专题7 利用三边关系求线段和差或线段最值问题-备战备考2022年中考数学压轴题专题研究.doc

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1、专题七：利用三边关系求线段和差或线段最值问题模型讲解（1）定直线l上一动点与异侧两点所连线段之和最小来源:学,科,网Z,X,X,K说明：当PO为直线AB与l的交点时，此时PA+PB最小（2） 定直线l上一动点与同侧两点所连线段之和最小（将军饮马问题）当A、P、B三点共线的时候，PA+PB=AB，此时为最小值（两点之间线段最短）说明：作B关于l的对称点B，连接A B交l于点P，此时PA+PB最小【方法指引】：我们利用三角形三边关系来求解两点之间的最值问题，往往需要我们构造一个三角形，这个三角形是是有条件的，即“这个三角形有两条边为定值，另外一边为需要我们求的那条边” 说明：“化折为直”是我们解决

2、问题的根本（3）两定点A,B位于直线同侧，在直线上找一点P，使得|PA-PB|的值最大？【方法指引】连接AB并延长交直线于点p，所以当且仅当A，B，P三点共线时，|PA-PB|值最大。（4）两定点A,B位于直线异侧，在直线上找一点P，使得|PA-PB|的值最大？ 【方法指引】作点B关于直线的对称点B，因为BP=BP，所以当且仅当A，B，P三点共线时，|PA-PB|值最大。方法讲解线段和差是初中阶段比较重要的一类问题，在选择、填空、压轴题和相应解答题中都有出现过，那么在处理相应线段和差问题时，我们要学会找到相应知识解决问题，可以从以下模型来进行考虑有关线段差的最大值与线段和的最小值问题所涉及的原

3、理:（1） 两点之间线段最短；（2） 三角形的两边之和大于第三边（两线段和的最小值）；（3）三角形的两边之差小于第三边（两线段差的最大值）。典例剖析类型一：定直线上一动点与同侧两定点所连线段之和最小例1如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE2，AB8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值_【分析】连接DE，利用轴对称可知PB=PD，所以PBPE=EP+PD，在BEP中，利用三边关系，可知当点E，P，D在一条直线上时，PB+PE有最小值类型二：动态问题下构造三边关系来求最值例2如图，D在矩形ABCD中，AB4，BC6，E是边AD一个动点，将ABE沿BE对折成BEF，则线段DF长的最小值

4、为【分析】连接DF、BD，由DFBDBF知点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BDBF的长，再根据矩形和折叠的性质分别求得BD、BF的长即可类型三：定直线上一动点与同侧两定点所连线段之差最大例3.如图，抛物线yx2x+2的顶点为A，与y轴交于点B（1）求点A、点B的坐标；（2）若点P是x轴上任意一点，求证：PAPBAB；（3）当PAPB最大时，求点P的坐标【分析】（1）把抛物线解析式的一般式写成顶点式，可求顶点A坐标，令x0，y2，可得B点坐标；（2）当A、B、P三点共线时，PAPBAB，当三点不共线时，根据“三角形的两边之差小于第三边”可证结论；（3）通过分析可知，PAPB最大时，A

5、、B、P三点共线，求直线AB解析式，令y0，可得P点坐标类型四：定直线上一动点与异侧两定点所连线段之差最大例4.如图，在ABC中，ABAC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB12，BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PAPB的最大值为（ ）A. 12B. 8C. 6D. 2【分析】在MN上取点P，MN垂直平分AC，将PA、PB转到一个三角形中，利用三角形三边关系即可求得。专题突破1.如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）ABC9D2.如图，菱形ABCD的边长为6，ABC=120°

6、，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（）ABCD3.如图，在菱形ABCD中，AB6，ABC60º，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN2，点M在BC上且BMBC,P为对角线BD上一点，则PMPN的最大值为 .4.如图：两点A、B在直线MN外的同侧，AB5，A到MN的距离AC8，B到MN的距离BD5，P在直线MN上运动，则|PAPB|的最大值等于 5如图，ABC中，AB4，AC2，以BC为边在ABC外作正方形BCDE，连接BD、CE交于点O则线段AO的最大值是6.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，两顶点A，B分别在平面直角坐

