第13讲 新定义材料理解问题-备考2022年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版.doc

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1、硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点新定义材料理解问题，其特点是：(1) 创设新情境，赋予新内涵；(2) 试题呈现形式活泼新颖；(3) 一般取材于学生熟悉的生活实际，具有时代气息和教育价值这种问题一般都是先提供一种情景，或者一个解题思路，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料，然后要求大家自主探索，理解其内容、思想方法，把握本质，解答试题中提出的问题对于这类题求解步骤是“阅读分析理解创新应用”，其中最关键的是理解材料的作用和用意，一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力1. 涉及到定义知识的新情景

2、问题它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力解此类型题的步骤有三：(1)认真阅读，正确理解新定义的含义；(2)运用新定义解决问题；(3)得出结论2. 涉及到数学理论应用探究问题学习此类型题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤3. 涉及到日常生活中的实际问题处理此类问题需要结合生活实际将图形转化为数学图形，利用数学知识进行解答。【例题1】（2019遂宁）阅读材料：定

3、义：如果一个数的平方等于1，记为i21，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似例如计算：（4+i）+（62i）（4+6）+（12）i10i；（2i）（3+i）63i+2ii26i（1）7i；（4+i）（4i）16i216（1）17；（2+i）24+4i+i24+4i13+4i根据以上信息，完成下面计算：（1+2i）（2i）+（2i）27i【解析】（1+2i）（2i）+（2i）22i+4i2i2+4+i24i6ii26i+17i故答案为：7i【变式1-1】（2019湘西州）阅读材

4、料：设（x1，y1），（x2，y2），如果，则x1y2x2y1，根据该材料填空，已知（4，3），（8，m），且，则m6【解析】（4，3），（8，m），且，4m3×8，m6；故答案为6；【变式1-2】（2019娄底）已知点P（x0，y0）到直线ykx+b的距离可表示为d，例如：点（0，1）到直线y2x+6的距离d据此进一步可得两条平行线yx和yx4之间的距离为2【解析】当x0时，yx0，即点（0，0）在直线yx上，因为点（0，0）到直线yx4的距离为：d2，因为直线yx和yx4平行，所以这两条平行线之间的距离为2故答案为2【例题2】（2019重庆）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具

5、有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等现在我们来研究一种特殊的自然数“纯数”定义：对于自然数n，在通过列竖式进行n+（n+1）+（n+2）的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n为“纯数”例如：32是“纯数”，因为32+33+34在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为23+24+25在列竖式计算时个位产生了进位（1）请直接写出1949到2019之间的“纯数”；（2）求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由【解析】（1）显然1949至1999都不是“纯数”，因为在通过列竖式进行n+（n+1）+（n+2）的运算时要产生进位在2000

6、至2019之间的数，只有个位不超过2时，才符合“纯数”的定义所以所求“纯数”为2000，2001，2002，2010，2011，2012；（2）不大于100的“纯数”的个数有13个，理由如下：因为个位不超过2，十位不超过3时，才符合“纯数”的定义，所以不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100共13个【变式2-1】对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则

7、称正整数a是完全平方数若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m.【解析】（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，任意一个“极数”都是99的倍数，理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）百位数字为（9-x），千位数字为（9-y），四位数n为：1000（9-y）+100（9-x）+10y+x=9900-990y-99x=99（100-10y-x），x是0到9的整数，y是0到8的整数，100-10y-x是整数，99（100-10y-x）是99的倍数，即：任意一个“极数”都是99的倍数；

8、（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）m=99（100-10y-x），m是四位数，m=99（100-10y-x）是四位数，即100099（100-10y-x）10000，D（m）=3（100-10y-x），303（100-10y-x）303D（m）完全平方数，3（100-10y-x）既是3的倍数也是完全平方数，3（100-10y-x）只有36，81，144，225这四种可能，D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425.【例题3】（2019安顺）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（JNplcr，155

