备考2022数学专题11 一元二次方程及其应用（原卷版）.docx

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1、专题11 一元二次方程及其应用1一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。2一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。3一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。4一元二次方程的解法（1）直接开方法：适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。（2）配方法：套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一

2、般步骤是：将已知方程化为一般形式； 化二次项系数为1； 常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-p±q；如果q0,方程无实根（3）公式法：当b2-4ac0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。其中：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母表示，即=b2-4ac。=b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根。，=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。

3、=b2-4ac0时，方程无实数根。定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母表示，即=b2-4ac。（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。5.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数；第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程；第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法；第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。【例题1】（2020临沂）

4、一元二次方程x24x80的解是（）Ax12+2，x222Bx12+2，x222Cx12+2，x222Dx123，x22【对点练习】（2019浙江金华）用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是（    ）A. (x-3)2=17     B. (x-3)2=14      C. （x-6)2=44     D. (x-3）2=1【对点练习】（2019年山东省威海市）一元二次方程3x242

5、x的解是【例题2】（2020菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x24x+k0的两个根，则k的值为（）A3B4C3或4D7【对点练习】(2019内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是（ ）A. 34B.30C.30或34D.30或36【例题3】（2020贵州黔西南）已知关于x的一元二次方程(m1)x22x10有实数根，则m的取值范围是（ ）A. m2B. m2C. m2且m1D. m2且m1【对点练习】（2019湖北咸宁）若关于x的一元二次方程x22x+m0有实数根，则实数m的取值范围是（

6、）Am1Bm1Cm1Dm1【例题4】（2020衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A35×2035x20x+2x2600B35×2035x2×20x600C（352x）（20x）600D（35x）（202x）600【对点练习】（2019哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）A20% B40% C18% D36%一、选择题1（2020凉

7、山州）一元二次方程x22x的根为（）Ax0Bx2Cx0或x2Dx0或x22（2020怀化）已知一元二次方程x2kx+40有两个相等的实数根，则k的值为（）Ak4Bk4Ck±4Dk±23（2020黑龙江）已知关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（）Ak1/4Bk1/4Ck4Dk1/4且k01/44（2020泰安）将一元二次方程x28x50化成（x+a）2b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A4，21B4，11C4，21D8，695（2020黑龙江）已知2+是关于x的一元二次方程x24x+m0的一个实数根，

8、则实数m的值是（）A0B1C3D16（2020滨州）对于任意实数k，关于x的方程x2/2-（k+5）x+k2+2k+250的根的情况为（）A有两个相等的实数根B没有实数根C有两个不相等的实数根D无法判定7. （2019湖南衡阳）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（）A9（12x）1B9（1x）21C9（1+2x）1D9（1+x）21二、填空题8（2020辽阳）若关于x的一元二次方程x2+2xk0无实数根，则

9、k的取值范围是 9（2020烟台）关于x的一元二次方程（m1）x2+2x10有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 10（2020扬州）方程（x+1）29的根是 11（2020上海）如果关于x的方程x24x+m0有两个相等的实数根，那么m的值是 12（2020天水）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x28x+120的根，则该三角形的周长为13.（2019年江苏省扬州市）一元二次方程x（x2）x2的根是14.（2019湖北十堰）对于实数a，b，定义运算“”如下：ab（a+b）2（ab）2若（m+2）（m3）24，则m15. （2019吉林长春）一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式

10、的值为_.16.（2019年甘肃省天水市）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元则该地区居民年人均收入平均增长率为（用百分数表示）17.（2019年江苏省连云港市）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2c0有两个相等的实数根，则+c的值等于三、解答题18（2020河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果已知A，B两区初始显示的分别是25和16，如图如，第一次按键后，A，B两区分别显示：（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区

11、显示的结果；（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由19（2020孝感）已知关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+12k220（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1x23，求k的值20（2020重庆）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究去年A、B两个品种各种植了10亩收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为216

12、00元（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加209a%求a的值21.（2019北京市）关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根22.（2019湖南衡阳）关于x的一元二次方程x23x+k0有实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m1）x2+x+m30与方程x23x+k0有一个相同的根，求此时m的值23. （2019湖南长沙）近日，长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？