7、标的x，y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则当OC为最大值时，点C的坐标为 7.如图，在ABC中，ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将BCP沿CP所在的直线翻折，得到BCP，连接BA，则BA长度的最小值是_.8.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边交轴于点，轴，反比例函数的图象经过点，点的坐标为，（1）求反比例函数的解析式；（2）点为轴上一动点，当的值最小时，求出点的坐标9如图，M、N是边长为6的正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AMBN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF（1）求证：DEBE；（2）判断DE与A

8、M的位置关系，并证明；（3）判断线段CF是否存在最小值？若存在，求出来，若不存在，说明理由10.如图，在ADC中，AD2，CD4，ADC是一个不固定的角，以AC为边向ADC的另一侧作等边三角形ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；11（2019西城区一模）如图，在ABC中，ABC90°，BABC将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF（1）求证：FBFD；（2）点H在边BC上，且BHCE，连接AH交BF于点N判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；连接CN若AB2

9、，请直接写出线段CN长度的最小值12.（2020·郯城县第三中学初三月考）如图，抛物线y=ax25ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BDx轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值专题七：利用三边关系求线段和差或线段最值问题答案例1.解：如图：连接DE交AC于点P，此时PDPB，PB+PEPD+PEDE为其最小值，四边形ABCD为正方形，且BE2，AB8，

10、 DAB90°，ADAB8，AEAB-BE6， 在RtADE中，根据勾股定理，得DE 10PB+PE的最小值为10例2如图，连接DF、BD，由图可知，DFBDBF，来源:学科网当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BDBF的长，四边形ABCD是矩形，ABCD4、BC6，BD=BC2+CD2=62+42=213，由折叠性质知ABBF4，线段DF长度的最小值为BDBF213-4，故答案为：213-4例3.（1）解：抛物线yx2x+2与y轴的交于点B，令x0得y2B（0，2）yx2x+2（x+2）2+3A（2，3）（2）证明：当点P是AB的延长线与x轴交点时，PAPBAB当点P在x

11、轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，在点P、A、B构成的三角形中，PAPBAB综合上述：PAPBAB（3）解：作直线AB交x轴于点P，由（2）可知：当PAPB最大时，点P是所求的点作AHOP于HBOOP，BOPAHP由（1）可知：AH3、OH2、OB2，OP4，故P（4，0）注：求出AB所在直线解析式后再求其与x轴交点P（4，0）等各种方法只要正确也相应给分例4.MN垂直平分AC，MAMC，又BMMCBC20，BMMAAB12，BC20128，在MN上取点P，MN垂直平分AC，如图所示，连接PA、PB、PC，PAPC，PAPBPCPB，在PBC中PCPBBC当P、B、C共线时（PCPB）有最

12、大值，此时PCPBBC8，故选B.专题突破答案1.解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P，四边形ABCD是正方形，点B与D关于AC对称，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE最小即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度直角CBE中，BCE=90°，BC=9，CE=CD=3，BE=故选A2.如图，连接DP，BD，作DHBC于H四边形ABCD是菱形，ACBD，B、D关于AC对称，PB+PM=PD+PM，当D、P、M共线时，PB+PM=DM的值最小，CM=BC=2，ABC=120°，DBC=ABD=60°，DBC是等边三角形，BC=6，CM=2，HM

13、=1，DH=，在RtDMH中，DM=，CMAD，=，PM= DM=故选A3.解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN',MN'，根据轴对称性质可知，PNPN'，PMPNPMPN'MN'，当P,M,N'三点共线时，取“”,在菱形ABCD中，AB6，ABC60º，AC6，O为AC中点，AOOC3，AN2，ON1，ON'1，CN'2，AN'4，CMABBM642，PMABCD，CMN'60º，N'CM60º，N'CM为等边三角形，CMMN'2，

