专题34第7章圆之四点共圆备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）.doc

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1、34第7章圆之四点共圆一、单选题1下列长度的三根木棒首尾依次相接，不能搭成三角形框架的是（ ）A，B，C，D，【答案】C【分析】结合三角形满足的三角形满足的规律是两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，依次分析各个选项 ，选出正确答案.【详解】A选项中，5+6>7可以构成三角形；B选项中，3+7>8，能够构成三角形；C选项中4+3=7不能构成三角形；D选项中2+4>5,能够构成三角形.故选C.【点睛】考查三角形构成规则，抓住三角形满足的规律是两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，难度较容易.2如图，四边形内接于，为中点，则等于（ ）ABCD【答案】A【分析】根据，为中点求出

2、CBD=ADB=ABD，再根据圆内接四边形的性质得到ABC+ADC=180°，即可求出答案【详解】为中点，,ADB=ABD，AB=AD，CBD=ADB=ABD，四边形内接于，ABC+ADC=180°，3ADB+60°=180°，=40°，故选：A【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补3如图，圆上有、四点，其中，若弧、弧的长度分别为、，则弧的长度为（ ）ABCD【答案】C【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得，然后根据圆周角定理可得弧所对圆心角的度数，最后根据

3、弧长的定义即可得【详解】弧、弧的长度分别为、圆的周长为（圆内接四边形的对角互补）弧所对圆心角的度数为则弧的长度为故选：C【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键4如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得DAC=ACD如图3，将ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED则BE的长是（ ）A1BCD【答案】A【分析】只要证明，得，求出、即可解决问题【详解】解：，即，、四点共圆，故选：【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质

4、等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题二、填空题5如图，四边形ABCD是O的内接四边形，若O半径为4，且C2A，则的长为_【答案】4【分析】连接OB，OD，利用内接四边形的性质得出A=60°，进而得出BOD=120°，利用含30°的直角三角形的性质解答即可【详解】连接OB，OD，过O作OEBD，四边形ABCD是O的内接四边形，C=2A，C+A=3A=180°，解得：A=60°，BOD=120°，在RtBEO中，OB=4，BE=2，AC=4，故答案为：4【点睛

5、】此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出A=60°6如图，正五边形 ABCDE内接于O，连接BE，则ABE的度数为_度.【答案】36【分析】由正五边形的性质可知ABE是等腰三角形，求出A的度数即可解决问题【详解】在正五边形ABCDE中，A×（52）×180108°，ABAE，ABEAEB（180°108°）36°故答案为36【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单7如图，在矩形ABCD中，AB9，AD6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线

6、上且CE1.5，连接OE，过点O作OFOE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则_【答案】【分析】作OMCD于M，ONBC于N，根据三角形中位线定理分别求出OM、ON，根据勾股定理求出OE，根据相似三角形的性质求出FN，得到FC的长，证明GFCGOE，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案【详解】解：作OMCD于M，ONBC于N，四边形ABCD为矩形，D=90°，ABC=90°，OMAD，ONAB，点O为AC的中点，OM=AD=3，ON=AB=4.5，CM=4.5，CN=3，CE=1.5，ME=CM+CE=6，在RtOME中，OE=3，MON=

7、90°，EOF=90°，MOE+NOE=NOF+NOE=90°，MOE=NOF，又OME=ONF=90°，OMEONF，即，解得，FN=9，FC=FN+NC=12，FOE=FCE=90°，F、O、C、E四点共圆，GFC=GOE，又G=G，GFCGOE，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键8如图，正方形中，点为上一点，且，点为边上一动点，连接，过点作，交射线于点，连接，点为中点，连接，则的最小值为_【答案】【分析】由已知可得AE=3，DE=6，又AB=9，

