备考2022数学专题13 圆的有关位置关系（解析版）.doc

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1、决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品专题13 圆的有关位置关系【考点1】点与圆的位置关系【例1】（2018·浙江中考真题）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ）A点在圆内 B点在圆上 C点在圆心上 D点在圆上或圆内【答案】D【解析】【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定【解答】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点应该在圆内或者圆上.故选D.【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系.【变式1-1】（2016

2、3;湖北中考真题）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）AE、F、GBF、G、HCG、H、EDH、E、F【答案】A【解析】试题分析：根据圆与直线的位置关系可得：点E、F、G在圆内，点H在圆外.考点：点与圆的位置关系【变式1-2】（2017·山东中考真题）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）ABCD【答案】

3、B【解析】试题分析：给各点标上字母，如图所示AB=，AC=AD=，AE=，AF=，AG=AM=AN=5，时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内故选B考点：点与圆的位置关系；勾股定理；推理填空题【考点2】直线与圆的位置关系【例2】（2018·黑龙江中考真题）已知直线y=kx（k0）经过点（12，5），将直线向上平移m（m0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为_【答案】0<m【解析】【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置

4、关系的判定解答【详解】把点（12，5）代入直线y=kx得，5=12k，k=；由y=x平移m（m0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=x+m（m0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如图所示）当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，A（m，0），B（0，m），即OA=m，OB=m，在RtOAB中，AB=，过点O作ODAB于D，SABO=ODAB=OAOB，OD=×m×m，m0，解得OD=m，由直线与圆的位置关系可知m 6，解得m，故答案为0<m.【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键

5、.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了.【变式2-1】（2019·广东中考真题）平面内，O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作O的切线条数为（ ）A0条B1条C2条D无数条【答案】C【解析】【分析】首先判断点与圆的关系，然后再分析P可作O的切线条数即可解答.【详解】解：因为点P到O的距离为2，大于半径1，所以点P在圆外，所以，过点P可作O的切线有2条；故选C.【点睛】本题考查了点与圆的关系、切线的定义，熟练掌握是解题的关键.【变式2-2】（2019·浙江中考真题）如图，中，点在边上，.点是线段上一动点，当半径为6的圆与的一边相切时，的长为_. 【答案

6、】或【解析】【分析】根据勾股定理得到，当P于BC相切时，点P到BC的距离=6，过P作PHBC于H，则PH=6，当P于AB相切时，点P到AB的距离=6，根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】在RtABC中，C=90°，AC=12，BD+CD=18， 在RtADC中，C=90°，AC=12，CD=5，当P于BC相切时，点P到BC的距离=6，过P作PHBC于H，则PH=6，C=90°，ACBC，PHAC，DPHDAC，PD=6.5，AP=6.5；当P于AB相切时，点P到AB的距离=6，过P作PGAB于G，则PG=6，AD=BD=13，PAG=B，AGP=C=90

7、76;，AGPBCA，AP=3，CD=56，半径为6的P不与ABC的AC边相切，综上所述，AP的长为6.5或3，故答案为6.5或3【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键【考点3】切线的判定与性质的应用【例3】（2019·湖北中考真题）如图，中，以为直径的交于点，点为延长线上一点，且（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径【答案】（1）见解析；（2）7【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出，按照等腰三角形的性质和已知的倍角关系，证明为直角即可；（2）通过证得，根据相似三角形的性质即可求得【详解】（1）如图，连接，是直径，又

8、是的半径是的切线；（2），设，则，即，的半径为【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形【变式3-1】（2019·辽宁中考真题）如图，在RtABC中，ACB90°，点D在AB上，以AD为直径的O与边BC相切于点E，与边AC相交于点G，且，连接GO并延长交O于点F，连接BF（1）求证：AOAGBF是O的切线（2）若BD6，求图形中阴影部分的面积【答案】（1）见解析；见解析；（2）S阴影【解析】【分析】（1）先利用切线的性质判断出ACBOEB，再用平行线结合弧相等判断出AOGAGO

9、，即可得出结论；先判断出AOG是等边三角形，进而得出BOFAOG60°，进而判断出EOB60°，得出OFBOEB，得出OFB90°，即可得出结论；（2）先判断出ABC30°，进而得出OB2BE，建立方程6+r2r，继而求出AG6，AB18，AC9，CG3，再判断出OGE是等边三角形，得出GEOE6，进而利用根据勾股定理求出CE3，即可得出结论【详解】解：（1）证明：如图1，连接OE，O与BC相切于点E，OEB90°，ACB90°，ACBOEB，ACOE，GOEAGO，AOGGOE，AOGAGO，AOAG；由知，AOAG，AOOG，AO

