专题49：第10章规律问题之算式变化类-备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）.doc

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1、49第10章规律问题之算式变化类一、单选题1a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数如：3的差倒数是，的差倒数是已知，是的整倒数，是的差倒数，是的差倒数，依此类推，则为（ ）A2B1CD【答案】A【分析】可根据差倒数的定义依次计算出a2、a3、a4，即可发现每3个数为一个循环，然后用2020除以3，即可得出答案【解答】解：已知，a1的差倒数；a2的差倒数；a3的差倒数；依此类推，2020被3除，结果为2020=3×673+1，被3除余1，所以，a2020=a1=2故选：A【点评】本题考查用代数式表示的新定义下，规律探索问题，关键是通过部分的有理数运算后，发现规律22020减去它的，再

2、减去余下的，再减去余下的，.依此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（）AB1CD0【答案】B【分析】根据题意，可列式2020×（1）×（1）×（1）××（1），先算括号里的减法，再约分即可【解答】解：2020×（1）×（1）×（1）××（1）2020××××1故选：B【点评】此题考查有理数的混合运算，首先要根据题意列式，总结规律是解题的关键3（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1的计算结果的个位数字是（）A8B6C4D2【答案

3、】B【分析】原式变形后，利用平方差公式计算得到结果，归纳总结即可确定出结果的个位数字【解答】解：原式（21）（2+1）（22+1）（24+1）（216+1）+1（221）（22+1）（24+1）（216+1）+1（241）（24+1）（216+1）+12321+1232，212，224，238，2416，2532，其结果个位数以2，4，8，6循环，32÷48，原式计算结果的个位数字为6，故选：B【点评】本题主要考查了平方差公式的应用，准确计算是解题的关键4一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度

4、，依此规律跳下去，当它第2019次落下时，落点表示的数是（ ）A2019B2022C-2022D1010【答案】B【分析】设向右跳动为正，向左跳动为负，根据题意把所有的数字相加即可得到结果；【解答】解：设向右跳动为正，向左跳动为负，由题意可得 ，故选：B【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，准确计算是解题的关键5如图为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（其中为正整数）展开式的系数，例如：，那么展开式中前四项的系数分别为（ ）A1，5，6，8B1，5，6，10C1，6，15，18D1，6，15，20【答案】D【分析】由（a+b）=a+b，可得的各项展开式的系数除首尾两项都是1

5、外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和，由此可得的各项系数依次为1、4、6、4、1；的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；因此的系数分别为1、6、15、20、15、6、1【解答】解：由杨辉三角系数表可以发现：展开式中各项的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的展开式中相邻两项系数的和，则展开式的各项系数依次为1,4,6,4,1；展开式的各项系数依次为1,5,10,10,5,1；则展开式的各项系数依次为1,6,15,20,15,6,1，前四项的系数分别为1,6,15,20故选D【点评】本题考查了与完全平方公式相关的系数类的变化规律，读懂题意并根据所给的式子寻找系数之间的规律，是快速

6、解题的关键6观察式子：，根据你发现的规律，计算的结果是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据题意找到规律：即可求解【解答】，【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，规律型数字变化类此题将求的值的问题运用规律转化为求的问题是解题的关键7已知的面积为，连接各边中点构成第一个三角形，再连接这个新三角形的各边中点得到第2个三角形依此类推，则第100个三角形的面积为（ ）ABCD【答案】C【分析】利用相似三角形性质先求出第一个三角形面积2，再求第二个三角形依次为，2-2n+3，然后求出当n=100即可【解答】如图所示：点D、E、F是ABC各边的中点，DEBC，且DE=BC,同理EF=AB，DF=AC，AB

7、CFED，SABC：SFED=AB2：EF2=4：1，SABC=8cm2，SFED= SABC =2，称为S1，由此S2=S1=×2=，S3=2=21, =2-1,=2-32-2n+3，当n=100时，S100=2-197=故选：C【点评】本题考查相似三角形各边中点围成的三角形面积，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是关键8已知，则（ ）A2022B4039C6060D8079【答案】C【分析】先由已知等式,得出规律:,则,将代入,即可求出结果【解答】解：时,故选:C【点评】此题主要考查了规律型:数字的变化类及有理数的混合运算,解题时首先观察,分析归纳出题目中隐含的规律,然后利用

