 线段PQ中点M所经过的路径长为2 单位长度 【例题10】（1）如图1，已知AB=2，点D是等腰RtABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等边BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（2）如图2，已知AB=2，点D是等腰RtABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以E为直角顶点的等腰RtBDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（3）如图3，已知AB=2，点D是等腰RtABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直角顶点的等腰RtBDE，

20、当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（4）如图4，已知AB=2，点D是等腰RtABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直顶点的等腰BDE，且BDE=120°，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；【分析】解题标签：“主从联动模型”【解析】；【例题11】如图，已知扇形AOB中，OA=3，AOB=120°，C是在 上的动点以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是_【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型、主从联动模型【解析】如图所示，易得点D的运动轨迹的长为 =2 1如图，在等腰RtABC中，ACBC，点P在以斜

21、边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是【解析】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MKACBC，ACB90°，AB2，OPAB1，CMMP，CKOK，MKOP，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，长为半径的半圆，点M运动的路径长2，故答案为2已知线段AB8，C、D是AB上两点，且AC2，BD4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若AEPBFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为43【解析】如图，分别延长AE、BF交于点HAPE和PB

22、F都是等腰三角形，且AEPBFPAFPB，AHPF，同理，BHPE，四边形EPFH为平行四边形，EF与HP互相平分M为EF的中点，M为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，所以M的运行轨迹为三角形HCD的中位线QNCDABACBD86，QNCD43，即M的移动路径长为43故答案是：433已知线段AB10，P是线段AB上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为5【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H，AFPB60°，AHPF，BEPA60°，BHPE，四边形EPFH为平行四边形，

23、EF与HP互相平分G为EF的中点，G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为HAB的中位线MNMNAB5，即G的移动路径长为5故答案为：54如图，AB为O的直径，AB3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使APAQAB2若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3【解析】连接BQ，如图，AB为O的直径，APB90°，APAQAB2即，而BAPQAB，ABPAQB，ABQAPB90°，BQ为O的切线，点Q运动的路径长为切线长，弧AC的度数是60°，AOC60°，OAC60°，当点P

24、在C点时，BAQ60°，BQAB3，即点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3故答案为35如图，矩形ABCD中，AB4，AD6，点E在边AD上，且AE:ED1:2动点P 从点A出发，沿AB运动到点B停止过点E作EFPE交射线BC于点F 设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为_【答案】4 【解析】如图所示：过点M作GHAD.ADCB ， GHAD ， GHBC.在EGM和FHM中，EGMFHM.MG=MH.点M的轨迹是一条平行于BC的线段当点P与A重合时,BF1=AE=2，当点P与点B重合时,F2+EBF1=90,BEF1+EBF1=90，F2=EBF1.

25、EF1B=EF1F2 ， EF1BEF1F2. ，即 F1F2=8，M1M2是EF1F2的中位线，M1M2=  F1F2=4.故答案为：4.6等边三角形ABC的边长为2，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AECF，连接AF，BE相交于点P（1）APB的度数；（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值【解析】（1）ABC为等边三角形，ABAC，CCAB60°，又AECF，在ABE和CAF中，ABECAF（SAS），AFBE，ABECAF又APEBPFABP+BAP，APEBAP+CAF60°APB180

26、6;APE120°（2）如图1，AECF，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时ABP为等腰三角形，且ABPBAP30°，AOB120°，又AB2，OA2，点P的路径是l；（3）如图2，AECF，点P的路径是一段弧，当点E运动到AC的中点时，CP长度的最小，即点P为ABC的中心，过B作BEAC于E，PCBE，ABC是等边三角形，BEBC3，PC2CP长度的最小值是2方法二：由图1可知，CP最小值等于CO减OA，OA就是那圆弧的半径，可得PC的最小值为27如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C

27、右侧），且满足COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过的路径长为_【答案】【解析】解 ：点C从点A运动到点D与点B从何时，AD与BC的相点P运动的轨迹是一条弧，C,D两点运动到恰好是半圆的三等分点时，AD与BC的相点P是弧的最高点，作AP,BP的中垂线，两线交于点E，点E是弧APB的圆心；由题意知：AD=BD，PAB=PBA=30°,连接AE,DE，根据圆的对称性得出A、O、E三点在同一直线上，易证ADE是一个等边三角形，AED=60°,在RtADO中，DOA=90°,PAB=30&#

28、176;,AO=1,故AD=,AE=AD=,弧APB的长度=。故答案为：8如图，A（3，0），B（0，3），C（1，4），P，C，M按逆时针顺序排列，动点P在线段AB上，C90°，CPM30°，请求出当P点从A运动到B点时，点M运动的路径时什么？并求出M点运动路径长度【解析】如图当点P与A重合时，作MHAB于H，作CM1MH于M1，连接BC，CH，BM1取AM的中点K，连接KC、KH 或者用相似解答KMKAKCKH，A、H、C、M四点共圆，CHBAMC60°，CB，BHBCtan30°，AHABBH3，在RtACB中，AC2，在RtACM中，AMAC&#