9、01617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，17071783年）才发现指数与对数之间的联系对数的定义：一般地，若axN（a0且a1），那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，比如指数式2416可以转化为对数式4log216，对数式2log525，可以转化为指数式5225我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（MN）logaM+logaN（a0，a1，M0，N0），理由如下：设logaMm，logaNn，则Mam，Nan，MNamanam+n，由对数的定义得m+nloga（MN）又m+nlogaM+logaNloga（MN）loga

10、M+logaN根据阅读材料，解决以下问题：（1）将指数式3481转化为对数式4log381；（2）求证：logalogaMlogaN（a0，a1，M0，N0）（3）拓展运用：计算log69+log68log622【解析】（1）4log381（或log3814），故答案为：4log381；（2）证明：设logaMm，logaNn，则Mam，Nan，amn，由对数的定义得mnloga，又mnlogaMlogaN，logalogaMlogaN；（3）log69+log68log62log6（9×8÷2）log6362故答案为：2【变式3-1】阅读下面的材料：如果函数yf（x）满足

11、：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1x2，都有f（x1）f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1x2，都有f（x1）f（x2），则称f（x）是减函数例题：证明函数f（x）（x0）是减函数证明：设0x1x2，f（x1）f（x2）0x1x2，x2x10，x1x200即f（x1）f（x2）0f（x1）f（x2）函数f（x）（x0）是减函数根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）+x（x0），f（1）+（1）0，f（2）+（2）（1）计算：f（3），f（4）；（2）猜想：函数f（x）+x（x0）是函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想【解析】（1）f（x

12、）+x（x0），f（3）3，f（4）4故答案为：，（2）43，f（4）f（3）函数f（x）+x（x0）是增函数故答案为：增（3）设x1x20，f（x1）f（x2）+x1x2（x1x2）（1）x1x20，x1x20，x1+x20，f（x1）f（x2）0f（x1）f（x2）函数f（x）+x（x0）是增函数【变式3-2】（2019张家界）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，an，一般地，如果

13、一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示如：数列1，3，5，7，为等差数列，其中a11，a23，公差为d2根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，的公差d为，第5项是（2）如果一个数列a1，a2，a3，an，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2a1d，a3a2d，a4a3d，anan1d，所以a2a1+da3a2+d（a1+d）+da1+2d，a4a3+d（a1+2d）+da1+3d，由此，请你填空完成等差数列的通项公式：ana1+（ ）d（3）4041是不是等差数列5，7，9的

14、项？如果是，是第几项？【解析】（1）根据题意得，d1055；a315，a4a3+d15+520，a5a4+d20+525，故答案为：5；25（2）a2a1+da3a2+d（a1+d）+da1+2d，a4a3+d（a1+2d）+da1+3d，ana1+（n1）d故答案为：n1（3）根据题意得，等差数列5，7，9的项的通项公式为：an52（n1），则52（n1）4041，解之得：n20194041是等差数列5，7，9的项，它是此数列的第2019项【例题4】（2019郴州）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y

15、图象与性质列表：x3210123y121012描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：点A（5，y1），B（，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“”，“”或“”）当函数值y2时，求自变量x的值；在直线x1的右侧函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3y4，求x3+x4的值；若直线ya与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围【解析】（1）如图所示：（2）

16、A（5，y1），B（，y2），A与B在y上，y随x的增大而增大，y1y2；C（x1，），D（x2，6），C与D在y|x1|上，观察图象可得x1x2；故答案为，；当y2时，x1时，有2，x1；当y2时，x1时，有2|x1|，x3或x1（舍去），故x1或x3；P（x3，y3），Q（x4，y4）在x1的右侧，1x3时，点P，Q关于x1对称，则有y3y4，x3+x42；由图象可知，0a2；【变式4-1】（2019江西）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图活动一如图3，将铅笔AB绕端点A顺时