8、由勾股定理得BE=，由，M为PF中点，可知M为四边形BFEP外接圆的圆心，BE为圆M的弦，故圆心M在线段BE的垂直平分线上，作线段BE的垂直平分线GH交BE于G，交CD于H，过点D作于M，此时的线段DM即为所求最小值，过点E作于N，则四边形EGMN为矩形，可得，GE=MN，可证，可得，代入数据得：DN=，又MN=EG=，可得DM的长度【详解】，AD=AB=9，AE=3，DE=6，又AB=9，BE=，B、F、E、P四点共圆，且PF为直径，M为PF中点，M为四边形BFEP外接圆的圆心，E、B为定点，BE为圆M的弦，圆心M在线段BE的垂直平分线上，如下图，作线段BE的垂直平分线GH交BE于G，交CD

9、于H，过点D作于M，此时的线段DM即为所求最小值，过点E作于N，则四边形EGMN为矩形，GE=MN,，又，即，解得：DN=，BE=，EG= ，MN=，DM=DN+MN=+=【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆的对称性，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理及其逆定理确定四点共圆是解题的关键三、解答题9如图，等腰RtABC中，ACB90°，D为BC边上一点，连接AD（1）如图1，作BEAD延长线于E，连接CE，求证：AEC45°；（2）如图2，P为AD上一点，且BPD45°，连接CP若AP2，求APC的面积；若AP2BP，直接写出sinACP的值为_【答案】（1）

10、证明见解析；（2）APC的面积1；【分析】（1）由题意可证点A，点B，点E，点C四点共圆，可得AECABC45°；（2）通过证明APBCEB，可求CE，由等腰直角三角形的性质可求CF1，即可求解；过点B作BEAD，交AD的延长线于点E，过点C作CFAD于F，过点P作PHAC于H，设AP2a，则BPa，可得CEa，CFEFa，BEPEa，由勾股定理可求AC2，CP2，利用面积法可求PH2，即可求解【详解】证明：（1）等腰RtABC中，ACB90°，ACBC，ABCCAB45°，ABBC，BEAD，AEB90°ACB，点A，点B，点E，点C四点共圆，AECA

11、BC45°；（2）如图2，过点B作BEAD，交AD的延长线于点E，过点C作CFAD于F，BPD45°，BEAD，PBE45°ABC，ABPCBE，AEB90°ACB，点A，点B，点E，点C四点共圆，BAEBCE，AECABC45°，APBCEB，CE，CFAD，AEC45°，FCECEF45°，CFEFCE1，APC的面积×AP×CF1；如图，过点B作BEAD，交AD的延长线于点E，过点C作CFAD于F，过点P作PHAC于H，设AP2a，则BPa，由可知，CEa，CFEFa，BPa，BPE45°

12、，BEP90°，BEPEa，AFAEEF2a+aaa+a，PFaa，CP2CF2+PF2a2+（aa）2a2a2，AC2AF2+CF2a2+（a+a）2a2+a2，SACP×AC×PH×AP×CF，（ACPH）2（APCF）2，PH2a2，（sinACP）2，sinACP，故答案为：【点睛】本题是三角形综合题，考查了四点共圆，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键10在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动

13、，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E F运动时间为t秒回答下列问题：(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于cm?(2)如图2，在点E、F运动过程中，求证：点A、B、F、P在同一个圆(O)上；是否存在这样的t值，使得问题中的O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；请直接写出问题中，圆心O的运动的路径长为_【答案】（1）t=4或8；（2）证明见解析；存在，t=3或12；6cm【分析】（1）由题意易得DE=CF=t，则有EC=12-t，然后利用勾股定理求解即可；（2）

14、由题意易证ADEDCF，则有CDF=DAE，然后根据平行线的性质可得APF=90°，进而可得B+APF=180°，则问题得证；由题意可知当O与正方形ABCD的一边相切时，可分两种情况进行分类讨论求解：一是当圆与AD相切时，一是当圆与边DC相切时；由动点E、F在特殊位置时得出圆心O的运动轨迹，进而求解即可【详解】解：（1）由题意易得：DE=CF=t，四边形ABCD是正方形，AB=CD=BC=AD=12cm，C=B=ADC=DAB=90°， EC=12-t， EF的长等于cm，在RtCEF中，即解得；（2）由（1）可得AB=CD=BC=AD=12cm，C=B=ADC=