8、规律把题目变形,从而使计算变得比较简便9计算：的结果是（ ）ABCD【答案】B【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案【解答】解：原式= = =故选：B【点评】本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键10下面是按一定规律排列的一列数：第 个数：；第 个数：；第 个数：；第 个数：；那么在第 个数、第 个数、第 个数、第 个数中，最大的数是 ( )A第 个数B第 个数C第 个数D第 个数【答案】A【分析】根据有理数的计算，计算第1个数、第2个数、第3个数等，总结第n个数的规律即可得出答案【解答】解：第

9、 个数：；第 个数：；第 个数：；第 个数：；n越大，第n个数越小故选：A【点评】本题考查有理数的计算，掌握数的规律是解题的关键二、填空题11有一组单项式依次为，根据它们的规律，第个单项式为_【答案】【分析】根据它们的规律得出第n个单项式为，据此可得答案【解答】解：一组单项式依次为：，根据它们的规律，第n个单项式为：，第8个单项式为，故答案为：【点评】本题考查了规律型数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律12有一组多项式：，.，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n个多项式为_【答案】【分析】由题意可观察出规律为：b的指数是a的指数的两倍，奇数为和，偶数为差，由此可得第n个

10、多项式【解答】解：第1个多项式为：，第2个多项式为：，第3个多项式为：，第4个多项式为：，第n个多项式为：；故答案为【点评】本题主要考查整式的规律，关键是根据题目所给规律能用整式进行概括即可13探索规律并填空：，_【答案】【分析】由等式可以看出：分子是1，分母是连续两个自然数的乘积，结果等于分子是1，分母是这两个自然数的分数差由此规律得出答案即可【解答】根据题意得：故答案为：【点评】本题考查了数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题14一列单项式按以下规律排列，第2020个单项式为_1，-3x，5x2，-7x3，9x4，-11x5【答案】【分析】可从三方面观察，一是符号的变化，

11、二是单项式系数的绝对值变化规律，三是单项式次数变化，从观察中找到规律得出答案【解答】单项式系数排列规律：1，-3,5，-7,9，-11从符号看，一正一负重复，第2020个单项式符号为“-”； 单项式系数的绝对值逐个递增2，第2020个单项式绝对值是：；从单项式的次数观察发现，递增1，第2020个单项式次数为2019；故答案为：【点评】本题考查单项式的规律问题，从单项式的系数、次数分析排列规律是解题关键15计算：_【答案】【分析】通过计算每四项运算结果可知，每四项结果为，2012÷4=503，正好为4的倍数，从而得出结论【解答】，即每四项结果为，2012÷4=503，故答案为

12、：【点评】本题考查了规律型数字的变化类，有理数的混合运算，解题的关键是：发现每四项结果相同且为16已知S1a+1（a不取0和1），S2，S3，S4，按此规律，请用含a的代数式表示S2020_【答案】a+1【分析】先根据题意计算S2、S3、S4，进而可得规律，再根据规律解答即可【解答】解：S1a+1（a不取0和1），S2，S3，S4，上述规律是每3个一次循环，2020÷3=6731，S2020a+1故答案为：a+1【点评】本题考查了代数式的变化规律和分式的运算，属于常考题型，找准规律、熟练掌握分式的化简方法是解题的关键17请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：（1）根据前面各式的规

13、律，则_（2）请计算的展开式中第三项的系数是_【答案】 190 【分析】（1）观察可知展开式的a的次数从6（最高次幂）依次下降至0，b的次数从0上升至6（最高次幂），系数和左边杨辉三角对应行的数字依次相同；（2）根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数【解答】解：（1）杨辉三角第6行对应的数字为1，5,10,10,5,1，第7行对应的数字为1,6,15,20,15,6,1，所以，（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，故答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（2）找规律发现（a+b）

14、3的第三项系数为3=1+2；（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+（n-2）+（n-1），（a+b）20第三项系数为1+2+3+19=190，故答案为：190【点评】本题考查了完全平方公式，各项是按a的降幂排列的，它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和18已知有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，1的差倒数是如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数依此类推，那么的值是_【答案】【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以，依次循环，用2020除以3，再根据余数可

15、求的值【解答】解：，这个数列以，依次循环，的值是故答案是：【点评】本题考查了数字的变化类，弄清题意，正确得出规律是解题的关键19取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1：这个结论在数学上还没有得到证明但举例验证都是正确的例如：取自然数5经过下面5步运算可得1，即：如图所示如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值是_【答案】128、21、20、3【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可【解答】