10、OGAG，AOG是等边三角形，AGOAOGA60°，BOFAOG60°，由知，GOEAOG60°，EOB180°AOGGOE180°60°60°60°，FOBEOB，OFOE，OBOB，OFBOEB（SAS），OFBOEB90°，OFBF，OF是O的半径，BF是O的切线；（2）如图2，连接GE，A60°，ABC90°A30°，OB2BE，设O的半径为r，OBOD+BD，6+r2r，r6，AGOA6，AB2r+BD18，ACAB9，CGACAG3，由（1）知，EOB60

11、6;，OGOE，OGE是等边三角形，GEOE6，根据勾股定理得，CE，S阴影S梯形GCEOS扇形OGE（6+3）×【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形和扇形的面积公式，判断出O的半径是解本题的关键【变式3-2】（2019·湖北中考真题）如图，在中，为的中点，以为直径的分别交于点两点，过点作于点.试判断与的位置关系，并说明理由若求的长【答案】（1）切，理由见解析；（2）【解析】【分析】如图，连接，根据直角三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，推出，于

12、是得到结论；连接，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论【详解】（1）相切，理由：如图，连接，为的中点，与相切；连接，为的直径，即，【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键【变式3-2】（2019·甘肃中考真题）如图，在中，以为直径的交于点，切线交于点（1）求证：；（2）若，求的长【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）只要证明A+B=90°，ADE+B=90°即可解决问题；（2）首先证明AC=2DE=10，在RtADC中，DC=6，设BD=x，在RtBD

13、C中，BC2=x2+62，在RtABC中，BC2=（x+8）2-102，可得x2+62=（x+8）2-102，解方程即可解决问题【详解】（1）证明：连接，是切线，（2）解：连接，是的直径，是的切线，在中，设，在中，在中，解得，【点睛】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型【考点4】三角形的内切圆与切线长定理【例4】（2019·江苏中考真题）如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，点C、D在O上若P102°，则AC_°【答案】219【解析】【分析】连接AB，根据切线的性质得到PAPB，根据等

14、腰三角形的性质得到PABPBA（180°102°）39°，由圆内接四边形的性质得到DABC180°，于是得到结论【详解】解：连接AB，PA、PB是O的切线，PAPB，P102°，PABPBA（180°102°）39°，DABC180°，PADCPABDABC180°39°219°，故答案为：219°【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键【变式4-1】（2019·山西中考真题）阅读以下材料，并按要求完

15、成相应地任务：莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则. 如图1，O和I分别是ABC的外接圆和内切圆，I与AB相切分于点F，设O的半径为R，I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OId，则有d2R22Rr下面是该定理的证明过程（部分）：延长AI交O于点D，过点I作O的直径MN，连接DM，AN.D=N，DMI=NAI(同弧所对的圆周角相等)，MDIANI，如

16、图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，DE是O的直径，DBE=90°，I与AB相切于点F，AFI=90°，DBE=IFA，BAD=E(同弧所对圆周角相等)，AIFEDB，任务：(1)观察发现：， (用含R，d的代数式表示)；(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；(3)请观察式子和式子，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；(4)应用：若ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则ABC的外心与内心之间的距离为 cm. 【答案】(1)R-d；(2)BD=ID，理由见解析；(3

17、)见解析；(4).【解析】【分析】(1)直接观察可得；(2)由三角形内心的性质可得BAD=CAD，CBI=ABI，由圆周角定理可得DBC=CAD，再根据三角形外角的性质即可求得BID=DBI，继而可证得BD=ID；(3)应用(1)(2)结论即可；(4)直接代入结论进行计算即可【详解】(1)O、I、N三点共线，OI+INON，INONOIRd，故答案为：Rd； (2)BD=ID，理由如下：点I是ABC的内心，BAD=CAD，CBI=ABI，DBC=CAD，BID=BAD+ABI，DBI=DBC+CBI，BID=DBI，BD=ID；(3)由(2)知：BD=ID，又，DE·IF=IM