15、DAB=90°，DE=CF=t，ADEDCF，CDF=DAE，CDF+PDA=90°，DAE+PDA=90°，ADP=APF=90°，APF+B=180°，由四边形APFB内角和为360°可得：PAB+PFB=180°，点A、B、F、P在同一个圆(O)上；由题意易得：当O与正方形ABCD的一边相切时，只有两种情况；a、当O与正方形ABCD的边AD相切时，如图所示：由题意可得AB为O的直径，t=12；b、当O与正方形ABCD的边DC相切于点G时，连接OG并延长交AB于点M，过点O作OHBC交BC于点H，连接OF，如图所示：OG

16、DC，GMAB，HF=HB，四边形OMBH、GOHC是矩形，OH=BM=GC，OG=HC，AB=BC=12cm，OH=6，CF=t，BF=12-t，在RtFOH中，即，解得：；综上所述：当或t=12时，O与正方形ABCD的边相切；由（1）（2）可得：当点E与点D重合及点F与点C重合时，圆心在正方形的中心上；当点E与点C重合及点F与点B重合时，圆心在AB的中点上，故圆心的运动轨迹为一条线段，如图所示：OP即为圆心的运动轨迹，即OP=6cm故答案为6cm【点睛】本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类讨论思想解决问题11已知为锐角的高，为中点，于点，延长至，使得（1

17、）证明：；（2）证明：；（3）若，求四边形的面积【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）通过得A，D，F，C四点共圆，得到，结合，证得；（2）通过，证得；（3）利用勾股定理求得AD，BD，CD，在中，求出DE，AE，得出，借助，求得，再用，得到，最后【详解】解：（1）四点共圆又（2）由（1）又即 （3）中，而同理利用得到【点睛】本题考查了四点共圆的判断，圆内接四边形的性质，圆周角定理的应用，相似三角形的证明，不规则图形的面积的求法，熟练掌握其中的联系，是解题的关键12四边形内接于圆，连接(1)求证：； (2)求证：； (3)如图 2，点是上一点，连接并延长交的延长线于点，连接交

18、圆于点，求的长【答案】(1) 见解析； (2) 见解析；(3) 【分析】（1）根据题意可得，根据圆的内接四边形对角互补即可得证；（2）过点作交延长线于点P，易证BDP为等腰直角三角形，通过“角边角”证明，则，进而可得证；（3）连接，过点作交延长线于点，延长点，使，连接，易证，设则，整理可得，根据题意得到相关线段的长，在R中根据勾股定理可得，根据圆周角定理可得，得到，进而求得CG的长，最后得到答案.【详解】解：，；过点作交延长线于点P，（ASA），；连接，过点作交延长线于点，延长点，使，连接，易证，设则，在R中根据勾股定理可得，即，.【点睛】本题主要考查圆的综合问题，全等三角形的判定与性质，相似

19、三角形的判定与性质，综合性较强，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，构造适当辅助线帮助解题.13已知：内接于，过点作的切线，交的延长线于点，连接 （1）如图1，求证：；（2）如图2，过点作于点，连接，交于点，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，点为上一点，过点的切线交的延长线于点，连接，交的延长线于点，连接，点为上一点，连接，若，求的长【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【分析】（1）延长BO交于G，连接CG，根据切线的性质可得可证DBCCBG=90°，然后根据直径所对的圆周角是直角可证CBGG=90°，再根据圆的内接四边形的性质可得DAB=G，从而证出结论；（