17、针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合数学思考（1）设CDxcm，点B到OF的距离GBycm用含x的代数式表示：AD的长是cm，BD的长是cm；y与x的函数关系式是，自变量x的取值范围是活动二（2）列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格x（cm）6543.532.5210.50y（cm）00.551.21.58_2.4734.295.08_描点：根据表中数值，继续描出中剩余的两个点（x，y）连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象数学思考（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论【解析】（1）如图3中，由题意ACOAAB6（

18、cm），CDxcm，AD（6+x）（cm），BD12（6+x）（6x）（cm），故答案为：（6+x），（6x）作BGOF于GOAOF，BGOF，BGOA，y（0x6），故答案为：y，0x6（2）当x3时，y2，当x0时，y6，故答案为2，6点（0，6），点（3，2）如图所示函数图象如图所示（3）性质1：函数值y的取值范围为0y6性质2：函数图象在第一象限，y随x的增大而减小【例题5】（2019宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线（1）如图1，在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点求证：四边形ABEF是邻余四边形（2）

19、如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N若N为AC的中点，DE2BE，QB3，求邻余线AB的长【解析】（1）ABAC，AD是ABC的角平分线，ADBC，ADB90°，DAB+DBA90°，FAB与EBA互余，四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）ABAC，AD是ABC的角平分线，BDCD，DE2BE，BDCD3BE，CECD+DE5BE，EDF90&#

20、176;，点M是EF的中点，DMME，MDEMED，ABAC，BC，DBQECN，QB3，NC5，ANCN，AC2CN10，ABAC10【变式5-1】（2019扬州）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分別为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，），特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C请依据上述定义解决如下问题：（1）如图1，在锐角ABC中，AB5，T（AC，AB）3，则T（BC，AB）；（2）如图2，在RtABC中，ACB90°

21、;，T（AC，AB）4，T（BC，AB）9，求ABC的面积；（3）如图3，在钝角ABC中，A60°，点D在AB边上，ACD90°，T（AD，AC）2，T（BC，AB）6，求T（BC，CD），【解析】（1）如图1中，作CHABT（AC，AB）3，AH3，AB5，BH532，T（BC，AB）BH2，故答案为2（2）如图2中，作CHAB于HT（AC，AB）4，T（BC，AB）9，AH4，BH9，ACBCHACHB90°，A+ACH90°，ACH+BCH90°，ABCH，ACHCBH，CH6，SABCABCH×13×639（3）如图

22、3中，作CHAD于H，BKCD于KACD90°，T（AD，AC）2，AC2，A60°，ADCBDK30°，CDAC2，AD2AC4，AHAC1，DHADAH3，T（BC，AB）6，CHAB，BH6，DBBHDH3，在RtBDK中，K90°，BD3，BDK30°，DKBDcos30°，CKCD+DK2+，T（BC，CD）CK【变式5-2】（2019常州）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度（1）写出下列图形的宽距：半径为1的圆：；如图1，上方是

23、半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d若d2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；若点C在M上运动，M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上对于M上任意点C，都有5d8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围【解析】（1）半径为1的圆的宽距离为2，故答案为2如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是O上一点，连接OP，PC，OC在RtODC中，OCOP+OCPC，PC1+，这个“窗户形

24、“的宽距为1+故答案为1+（2）如图21中，连接AB、BC、CA所形成的图形是图中阴影部分S1和S2（分别以A、B为圆心，以AB为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的阴影部分即为点C所在的区域）点C所在的区域的面积为S1+S22如图22中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MTx轴于T对于M上任意点C，都有5d8，当d5时，AM6，AT4，此时M（41，2），当d8时，AM7，AT3，此时M（31，2），满足条件的点M的横坐标的范围为41x31当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为3+1x4+11（2019宜昌）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用