18、83;IN，；(4)由(3)知：，把R=5，r=2代入得：，d>0，故答案为：.【点睛】本题是圆综合题，主要考查了三角形外接圆、外心和内切圆、内心，圆周角性质，角平分线定义，三角形外角性质等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.【变式4-2】（2018·湖南中考真题）如图，在ABC中，AD是边BC上的中线，BAD=CAD，CEAD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3（1）求CE的长；（2）求证：ABC为等腰三角形（3）求ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离【答案】（1）CE=6；（2）证明见解析；（3）ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为【解析

19、】【分析】（1）证明AD为BCE的中位线得到CE=2AD=6；（2）过B点作AC的平行线，并与AD的延长线交于点F，证明ACDFBD，从而得到AC=BF，CAD=BFD，再结合BAD=CAD，得到BA=BF，等量代换后即可证得结论；（3）如图，连接BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出AB=5，设P的半径为R，Q的半径为r，在RtPBD中利用勾股定理得到（R-3）2+42=R2，解得R=，则PD=，再利用面积法求出r=，即QD=，然后计算PD+QD即可【详解】（1）解：AD是边BC上的中线，BD=CD，CEAD，AD为BCE的中位线，CE=2AD=6；（2）证明：过B点作AC的平行线，并与AD

20、的延长线交于点F，则ACD=FBD, ADC=FDB，又BD=CD，ACDFBD，AC=BF，CAD=BFD，又BAD=CAD，BAD=BFD，BA=BF,AB=AC,ABC为等腰三角形（3）如图，连接BP、BQ、CQ，在RtABD中，AB=5，设P的半径为R，Q的半径为r，在RtPBD中，（R-3）2+42=R2，解得R=，PD=PA-AD=-3=，SABQ+SBCQ+SACQ=SABC，×r×5+×r×8+×r×5=×3×8，解得r=，即QD=，PQ=PD+QD=+=答：ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的

21、距离为点睛：本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆【变式4-3】（2019·湖南中考真题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )APAPBBBPDAPDCABPDDAB平分PD【答案】D【解析】【分析】先根据切线长定理得到PAPB，APDBPD；再根据等腰三角形的性质得OPAB，根据菱形的性质，只有当ADPB，BDPA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立【详解】PA，PB是O的切线，P

22、APB，所以A成立；BPDAPD，所以B成立；ABPD，所以C成立；PA，PB是O的切线，ABPD，且ACBC，只有当ADPB，BDPA时，AB平分PD，所以D不一定成立，故选D【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.一、单选题1（2019·浙江中考真题）如图，等边三角形的边长为8，以上一点为圆心的圆分别与边，相切，则的半径为（）AB3C4D【答案】A【解析】【分析】连接，根据等边三角形的性质及含30°的直角三角形的性质即可求解.【详解】设与的切点为，连接，等边三角形的边长为8，圆分别与边，相切，的半径为，故选：A【点睛】此

23、题主要考查圆的半径，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.2（2019·黑龙江中考真题）如图，.分别与相切于.两点，点为上一点，连接.，若，则的度数为（ ）.A；B；C；D.【答案】D【解析】【分析】连接.，由切线的性质可知，由四边形内角和可求出的度数，根据圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知的度数.【详解】解：连接.，.分别与相切于.两点，故选：D【点睛】本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键.3（2019·辽宁中考真题）如图，CB为O的切线，点B为切点，CO的延长线交O于点A，若A=25°，则

24、C的度数是( )A25°B30°C35°D40°【答案】D【解析】【分析】连接OB，CB与O相切于点B，得到OBC=90°，根据条件得到COB的度数，然后用三角形内角和求出C的度数即可【详解】解：如图：连接OB，OB=OA，A=OBA，A=25°，COB=A+OBA=2A=2×25°=50°，AB与O相切于点B，OBC=90°，C=90°-BOC=90°-50°=40°故选：D【点睛】本题考查的是切线的性质及三角形内角和定理，先求出COB的度数，然后在三角

25、形中求出C的度数正确作出辅助线是解题的关键4（2019·江苏中考真题）如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为( )ABCD【答案】D【解析】【分析】由切线性质得到，再由等腰三角形性质得到，然后用三角形外角性质得出【详解】切线性质得到故选D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键5（2019·江苏中考真题）如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，若，则的度数等于（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出DAB，根据圆周角定理求出ACB、CAB，计算即可【详解】连接AC，四

26、边形ABCD是半圆的内接四边形，DAB=180°-C=70°，CAB=DAB=35°，AB是直径，ACB=90°，ABC=90°-CAB=55°，故选A【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键6（2019·浙江中考真题）如图，已知O上三点A，B，C，半径OC=1，ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ）A2B CD【答案】B【解析】【分析】连接OA，由圆周角定理可求出AOC=60°，再根据AOC的正切即可求出PA的值.【详解】连接OA