14、即PMPN的最大值为2.4.解：延长AB交MN于点P，PAPBAB，AB|PAPB|，当点P运动到P点时，|PAPB|最大，BD5，CD4，AC8，过点B作BEAC，则BECD4，AEACBD853，AB5|PAPB|5为最大故答案为：55解：四边形BCDE为正方形，OBOC，BOC90°，把AOB绕点O顺时针旋转90°得到FOC，CFAB4，AOF90°，AOF为等腰直角三角形，OAAF，AC+CFAF（当且仅当A、C、F三点共线时取等号），AF的最大值为2+46，OA的最大值为3故答案为36.由E为AB的中点，当O，E及C共线时，OC最大，过C作CFx轴于F，

15、则CFO=90°，此时OE=BE=AB=1，由勾股定理得：CE=2，OC=1+2=3，即BE=CE，CBE=90°，ECB=30°，BEC=60°，AEO=60°，在RtAOB中，E为斜边AB中点，AE=OE，AOE等边三角形，AOE=60°，COB=90°-60°=30°，CF=OC=×3=，由勾股定理得：OF=，所以点C的坐标是（，）7.在RtABC中，由勾股定理可知：ACAB2-BC252-324，由轴对称的性质可知：BCCB3，当A、B、C三点在一条直线上时，BA有最小值，BAminAC

16、BC431故答案为：18.解：（1）是矩形，又轴，即把点 代入的得，反比例函数的解析式为：答：反比例函数的解析式为：（2）过点作垂足为，则点关于轴的对称点，直线与轴的交点就是所求点，此时最小，设直线AB1的关系式为，将 ,，代入得， 解得：，直线的关系式为，当时，点答：点的坐标为9（1）证明：在正方形ABCD中，ADAB，DAEBAE，又AE为公共边，DAEBAE（SAS），DEBE（2）结论：互相垂直理由：在正方形ABCD中，ADBCCD，ADCBCD90°，AMBN，RtADMRtBCN（HL），DAMCBN由（1）知DEBE，又CDCB，CE为公共边，DCEBCE（SSS），C

17、DECBEADF+CDEADC90°DAF+ADF90°DFA180°90°90°即DEAM（3）存在最小值如图，取AD的中点O，连接OF、OC，则OFDOAD3，在RtOCD中，OC，根据三角形的三边关系，OF+CFOC，当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值为OCOF10.在等边三角形ABC中，AB=BC，ABC=60°，如图，将ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到BCE，连接DE由旋转可得，CE=AD=2，BD=BE，DBE=60°，DBE是等边三角形，DE=BD，在DCE中，DEDC+CE=4+2=

18、6，当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，且最大值为6，BD的最大值为6；11（1）证明：如图1中，BABC，ABC90°，BACACB45°，线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，BAD90°，BAAD，FADFAB45°，AFAF，FADFAB（SAS），BFDF（2）结论：AHBF，理由：如图2中，连接CDABC+BAD180°，ADBC，ADABBC，四边形ABCD是平行四边形，ABC90°，四边形ABCD是矩形，ABBC，四边形ABCD是正方形，BACD，ABHDCE，BHCE，ABHDCE（SAS），BA

19、HCDE，FCDFCB45°，CFCF，CDCB，CFDCFB（SAS），CDFCBF，BAHCBF，CBF+ABF90°，BAH+ABF90°，ANB90°，AHBF如图3中，取AB的中点O，连接ON，OCANN90°，AOOB，ON=12AB1，在RtOBC中，OC=12+22=5，CNOCON，CN51，CN的最小值为5112.（1）把A（3，0），C（0，4）代入y=ax25ax+c得，解得，抛物线解析式为y=x2+x+4；AC=BC，COAB，OB=OA=3，B（3，0），BDx轴交抛物线于点D，D点的横坐标为3，当x=3时，y=&#

20、215;9+×3+4=5，D点坐标为（3，5）；（2）在RtOBC中，BC=5，设M（0，m），则BN=4m，CN=5（4m）=m+1，MCN=OCB，当时，CMNCOB，则CMN=COB=90°，即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；当时，CMNCBO，则CNM=COB=90°，即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）；（3）连接DN，AD，如图，AC=BC，COAB，OC平分ACB，ACO=BCO，BDOC，BCO=DBC，DB=BC=AC=5，CM=BN，ACMDBN，AM=DN，AM+AN=DN+AN，而DN+ANAD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），DN+AN的最小值=，AM+AN的最小值为