16、根据分析，可得：则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3故答案为：128、21、20、3【点评】本题主要考查了规律数字的变换类，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律20现有一列数m1，m2，m3，m2020，其中m1-3，m2-1，且mn+mn+1+mn+21(n为正整数)，则m1+m2+m3+m2020=_【答案】670【分析】先求出的值，再归纳类推出一般规律，从而求出的值，然后根据代入求值即可得【解答】，当时，即，解得，当时，即，解得，归纳类推得：的值是以循环往复的，的值与的值相等，即为，则，故答案为：670【点评】本题考查了代数式求值，依据题意，正确归纳类推

17、出一般规律是解题关键三、解答题21观察下列计算，并回答下列问题，（1）第5个式子是_；（2）第个式子是_；（3）从计算结果中找规律，利用规律计算：【答案】（1）；（2）；（3）【分析】根据前4个式子的规律，即可得到第5个式子和第n个式子；结合（2）的结论，将分数乘法变形为减法的形式，通过加减运算即可得到答案【解答】（1）第5个式子是；（2）第个式子是（3）从计算结果中找规律，利用规律计算原式=【点评】本题考查了整式和数字规律探索的知识；解题的关键是熟练掌握整式运算的性质，并且从等式运算中找到规律，通过计算即可得到答案22我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百股好，隔裂分家万事休”，数形结合

18、的思想方法在数学中应用极为广泛（规律探索）用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼成长方形：第（1）个图形中有2张正方形纸片：第（2）个图形中有张正方形纸片；第（3）个图形中有张正方形纸片；第（4）个图形中有张正方形纸片；请你观察上述图形与算式，完成下列问题：（规律归纳）（1）第（7）个图形中有_张正方形纸片（直接写出结果）；（2）根据前面的发现我们可以猜想：_（用含的代数式表示）；（规律应用）（3）根据你的发现计算：；【答案】（1）56；（2）；（3）1001000；80200【分析】（1）根据前四个图形的排列规律，第七个图形有2×(1+2+3+4+5+6+7)张正方形纸

19、片，计算得出答案（2）根据前面的发现，可以写成：的形式，化简计算得出答案（3）直接用发现的规律代入计算求解；运用添项法，原式加上(2+4+6+200)然后再减去，计算结果不变；原式可变为：(2+4+6+600)-(2+4+6+200)，运用发现的规律计算求解【解答】解：（1）由题意观察可得：2×(1+2+3+4+5+6+7=56，故答案为56；（2）故答案为；（3）原式【点评】本题考查图形的变化规律和用代数式表示数，通过观察发现规律、运用规律是解题关键23观察下列等式：； 请解答下列问题:（1）按以上规律可得_=_（其中为正整数）；_=_（其中为正整数）（2）求的值（3）求的值【答案

20、】（1）；（2）；（3）【分析】（1）首先发现，分子都是1，分母是连续两个自然数的乘积，计算的结果就是以这两个自然数为分母，分子是1的两个分数的差；（2）利用规律把（2）中的分数拆成两个分数的差，把互为相反数的互相抵消，得出答案即可；（3）运用变化规律裂项计算即可得【解答】解：（1）由题可知：（2）（3）【点评】本题考查了寻找数字的规律及运用规律计算寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系24观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；解答下列问题：（1）按以上规律写出第5个等式：=（2）求的值（3）求的值【答案】（1），；（2）；（3）【分

21、析】（1）分子是1，分母是两个连续奇数的乘积，等于分子是1，两个连续数为分母的分数差，由此规律解决；（2）利用发现的规律拆项相互抵消计算即可（3）模仿发现的规律拆项相互抵消计算即可【解答】解：（1）第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；故答案为：；（2）；（3）【点评】此题考查数字的变化规律，找出算式之间的联系，发现规律解决问题25实践与探索如图1，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）（1）上述操作能验证的等式是_；（请选择正确的一个）A B C（2）请应用这个公式完成下列各题：已知，则_计算：【答案】（1）A；