27、，ABC=30°，AOC=60°，PA是圆的切线，PAO=90°，tanAOC =,PA= tan60°×1=.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出AOC=60°是解答本题的关键.7（2019·湖南中考真题）如图，边长为的等边的内切圆的半径为( )A1BC2D【答案】A【解析】【分析】连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分BCA，AO平分BAC，再根据等边三角形的性质得CAB=60°，CHAB，则OAH=30°，AH=B

28、H= AB=3，然后利用正切的定义计算出OH即可【详解】设的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，为等边三角形，CH平分，AO平分，为等边三角形，在中，即内切圆的半径为1故选A【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角也考查了等边三角形的性质8（2019·山东中考真题）如图,O的直径AB=2,点D在AB的延长线上,DC与O相切于点C,连接AC.若A=30°,则CD长为( )ABCD【答案】D【解析】【分析】先连接BC，OC，由于AB 是直径，可知BCA=90°，而A=30

29、°，易求CBA，又DC是切线，利用弦切角定理可知DCB=A=30°，再利用三角形外角性质可求D，再由切线的性质可得BCD=A=30°，OCD=90°，易得OD，由勾股定理可得CD【详解】如图所示，连接BC，OC，AB是直径,BCA=90°，又A=30°，CBA=90°30°=60°，DC是切线，BCD=A=30°,OCD=90°，D=CBABCD=60°30°=30°，AB=2，OC=1，OD=2，CD=，故选D.【点睛】考核知识点：切线性质定理.作好辅助

30、线是关键.9（2019·重庆中考真题）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，A为切点，若，则的度数为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】由题意可得，根据直角三角形两锐角互余可求ABC50°【详解】解：AC是O的切线，且，故选：B【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练运用切线的性质是本题的关键10（2019·云南中考真题）如图，ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB5，BC13，CA12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )A4B6.25C7.5D9【答案】A【解析】【分析】先利用勾股定理判断ABC为直角三角形

31、，且BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.【详解】AB=5，BC=13，CA=12，AB2+AC2=BC2，ABC为直角三角形，且BAC=90°，O为ABC内切圆，AFO=AEO=90°，且AE=AF，四边形AEOF为正方形，设O的半径为r，OE=OF=r，S四边形AEOF=r²，连接AO，BO，CO，SABC=SAOB+SAOC+SBOC，r=2，S四边形AEOF=r²=4，故选A.【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题

32、的关键.11（2019·湖北中考真题）如图，是圆的直径，是弦，四边形是平行四边形，与相交于点，下列结论错误的是（）ABCD平分【答案】A【解析】【分析】利用圆周角定理得到ACD90°，再根据平行四边形的性质得到CDOB，CD0B，则可求出A30°，在RtAOP中利用含30度的直角三角形三边的关系，可对A选项进行判断；利用OPCD，CDAC可对C选项进行判断；利用垂径可判断OP为ACD的中位线，则CD20P，原式可対B选项进行判断；同时得到OB2OP，则可对D选项进行判断.【详解】解：为直径，四边形为平行四边形，在中，在中，所以A选项的结论错误；，所以C选项的结论正

33、确；，为的中位线，所以B选项的结论正确；，平分，所以D选项的结论正确故选：A【点睛】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理和平行四边形的性质.12（2019·甘肃中考真题）如图，四边形是菱形，经过点、，与相交于点，连接、若，则的度数为()ABCD【答案】C【解析】【分析】由菱形的性质求出ACB=50°，由边形是圆内接四边形可求出AEB=80°，然后利用三角形外角的性质即可求出的度数.【详解】四边形是菱形，四边形

34、是圆内接四边形，故选：C【点睛】本题考查了菱形的性质，圆内接四边形的性质，三角形外角的性质. 圆内接四边形的性：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的外角等于它的内对角，圆内接四边形对边乘积的和，等于对角线的乘积.13（2019·四川中考真题）如图，等腰的内切圆与，分别相切于点，且， ，则的长是()ABCD【答案】D【解析】【分析】如图，连接、，交于，先证明点、共线，即，从而可得，在中，利用勾股定理求出AE长，再由切线长定理求得BD长，进而得AD长，设的半径为，则， ，在中，利用勾股定理求得，在中，求得，再证明OB垂直平分，利用面积法可得，求得HE长即可求得答案.【详解】连接、，交于

