专题2 相似三角形的存在性问题探究-备战备考2022年中考数学压轴题专题研究.doc

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1、专题二：相似三角形的存在性问题探究知识梳理一、相似三角形的判定1. 两个角对应相等（简记“AA”）；2. 两边对应成比例，及其夹角相等（简记“SAS”）；3. 三条对应边成比例。（简记“SSS”）。二、相似三角形判定的基本模型图例剖析 （一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） （不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型） （平行） （不平行）（三）母子型 （四）一线三等角型：三、相似三角形动点问题解题步骤1. 化动为静2. 未知数表示线段长度3. 确定未知数取值范围4. 找相等角5. 分类讨论，写相似关系6. 写比例式7. 求解，检验四、模型应用：专题导例： 如图，在钝角三角形ABC中，AB

2、=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是（ ）A3秒或48秒 B3秒 C45秒 D45秒或48秒分析：设运动的时间为x秒，则AD=xcm，AE=（122x）cm，根据ADE和ABC相似可得：ADAB=AEAC或ADAC=AEAB，则x6=122x12或x12=122x6，解得：x=3或x=48解题方法： 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已

3、知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论. 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小.若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解. 科网典例精讲类型一：已知两定点来建构三角形与已知三角形相似例1如图，在平面直角坐标系中，抛物线ymx28mx+4m+2（m0）与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B、C（B在C的左边），直线ADx轴交抛物线于点D，x轴上有一动点E（t，0），过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、AD分别交于P、Q（1）求抛物

4、线的解析式，并直接写出点B、C的坐标；（2）当0t8时，求APC面积的最大值；（3）当t2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）把点A（0，3）代入ymx28mx+4m+2，求出m即可，令y0，得到x28x+120，解得x2或6，可得B（2，0）、C（6，0）；（2）分两种情形当0t6时，当6t8时，分别求解即可解决问题；（3）分两种情况讨论：当2t8时，AQt，PQ若AOBAQP，若AOBPQA，分别列出方程求解；当t8时，AQt，PQ若AOBAQP，若AOBPQA，分别列出方程求解即可；类型二：动点产生的三角形

5、相似问题例2.如图甲，在ABC中，ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s连接PQ，设运动时间为t（s）（0t4），解答下列问题：（1）设APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图乙，连接PC，将PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，当四边形PQPC为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，APQ是等腰三角形？分析：（1）过点P作PHAC于H，由APHABC，得出=，从而求出AB，再根据=，得出PH=3t，则AQP的面积为：AQPH=t（3t

6、），最后进行整理即可得出答案；（2）连接PP交QC于E，当四边形PQPC为菱形时，得出APEABC，=，求出AE=t+4，再根据QE=AEAQ，QE=QC得出t+4=t+2，再求t即可；（3）由（1）知，PD=t+3，与（2）同理得：QD=t+4，从而求出PQ=，在APQ中，分三种情况讨论：当AQ=AP，即t=5t，当PQ=AQ，即=t，当PQ=AP，即=5t，再分别计算即可专题训练1如图，直线y23x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，经过A，B的抛物线与x轴的另一个交点为C（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PBC周长的最小值及此时点P坐标；（3）在线段

7、AB上是否存在点Q，使ACQ与AOB相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2.如图，在RtABC中，C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P），当AP旋转至APAB时，点B、P、P恰好在同一直线上，此时作PEAC于点E（1）求证：CBP=ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP=5时，求线段AB的长3如图，RtABC中，ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0t103），连接MN

8、（1）若BMN与ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若ANCM，求t的值4如图，抛物线yax2+bx2经过点A（4，0），B（1，0）（1）求出抛物线的解析式；（2）点D是直线AC上方的抛物线上的一点，求DCA面积的最大值；（3）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由5（2019建昌县一模）如图，二次函数y=-12x2+bx+c与x轴交于点A（2，0）、与y轴交于点C（0，4），过点A的直线y=12x+1与抛物线的另一个交点为B，D是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析

9、式并直接写出顶点D的坐标；（2）如图1，点P是线段AB上方抛物线上一动点，求点P运动到什么位置时，ABP的面积最大，最大面积是多少？（3）如图2，设直线AB与y轴交于点E点M是直线AB上的一个动点（不与点A、B重合），当MEC与AOE相似时，请直接写出点M的坐标6.已知：如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于两个不同的点A（4，0），B（1，0），与y轴正半轴交于点C，tanCAB（1）求抛物线的解析式并验证点Q（1，3）是否在抛物线上；（2）点M是线段AC上一动点（不与A，C重合），过点M作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于点N，试判断当MN为最大值时，以MN为直径的圆与y轴的位置关系并说明