25、三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p，那么三角形的面积为S如图，在ABC中，A，B，C所对的边分别记为a，b，c，若a5，b6，c7，则ABC的面积为（）A6B6C18D【解析】a7，b5，c6p9，ABC的面积S6；故选：A2（2019深圳）定义一种新运算nxn1dxanbn，例如2xdxk2n2，若x2dx2，则m（）A2BC2D【解析】由题意得：m1（5m）12，2，5110m，m，故选：B3（2019柳州）定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i21），a称为复数的实部，b称为复数的虚部复数可以进行四则

26、运算，运算的结果还是一个复数例如（1+3i）212+2×1×3i+（3i）21+6i+9i21+6i98+6i，因此，（1+3i）2的实部是8，虚部是6已知复数（3mi）2的虚部是12，则实部是（）A6B6C5D5【解析】（3mi）2322×3×mi+（mi）296mi+m2i29+m2i26mi9m26mi，复数（3mi）2的实部是9m2，虚部是6m，6m12，m2，9m29（2）2945故选：C4（2019株洲）从1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作ak，bk）构成一个数组MKak，bk（其中k1，2S，且将ak，bk与bk，ak视为同一个数

27、组），若满足：对于任意的Miai，bi和Mjaj，bj（ij，1iS，1jS）都有ai+biaj+bj，则S的最大值（）A10B6C5D4【解析】1+10，1+21，1+43，1+23，1+45，2+46，ai+bi共有5个不同的值又对于任意的Miai，bi和Mjaj，bj（ij，1iS，1jS）都有ai+biaj+bj，S的最大值为5故选：C5（2019杭州）在平面直角坐标系中，已知ab，设函数y（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）AMN1或MN+1BMN1或MN+2CMN或MN+1DMN或MN1【解析】y（x+a）（x+b

28、），ab，函数y（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，M2，函数y（ax+1）（bx+1）abx2+（a+b）x+1，当ab0时，（a+b）24ab（ab）20，函数y（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N2，此时MN；当ab0时，不妨令a0，ab，b0，函数y（ax+1）（bx+1）bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N1，此时MN+1；综上可知，MN或MN+1故选：C6（2019常州）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.

29、5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）ABCD【解析】当t0时，极差y285850，当0t10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43；当10t20时，极差y2随t的增大保持43不变；当20t24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98；故选：B7（2019百色）阅读理解：已知两点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点K（x，y）的坐标公式为：x，y如图，已知点O为坐标原点，点A（3，0），O经过点A，点B为弦PA的中点若点P（a，b），则有a，b满足等式：a2+b29设B（m，n），则m，n满足的等式是（）Am2+n29B

30、（）2+（）29C（2m+3）2+（2n）23D（2m+3）2+4n29【解析】点A（3，0），点P（a，b），点B（m，n）为弦PA的中点，m，na2m+3，b2n又a，b满足等式：a2+b29，（2m+3）2+4n29故选：D8（2019温州）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BMBC，作MNBG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在几何原本中利用该图解释了（a+b）（ab）a2b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2若点A，L，G在同一直线上，则的

31、值为（） ABCD【解析】如图，连接ALGL，PF由题意：S矩形AMLDS阴a2b2，PH，点A，L，G在同一直线上，AMGN，AMLGNL，整理得a3b，故选：C9（2019湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（） A2BCD【解析】如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，由图形可知AMCFPEBPD，AMPB，PMAB，PM，AB，故选：D10

32、（2019宁夏）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x140即x（x+5）14为例加以说明数学家赵爽（公元34世纪）在其所著的勾股圆方图注中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x2那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x24x120的正确构图是（只填序号）【解析】x24x120即x（x4）12，构造如图中大正方形的面积是（x+x4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即

33、4×12+42，据此易得x6故答案为：11（2019孝感）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在九章算术中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计O的面积S，设O的半径为1，则SS13 【解析】O的半径为1，O的面积S，圆的内接正十二边形的中心角为30°，过A作ACOB，ACOA，圆的内接正十二边形的面积S112××1×3，则SS13，故答案为：312（2019常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形根据规定判断下面四个结论：正方形和