35、，如图，等腰的内切圆与，分别相切于点，平分， ， ，点、共线，即，在中， ，设的半径为，则， ，在中，解得，在中，垂直平分，故选D【点睛】本题考查了三角形的内切圆，三角形的内心，等腰三角形的性质，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.14（2019·广西中考真题）如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平分，的长是（）AB2CD【答案】A【解析】【分析】由切线的性质得出 求出 ，证出 ，得出，得出，由直角三角形的性质得出 ，得出 ，再由直角三角形的性质即可得出结果【详解】解： 与AC相切于点D， 故选A【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角

36、形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出是解题的关键15（2019·湖北中考真题）如图，是的直径，、是弧（异于、）上两点，是弧上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】连接BE，由题意可得点E是ABC的内心，由此可得AEB135°，为定值，确定出点E的运动轨迹是是弓形AB上的圆弧，此圆弧所在圆的圆心在AB的中垂线上，根据题意过圆心O作直径CD，则CDAB，在CD的延长线上，作DFDA，则可判定A、E、B、F四点共圆，

37、继而得出DEDADF，点D为弓形AB所在圆的圆心，设O的半径为R，求出点C的运动路径长为，DAR，进而求出点E的运动路径为弧AEB，弧长为，即可求得答案.【详解】连结BE，点E是ACB与CAB的交点，点E是ABC的内心，BE平分ABC，AB为直径，ACB90°，AEB180°(CAB+CBA)135°，为定值，点E的轨迹是弓形AB上的圆弧，此圆弧的圆心一定在弦AB的中垂线上，AD=BD，如下图，过圆心O作直径CD，则CDAB，BDOADO45°，在CD的延长线上，作DFDA，则AFB45°，即AFB+AEB180°，A、E、B、F四点

38、共圆，DAEDEA67.5°，DEDADF，点D为弓形AB所在圆的圆心，设O的半径为R，则点C的运动路径长为：，DAR，点E的运动路径为弧AEB，弧长为：，C、E两点的运动路径长比为：，故选A.【点睛】本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综合性较强，正确分析出点E运动的路径是解题的关键.16（2019·广西中考真题）如图，在中，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）A5B6C7D8【答案】B【解析】【分析】设O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交O于F，此时垂

39、线段OP最短，PF最小值为，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解.【详解】如图，设O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，点O是AB的三等分点，O与AC相切于点D，MN最小值为，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值，,MN长的最大值与最小值的和是6故选B【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.17（2019·四川中考真题）如图，的顶点O是边长为2的等边的重心，的两边与的边交于E，F，则与的边所围成阴影部

40、分的面积是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】连接、，过点O作，垂足为N，由点O是等边三角形的内心可以得到，结合条件即可求出的面积，由，从而得到，进而可以证到，因而阴影部分面积等于的面积【详解】解：连接、，过点O作，垂足为N，为等边三角形，点O为的内心，即在和中，故选C【点睛】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的内心、三角形的内角和定理，有一定的综合性，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键二、填空题18（2019·海南中考真题）如图，与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角的大小为_度【答案

41、】144【解析】【分析】根据正多边形内角和公式可求出、，根据切线的性质可求出、，从而可求出，然后根据圆弧长公式即可解决问题【详解】解：五边形ABCDE是正五边形，AB、DE与相切，故答案为：144【点睛】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键19（2019·浙江中考真题）如图，O分别切BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧上若BAC66°，则EPF等于_度【答案】57【解析】【分析】连接OE，OF，由切线的性质可得OEAB，OFAC，由四边形内角和定理可求EOF114°，即可求EPF的度数【详解】解：

42、连接OE，OF，O分别切BAC的两边AB，AC于点E，FOEAB，OFAC又BAC66°EOF114°EOF2EPFEPF57°故答案为57.【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练运用切线的性质是本题的关键20（2019·江苏中考真题）如图，半径为的与边长为的等边三角形的两边、都相切，连接，则_【答案】【解析】【分析】连接，作于，根据切线长定理得出，解直角三角形求得，即可求，然后解直角三角形即可求得的值【详解】连接，作于，与等边三角形的两边、都相切，故答案为【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键21（2019·湖北中考真题）如图，为的直径，为上一点，过点的切线交的延长线于点，为弦的中点，若点为直径上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的长为_【答案】4或2.56【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，由BCDABD得到比例式求出CD的长，当是