29、247;cos30°，在RtAMH中，HM+，当点P与B重合时，点M与M1重合，易知HM1BC，MM1HMHM1，当P点从A运动到B点时，点M运动的路径是线段MM1，M点运动路径长度为9如图，矩形ABCD中，AB6，BC6，动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AD运动，动点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段DOC运动，已知P、Q同时开始移动，当动点P到达D点时，P、Q同时停止运动设运动时间为t秒（1）当t1秒时，求动点P、Q之间的距离；（2）若动点P、Q之间的距离为4个单位长度，求t的值；（3）若线段PQ的中点为M，在整个运动过程中；直接写出点M运动路径的长度为

30、【解析】（1）如图1中，作QKAD于K四边形ABCD是矩形，BCAD6，BAD90°，tanBDA，BDA30°，当t1时，DQ2，QKDQ1，DK，PA，PK4，PQ7（2）如图1中，当0t3时，QKt，PK62t，PQ4，t2+（62t）242，解得t2或（舍弃）如图2中，当3t6时，作QHAD于H，OKAD于K，OFOH于F由题意：AQ2t，AHt，APt，AHAP，P与H重合，当PQ4时，AQ8，2t8，t2，综上所述，t2或4s时，PQ4（3）如图3中，作OKAD于KQHAD于H四边形ABCD是矩形，ODOA，OKAD，DKAK，DHPAt，KHPK，MKHQ，M

31、QMP，点M在线段OK上，当点Q从D到O时，点M的运动距离OK如图4中，当点Q在线段OC上时，取CD的中点M，OK的中点M，连接MM，则点M的运动轨迹是线段MM在RtOMM中，MM，在整个运动过程中；直接写出点M运动路径的长度为故答案为10（2019秋江岸区校级月考）如图，正ABC中，AB2，ADBC于D，P，Q分别是AB，BC上的动点，且PQAD，点M在PQ的右上方且PMQM，M120°，当P从点A运动到点B时，M运动的路径长为3(看成固定三角板滑动处理/或反其道而行之)【解析】如图1中，作MEAB于E，MFBC于F，连接BMABC是等边三角形，ABC60°，MEBMFB

32、90°，EMFPMQ120°，PMEQMF，MPMQ，MEPMFQ（AAS），MEMF，BM平分ABC，点M的在射线BM上运动如图2中，由题意，当PQAC时，BM的值最大，最大值BM2，当P1Q1落在BC上时，得到BM1的值最小，最小值BM11，设BM交AC于G，点M的运动路径是GMM1点M的运动路径的长MG+MM1BMBG+BMBM12+213故答案为311如图，在四边形ABCD中，C60°，A30°，CDBC（1）求B+D的度数（2）连接AC，探究AD，AB，AC三者之间的数量关系，并说明理由（3）若BC2，点E在四边形ABCD内部运动，且满足DE2

33、CE2+BE2，求点E运动路径的长度【解析】（1）在四边形ABCD中，C60°，A30°，D+B360°AC360°60°30°270°（2）如图，将ABC绕点C顺时针旋转60°，得到QDC，连接AQ，ACQ60°，ACCQ，ABQD，ACQ是等边三角形，ACCQAQ，由（1）知：ADC+B270°，ADC+CDQ270°，可得QDA90°，AD2+DQ2AQ2，AD2+AB2AC2；（3）将BCE绕C点顺时针旋转60°，得到CDF，连接EF，CECF，ECF60&

34、#176;，CEF是等边三角形，EFCE，CFE60°，DE2CE2+BE2，DE2EF2+DF2，DFE90°，CFDCFE+DFE60°+90°150°，CEB150°，则动点E在四边形ABCD内部运动，满足CEB150°，以BC为边向外作等边OBC，则点E是以O为圆心，OB为半径的圆周上运动，运动轨迹为，OBBC2，则点E运动路径的长度是12已知在扇形AOB中，圆心角AOB120°，半径OAOB8（1）如图1，过点O作OEOB，交弧AB于点E，再过点E作EFOA于点F，则FO的长是4，FEO60°；

35、（2）如图2，设点P为弧AB上的动点，过点P作PMOA于点M，PNOB于点N，点M，N分别在半径OA，OB上，连接MN，则求点P运动的路径长是多少？MN的长度是否是定值？如果是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）中的条件下，若点D是PMN的外心，直接写出点D运动的路经长【解析】（1）OEOB，BOE90°，AOB120°，AOE30°，EFOA，EFO90°，在RtEFO中，OEOB8OFOEcos30°4，FEO90°30°60°，故答案为：4，60；（2）点P在弧AB上运动，其路径也是一段弧，由

36、题意可知，当点M与点O重合时，PMB30°，当点N与点O重合时，PNA30°，点P运动路径所对的圆心角是120°30°30°60°，点P运动的路径长；是定值；如图1，连接PO，取PO的中点H，连接MH，NH，在RtPMO和RtPNO中，点H是斜边PO的中点，MHNHPHOHPO4，根据圆的定义可知，点P，M，O，N四点均在同一个圆，即H上，又MON120°，PMOPNO90°，MPN60°，MHN2MPN120°，过点H作HKMN，垂足为点K，由垂径定理得，MKKNMN，在RtHMK中，MHK6