10、理由；（3）已知过点B的直线yx1交抛物线于另一点E，问：在x轴上是否存在点P，使以点P，A，Q为顶点的三角形与AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由参考答案例1解：（1）把点A（0，3）代入ymx28mx+4m+2，得34m+2，m，该抛物线解析式为：y；令y0，得到x28x+120，解得x2或6，B（2，0）、C（6，0）（2）设直线AC的解析式为：ykx+b，解得直线AC的解析式为：yx+3，设APC面积为S，要构成APC，显然t6，分两种情况讨论：设直线l与AC交点为F，P（t，）F（t，），当0t6时，PF，S，此时S最大值为：当6t8时，PF，S当

11、t3时，s随t的增大而增大，当t8时，S取最大值为：12综上可知，当0t8时，APC面积的最大值为12（3）连接AB，则AOB中，AOB90°，AO3，BO2，Q（t，3），P（t，），要构成APQ，显然t8，分两种情况讨论：当2t8时，AQt，PQ若AOBAQP，则AO：AQOB：QP，即3：t2：（），t0（舍），或t，若AOBPQA，则AO：PQOB：QA，即2：t3：（），t0（舍）或t2（舍），当t8时，AQt，PQ若AOBAQP，则AO：AQOB：QP，即3：t2：（），t0（舍），或t，若AOBPQA，则AO：PQOB：QA，即2：t3：（），t0（舍）或t14，综上所

12、述，满足条件的t的值为ts或s或14s例2.解：（1）如图甲，过点P作PHAC于H，C=90°，ACBC，PHBC，APHABC，=，AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm，=，PH=3t，AQP的面积为：S=×AQ×PH=×t×（3t）=（t）2+，当t为秒时，S最大值为cm2（2）如图乙，连接PP，PP交QC于E，当四边形PQPC为菱形时，PE垂直平分QC，即PEAC，QE=EC，APEABC，=，AE=t+4QE=AEAQt+4t=t+4，QE=QC=（4t）=t+2，t+4=t+2，解得：t=，04，当四边形PQPC为菱形时，t的值是

13、s；（3）由（1）知，PD=t+3，与（2）同理得：QD=ADAQ=t+4在APQ中，当AQ=AP，即t=5t时，解得：t1=；当PQ=AQ，即=t时，解得：t2=，t3=5；当PQ=AP，即=5t时，解得：t4=0，t5=；0t4，t3=5，t4=0不合题意，舍去，当t为s或s或s时，APQ是等腰三角形专题训练1（1）对于直线y23x+2，当x0时，y2；当y0时，x3A（3，0），B（0，2），由抛物线经过点A（3，0），C（1，0），B（0，2），所以可设抛物线的解析式为yax2+bx+c，代入A，B，C三点可得：9a+3b+c=0，a+b+c=0，c=2.，解得a=23，b=-83，c

14、=2.抛物线的解析式为y23x283x+2；（2）由抛物线的对称性得C的对称点为A，则直线AB与对称轴的交点P为所求，此时PBC的周长最小PAPC，PB+PCPB+PAABAB2OB2+OA222+3213，AB13，BC2OC2+OB21+45，BC5,PB+PC+BC13+5y23x283x+223（x2）223，由y=-23x+2，当x=2时，y=23点P的坐标为P（2，23）PBC周长最小为，此时点P的坐标为P（2，23）；（3）存在如图，过点C作x轴的垂线交AB于点Q1，此时Q1CABOA90°，Q1ACBAO，ACQ1AOB由y23x+2，当x1时，y43Q1（1，43）

15、；如图，过点C作CQ2AB于点Q2此时CQ2ABOA90°，Q2ACOABACQ2ABO过Q2作Q2MAC于点M则CMQ2Q2MACMQ2M=Q2MAM，即Q2M2CMAM设点Q2（x，23x+2），则CMx1，AM3x，Q2M23x+2（23x+2）2（x1）（3x），解得：x13（与A点重合，舍去），x22113，Q2（2113，1213）综上，存在点Q1（1，43），Q2（2113，1213）使ACQ与AOB相似2.解：（1）证明：AP是AP旋转得到，AP=AP，APP=APP，C=90°，APAB，CBP+BPC=90°，ABP+APP=90°，

16、又BPC=APP（对顶角相等），CBP=ABP；（2）证明：如图，过点P作PDAB于D，CBP=ABP，C=90°，CP=DP，PEAC，EAP+APE=90°，又PAD+EAP=90°，PAD=APE，在APD和PAE中，APDPAE（AAS），AE=DP，AE=CP；（3）解：=，设CP=3k，PE=2k，则AE=CP=3k，AP=AP=3k+2k=5k，在RtAEP中，PE=4k，C=90°，PEAC，CBP+BPC=90°，EPP+EPP=90°，BPC=EPP（对顶角相等），CBP=EPP，又BAP=PEP=90°

17、，ABPEPP，=，即=，解得PA=AB，在RtABP中，AB2+PA2=BP2，即AB2+AB2=（5）2，解得AB=103.解析：（1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm，BN=（82t）cm，BA=62+82=10（cm），当BMNBAC时，BMBA=BNBC，3t10=82t8，解得：t=2011；当BMNBCA时，BMBC=BNBA，3t8=82t10，解得：t=3223，BMN与ABC相似时，t的值为2011或3223；（2）过点M作MDCB于点D，由题意得：DM=BMsinB=3t610=95t（cm），BD=BMcosB=3t810=125t（cm），BM=3tcm，CN