20、2）在MB上截取一点H，使AM=MH，连接DH，根据垂直平分线性质可得DH=AD，再根据等边对等角可得DHA=DAH，然后根据等边对等角和三角形外角的性质证出ABC=C，可得AB=AC，再根据垂直平分线的判定可得AO垂直平分BC，从而证出结论；（3）延长CF交BD于M，延长BO交CQ于G，连接OE，证出tanBGE=tanECF=2，然后利用AAS证出CFNBON，可设CF=BO=r，ON=FN=a，则OE=r，根据锐角三角函数和相似三角形即可证出四边形OBPE为正方形，利用r和a表示出各线段，最后根据，即可分别求出a和CF【详解】解：（1）延长BO交于G，连接CGBD是的切线OBD=90&#

21、176;DBCCBG=90°BG为直径BCG=90°CBGG=90°DBC=G四边形ABGC为的内接四边形DAB=GDAB=DBC（2）在MB上截取一点H，使AM=MH，连接DHDM垂直平分AHDH=ADDHA=DAH，AD=BHDH=BHHDB=HBDDHA=HDBHBD=2HBD由（1）知DAB=DBCDHA=DAB=DBCDBC =2HBDDBC =HBDABCHBD=ABC，DBC=2ABCDAB=2ABCDAB=ABCCABC=CAB=AC点A在BC的垂直平分线上点O也在BC的垂直平分线上AO垂直平分BC（3）延长CF交BD于M，延长BO交CQ于G，连接

22、OE， DMC=90°OBD=90°DMC=OBDCFOBBGE=ECF，CFN=BON，tanBGE=tanECF=2由（2）知OA垂直平分BCCNF=BNO=90°，BN=CNCFNBONCF=BO，ON=FN，设CF=BO=r，ON=FN=a，则OE=rOQ=2aCFOBQGOQCF即OG=过点O作OEBG，交PE于EOE=OG·tanBGE=r=OE点E与点E重合EOG=90°BOE=90°PB和PE是圆O的切线OBP=OEP=BOE=90°，OB=OE=r四边形OBPE为正方形BOE=90°，PE=OB=

23、rBCE=BOE=45°NQC为等腰直角三角形NC=NQ=3a，BC=2NC=6a在RtCFN中，CF=PQBCPQE=BCGPEBGPEQ=BGCPQEBCG即解得：PQ=4a，4a2a=解得：a=CF=10【点睛】此题考查的是圆的综合大题，难度较大，掌握圆的相关性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、正方形的判定及性质是解决此题的关键14如图，等腰三角形ABC中，BAC=120°，AB=3（1）求BC的长（2）如图，点D在CA的延长线上，DEAB于E，DFBC于F，连EF求EF的最小值【答案】（1）BC=；（

24、2）EF的最小值为【分析】（1）过点A作AMBC于点M，根据等腰三角形的性质得B=30°，BM=CM，由直角三角形的性质得BM=，进而即可求解；（2）连接BD，取BD的中点O，连接OE，OF，易得B，D，E，F四点共圆，从而得OEF是等边三角形，进而得EF=BD，由BDCD时， BD的值最小，进而即可求解【详解】（1）过点A作AMBC于点M，等腰三角形ABC中，BAC=120°，AB=3，B=(180°-120°)÷2=30°，BM=CM，BM=3÷2×=，BC=2 BM=2×=3；（2）连接BD，取BD

25、的中点O，连接OE，OF，DEAB于E，DFBC于F，在RtBDF与RtBDE中，OB=OD=OE=OF=BD，B，D，E，F四点共圆，EOF=2EBF=2×30°=60°，OEF是等边三角形，EF=OF=BD，C=EBF =30°，当BDCD时，BD=BC=，此时，BD的值最小，EF的最小值=BD =×=【点睛】本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形，直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造四边形的外接圆，是解题的关键15如图1，抛物线经过原点，两点（1）求的值；（2）如图2，点是第一象限内抛物线上一点，连接，若，求点的坐标；（3）如图3，在（