37、0°，MH4，则MK2，MN2MK4，是定值（3）由（2）知，点P，M，O，N四点共圆，H是PMN的外接圆的圆心，即：点H和点D重合，ODPD，点D是以点O为圆心OP4为半径，点P运动路径所对的圆心角是120°30°30°60°，点D运动路径所对的圆心角是120°30°30°60°，点D运动的路经长为13如图，AB为O的直径，且AB4，点C在半圆上，OCAB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PEOC于点E，设OPE的内心为M，连接OM、PM（1）求OMP的度数；（2）当点P在半圆上从点B运动到点A

38、时，求内心M所经过的路径长【解析】（1）OPE的内心为M，MOPMOC，MPOMPE，PMO180°MPOMOP180°（EOP+OPE），PEOC，即PEO90°，PMO180°（EOP+OPE）180°（180°90°）135°，（2）如图，OPOC，OMOM，而MOPMOC，OPMOCM，CMOPMO135°，所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（和）；点M在扇形BOC内时，过C、M、O三点作O，连OC，OO，在优弧CO取点D，连DC，DO，CMO135°

39、，CDO180°135°45°，COO90°，而OA2cm，OOOC×2，弧OMC的长（cm），同理：点M在扇形AOC内时，同的方法得，弧ONC的长为cm，所以内心M所经过的路径长为2×cm14（2019兴化市模拟）正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQPA交CD边于点Q当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（）A2B1C4D【解析】如图，连接AC，设AC的中点为O设BP的长为xcm，CQ的长为ycm四边形ABCD是正方形，BC90°PQAP，APB+QPC90°APB+BAP

40、90°BAPQPCABPPCQ，即，yx2+x（x2）2+1（0x4）；当x2时，y有最大值1cm易知点M的运动轨迹是MOM，CQ最大时，MOCQ，点M的运动轨迹的路径的长为2OM1，故选：B15（2019武汉模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H设OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（）ABCD【解析】如图，连OI，PI，AI，OPH的内心为I，IOPIOA，IPOIPH，PIO180°IPOIOP180°（HOP+OPH），而PHOA

41、，即PHO90°，PIO180°（HOP+OPH）180°（180°90°）135°，又OPOA，OI公共，而IOPIOA，OPIOAI，AIOPIO135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作O，如图，连OA，OO，在优弧AO取点P，连PA，PO，AIO135°，APO180°135°45°，AOO90°，而OA2cm，OOOA×2，弧OA的长（cm），所以内心I所经过的路径长为 cm故选：B16（2017硚

42、口区模拟）如图，BC是O的直径，BC4，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且MON120°，ABC的内心为E点，当点A在上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是（）ABCD【解析】如图，连接BE、CE，BAC90°，E是内心，BEC135°，点E在以P为圆心的PC为半径的圆上运动（轨迹是），在P上取一点M，连接BM、CM，则M180°135°45°，BPC2M90°，BCP是等腰直角三角形，BC4，PBPC4，HPC2HBCNBCNOC，同理GPBMOB，HPC+GPB（NOC+MOB）30°，GPH60

43、6;，点E运动的路径长是，故选：B17（2020河北模拟）如图，在正方形ABCD中，AB1，P是边BC上的一个动点，由点B开始运动，运动到C停止连接AP，以AP为直角边向右侧作等腰直角三角形，另一个顶点为Q则点P从B运动到C的过程中，点Q的运动路径长为（）ABCD1【解析】如图，延长AD到M，使得DMAD，连接CM，则点Q运动轨迹是线段CM作QNBC于N，PAPQ，APQ90°，APB+QPN90°，QPN+PQN90°，APBPQN，在ABP和PNQ中，ABPPNQ，ABPNBC，PBNQ，PBCNQN，QCN45°，点Q在线段CM上，点Q的运动轨迹是

44、线段CM，CMCD故选：C18（2012南通）无论a取什么实数，点P（a1，2a3）都在直线l上Q（m，n）是直线l上的点，则（2mn+3）2的值等于16【解析】令a0，则P（1，3）；再令a1，则P（0，1），由于a不论为何值此点均在直线l上，设此直线的解析式为ykx+b（k0），解得，此直线的解析式为：y2x1，Q（m，n）是直线l上的点，2m1n，即2mn1，原式（1+3）216故答案为：1619（2018秋北仑区期末）如图，已知点C是以AB为直径的半圆的中点，D为弧AC上任意一点，过点C作CEBD于点E，连接AE，若AB4，则AE的最小值为【解析】连接OC、BC，P点为BC的中点，作PHAB于H，如图，点C是以AB为直径的半圆的中点，OCOB，BOC、BPH为等腰直角三角形，BCOB2，BP，PH1，CEBD，BEC90°，点E在P上，连接AP交P于E，此时AE的长为AE的最小值，