18、=2tcm，CD=（8125t）cm，ANCM，ACB=90°，CAN+ACM=90°，MCD+ACM=90°，CAN=MCD，MDCB，MDC=ACB=90°，CANDCM，ACCN=CDDM，62t=8125t95t，解得t=13124（1）该抛物线过点A（4，0），B（1，0），将A与B代入解析式得：16a+4b-2=0，a+b-2=0.解得：a=-12，b=52.则此抛物线的解析式为y12x2+52x2；（2）如图，设D点的横坐标为t（0t4），则D点的纵坐标为12t2+52t2，过D作y轴的平行线交AC于E由题意可求得直线AC的解析式为y12x

19、2E点的坐标为（t，12 t2）DE12t2+52t2（12t2）12t2+2tSDAC12×（12t2+2t）×4t2+4t（t2）2+4则当t2时，DAC面积最大为4；（3）符合条件的点P为（2，1）或（5，2）或（3，14）存在，如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为12m2+52m2当1m4时，AM4m，PM12m2+52m2又COAPMA90°，当AMPM=AOOC=2时，APMACO，即4m2（12m2+52m2）解得：m2或m4（舍去），此时P（2，1）；当AMPM=OCOA12时，APMCAO，即2（4m）12m2+52m2解得：m4或m5（均

20、不合题意，舍去）当1m4时，P（2，1）；类似地可求出当m4时，P（5，2）；当m1时，P（3，14）综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，2）或（3，14）5.【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式；将二次函数解析式转化为顶点式，可以得到顶点D的坐标；（2）设与直线y=12x+1平行且相切的直线为PQ：y=12x+b，则点P为切点时所求三角形面积最大；（3）分两种情况讨论：当CMx轴时，MEC与AOE相似，当CMAB时，MEC与AOE相似，【解析】（1）二次函数y=-12x2+bx+c与x轴交于点A（2，0）、与y轴交于点C（0，4），-12×(-2)2-2b+c=0c=

21、4，解得b=1c=4，抛物线的解析式为：y=-12x2+x+4，顶点D的坐标为（1，92）（2）设与直线y=12x+1平行且相切的直线为PQ：y=12x+b，Q为PQ与x轴交点，H为PQ与y轴交点，过点A作AGPQ于点G，则当点P为切点时，ABP的面积最大，-12x2+x+4=12x+b，化简得：x2x+2b80，14（2b8）0，b=338x2x+2×338-80x1x2=12，点P坐标为（12，358）PQ解析式为：y=12x+338，Q（-334，0），又b=338，AQ=254，OQ=334，tanGQA=338334=12，sinGQA=GAAQ=GA254=15，GA=5

22、54，由y=-12x2+x+4y=12x+1解得x12，x23，B（3，52），AB=3-(-2)2+(52-0)2=552，SABP=12×AB×GA=12×552×554=12516点P运动到（12，358）时，ABP的面积最大，最大面积是12516（3）由y=12x+1得E（0，1）A（2，0）、C（0，4），OEOA=12，当CMx轴时，MEC与AOE相似，由OC4，OE1，可得CE3，CM6，即点M横坐标为6，代入y=12x+1得y3，M（6，4）；当CMAB时，MEC与AOE相似，由OEOA=12，CE3可得CM=655，EM=355，由面积

23、法可得Mx=65，M（65，85）当MEC与AOE相似时，点M的坐标为（6，4）或（65，85）.6解：（1）在RtAOC中，COA90°，AO4，tanCAB，OC2C（0，2）设抛物线的解析式为ya（x+4）（x1），将点C的坐标代入得：4a2，解得a，抛物线的解析式为y×（x2+3x4），即yx2x+2当x1时，y×（1）2×（1）+23点Q（1，3）在抛物线上（2）如图1所示：设直线AC的解析式为ykx+b，将点A、C的坐标代入得：，解得：k，b2直线AC的解析式为yx+2设点M的坐标为（m，m+2），则点N（m，m2m+2）MNm2m+2（m+

24、2）（m+2）2+2当m2时，MN的最大值为2以MN为直径的圆的半径为1又以MN为直径的圆的圆心到y轴的距离为2，以MN为直径的圆与y轴相离（3）如图3所示：过点E作EDx轴，垂足为D，过点Q作QFx轴，垂足为F将yx1与yx2x+2联立，解得：x6，y7或x1，y0，点E的坐标为（6，7）BDED7又EDB90°EBD45°同理QAF45°EBDQAF45°QAD135°，90°EAB135°点P只能在点A的右侧依据两点间的距离公式可知：EB7，AQ3，AB5当QAPABE时，则，即，解得AP，OP4当，AQPBEA时，则，即，解得：AP，OP5点P的坐标为：（，0）或（，0），