26、2）的条件下，过点的直线与轴交于点，作，连接交抛物线于点，点在线段上，连接、，交于点，若，求点的坐标【答案】（1）；（2）点，；（3）点，【分析】（1）根据待定系数法，即可得到答案；（2）过点作于点，设点，结合，列出关于m的方程，即可求解；（3）连接，易得直线解析式为：，点，根据三角形内角和定理与外角的性质，得点，点，点，点四点共圆，从而得，进而得点，过点，点，点，点四点的圆的圆心，设点，根据两点间的距离公式，列出关于a，b的方程，得，可得直线解析式为：，进而即可得到点Q的坐标【详解】（1）抛物线经过原点，两点，；（2）如图2，过点作于点，抛物线解析式为：点是第一象限内抛物线上一点，设点，点，

27、；（3）连接，直线过点，直线解析式为：，当，点，且，点，点，点，点四点共圆，设点，点设过点，点，点，点四点的圆的圆心，设点，由组成方程组可求：，设直线解析式为：，且过点，直线解析式为：，（不合题意舍去），点，【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数以及几何图形的综合，掌握圆的内接四边形的性质以及两点间的距离公式，是解题的关键16定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角已知四边形是圆美四边形 （1）求美角的度数；（2）如图1，若的半径为5，求的长；（3）如图2，若平分，求证：【答案】（1）60°；（2）；（3）见解析【分析】（1）根据美角的定义可得，然

28、后根据圆内接四边形的性质即可求出结论；（2）连接DO并延长，交与点E，连接BE，根据同弧所对的圆周角相等可得E=A=60°，然后根据直径所对的圆周角是直角可得DBE=90°，最后利用锐角三角函数即可求出结论；（3）延长CB至F，使BF=DC，连接AF、BD，先证出ABD为等边三角形，然后利用SAS证出ABFADC，从而得出AF=AC，F=DCA=60°，再证出ACF为等边三角形，利用等边三角形的性质和等量代换即可得出结论【详解】解：（1）根据题意可得：，而AC=180°A=60°（2）连接DO并延长，交与点E，连接BEE=A=60°D

29、E为的直径，的半径为5，DBE=90°，DE=10在RtDBE中，BD=DE·sinE=10×=；（3）延长CB至F，使BF=DC，连接AF、BD由（1）可知：BAD=60°，BCD=2BAD=120°平分，BCA=DCA=60°ABD=DCA=60°ADB=180°ABDBAD=60°ABD为等边三角形AB=AD根据圆内接四边形的性质可得ABF=ADC在ABF和ADC中ABFADCAF=AC，F=DCA=60°FAC=180°FACF=60°ACF为等边三角形CF=ACBC

30、BF=ACBCCD=AC【点睛】此题考查的是新定义类问题、圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、锐角三角函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质，掌握新定义、圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、锐角三角函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键17（1）已知求xy的值。（2）如图，一块半径为a+b的圆形钢板，从中挖去半径分别为a与b的两个圆。求剩下的钢板的面积。若a=0.625cm, b=1.6cm,那么剩下的钢板面积为多少呢？（结果用表示）【答案】（1）；（2）；.【分析】（1）根据完全平方公式将两式展开，然后作差即可求出xy；（2）用大圆面积减去两个

31、小圆面积即可；将a=0.625cm, b=1.6cm代入中代数式即可.【详解】解：（1）得：；（2）一块半径为a+b的圆形钢板，从中挖去半径分别为a与b的两个圆剩下的钢板的面积为：将a=0.625cm, b=1.6cm代入中得：cm2答：剩下的钢板面积为cm2.【点睛】此题考查的是完全平方公式变形、用代数式表示圆的面积和求代数式的值，掌握完全平方公式和圆的面积的求法是解决此题的关键.18如图所示中，分别在边和上，且，垂足分别为，求的长.【答案】【解析】本题关键要建立未知线段和已知线段的关系，由，共圆，和为直径，于是在中便可以建立和的关系，求出的长即求出的长.【详解】连结，由圆的定义知点，在以为圆心，为半径的圆上，作出辅助圆，延长交圆于，连结， 在中， 【点睛】双直角三角形是典型的共圆图，解题中注意灵活应用.