34、菱形都是广义菱形；平行四边形是广义菱形；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；若M、N的坐标分别为（0，1），（0，1），P是二次函数yx2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形其中正确的是（填序号）【解析】根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，正确；平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，错误；由给出条件无法得到一组对边平行，错误；设点P（m，m2），则Q（m，1），MP，PQ+1，点P在第一象限，m0，MP+1，MPPQ，又MNPQ，四边形PMNQ是广义菱形正确；故答案为；13（2019永州）我们知道

35、，很多数学知识相互之间都是有联系的如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15a0+a1x+a2x2+a15x15依上述规律，解决下列问题：（1）若s1，则a2105；（2）若s2，则a0+a1+a2+a15315【解析】（1）由图2知：（a+b）1的第三项系数为0，（a+b）2的第三项的系数为：1，（a+b）3的

36、第三项的系数为：31+2，（a+b）4的第三项的系数为：61+2+3，发现（1+x）3的第三项系数为：31+2；（1+x）4的第三项系数为61+2+3；（1+x）5的第三项系数为101+2+3+4；不难发现（1+x）n的第三项系数为1+2+3+（n2）+（n1），s1，则a21+2+3+14105故答案为：105；（2）（s+x）15a0+a1x+a2x2+a15x15当x1时，a0+a1+a2+a15（2+1）15315，故答案为：31514（2019湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFG

37、H内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是4 【解析】如图2中，连接EG，作GMEN交EN的延长线于M在RtEMG中，GM4，EM2+2+4+412，EG4，EH4，故答案为415（2019赤峰）阅读下面材料：我们知道一次函数ykx+b（k0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C0（A0，A、B、C是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C0的距离可用公式d计算例如：求点P（3，4）到直线y2x+5的距离解：y2x+52x+y50，其中A2，B1，C5点P（

38、3，4）到直线y2x+5的距离为：d根据以上材料解答下列问题：（1）求点Q（2，2）到直线3xy+70的距离；（2）如图，直线yx沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离【解析】（1）3xy+70，A3，B1，C7点Q（2，2），d点Q（2，2）到到直线3xy+70的距离为；（2）直线yx沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线为yx+2，在直线yx上任意取一点P，当x0时，y0P（0，0）直线yx+2，A1，B1，C2d，两平行线之间的距离为16（2019青海）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形

39、面积若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则S这是中国古代数学的瑰宝之一而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p（周长的一半），则S（1）尝试验证这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；（2）问题探究经过验证，你发现公式和等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从或者）；（3）问题引申三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式请你证明如下这个公式：如图，ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p，S为三角形面积，则Sp

40、r【解析】（1）由得：S10，由得：p10，S10；（2）公式和等价；推导过程如下：p，2pa+b+c，中根号内的式子可化为：（ab+）（ab）（2ab+a2+b2c2）（2aba2b2+c2）（a+b）2c2c2（ab）2（a+b+c）（a+bc）（c+ab）（ca+b）×2p×（2p2c）（2p2b）（2p2a）p（pa）（pb）（pc），；（3）连接OA、OB、OC，如图所示：SSAOB+SAOC+SBOCrc+rb+ra（）rpr17（2019重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程在画函数图象

41、时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象同时，我们也学习了绝对值的意义|a|结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y|kx3|+b中，当x2时，y4；当x0时，y1（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；（3）已知函yx3的图象如图所示，结合函数图象，直接写出不等式|kx3|+bx3的解集【解析】（1）在函数y|kx3|+b中，当x2时，y4；当x0时，y1，得，这个函数的表达式是y|x3|4；（2）y|x3|4，y，函数yx7过点（2，4）和点（4，1）；函数y1过点（0，1）和点（2，2）；该函数的图象如右图所示，性质是当x2时，y随x的增大而增