22、（2）4；5050【分析】（1）图1表示，图2的面积表示，根据两个图形阴影面积相等即可判断；（2）将原式变形为，代入即可求解；将原式每两项应用平方差公式进行变型，然后即可求解【解答】（1）图1表示，图2的面积表示，两个图形阴影面积相等，得到故选A ；（2），解得原式=（1002-992）+（982-972）+（42-32）+（22-12）=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+（4+3）（4-3）+（2+1）（2-1） =100+99+98+97+4+3+2+1=101×50=5050【点评】本题考查了平方差公式的几何证明，题目较为简单，需要利用正方形和长方

23、形的面积进行变形求解26观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：_；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：_（n为正整数）；（3）求的值（4）求的值【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据前面4个等式找到规律即可得出第5个等式；（2）由题意可知：分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成分子是1，分母是以这两个奇数为分母差的，由此得出答案即可；（3）依照上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果；（4）模仿上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果；【解答】解：（1）故答案为：；（2），故答案为

24、：；（3） ；（4）【点评】本题考查数字的变化规律找出数字之间的运算规律，利用运算规律解决问题，找出数字之间的规律是解题的关键27阅读材料：求的值解：设，将等式的两边同乘以2，得将下式减去上式得，即即请你仿照此法计算：（1）填空：          （2）求的值（3）求的值（其中n为正整数）【答案】（1）15；（2）2047；（3）【分析】（1）根据题目中材料的信息可以解答本题；（2）根据题目中的材料信息可以计算出题目中所求式子的结果；（3）根据题意，仿照例题极大过程结合本题数据，进行灵活变形可

25、以解答【解答】解：（1）由题意可得，1+2+22+23=24-1=16-1=15，故答案为：15；（2）由题意可得， ；（3）设，则，解得，即的值是【点评】本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，找出数字的变化特点28填空：=_.=_.=_. （1）根据上面的规律得:=_（其中为正整数，且）.（2）当时，计算：=_；（3）设，则的个位数字为_；（4）计算：.【答案】（1）xn+11；（2）320181；（3）3；（4）【分析】（1）根据已知的等式发现规律即可求解；（2）将x=3代入（1）中规律式子中求解即可；（3）先求出x=2时的a值，再发现2的乘方的个位数字变化规律，即可求解a的个位数字

26、；（4）已知等式运算规律可构造（51）（）即可求解【解答】解：填空：= x21. x31=x41.= x51. （1）根据上面的规律得:= xn+11，故答案为：xn+11；（2）当x=3时，=320181，故答案为：320181；（3）=（21）（=220181，21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，2n的个位数字是按2、4、8、6依次4个4个循环出现，2018÷4=5042，22018的个位数字是4，220181的个位数字是3，故答案为：3；（4）=×（51）×5×（）=（520201）=【点评】本题考查等式

27、的规律探究及应用、平方差公式、整式的乘法、有理数的乘方，解答的关键是根据已知等式找到规律并会变形灵活运用29先观察下列等式，再回答问题： （1）根据上而三个等式提供的信息，请你猜想的结果：（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：（3）对任何实数a可a表示不超过a的最大整数，如，计算：的值【答案】（1）；（2）；（3）99【分析】（1）利用前面三个等式的规律求解；（2）利用前面三个等式的规律求解；（3）根据（2）中结论得到，然后再求出最大整数即可【解答】解：（1）猜想；（2）第n个式子为：；（3）= =99【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活应用二次根式的性质进行二

28、次根式的计算30研究下列算式，你会发现什么规律？填空：请你将上述找出的规律用含有字母（为正整数）的等式表示出来【答案】5，7，17；（其中n为整数）【分析】研究给定算式左边每一项可得出：第一个因数为4，第二个因数从1开始每次增加1，第三个因数从2开始每次增加1，最后的加数为1；再研究给定算式的右边可发现右边为二、三两个因数和的平方，结合该规律，将第二个因数换成n即可得出结论【解答】解：由给定算式发现：第一个因数为4，第二个因数从1开始每次增加1，第三个因数从2开始每次增加1，最后的加数为1，等式右边为二、三两个因数和的平方因为11=5+6，所以，故答案为：5；因为13=6+7，所以，故答案为：7；因为8+9=17，所以，故答案为：17故答案分别为：5，7，17由已知可得：4 n （n+1）+1 =（n+n+1）2=（2n+1）2【点评】本题考查了数字的变化，解题的关键是发现其中的变化规律本题属于中档题，解决该类型题目时，仔细观察并寻找不同点及相同点即可找出规律