备考2022数学专题17 二次函数的面积问题（解析版）.doc

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1、决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品专题17二次函数的面积问题【考点1】二次函数的线段最值问题【例1】（2020·湖北荆门·中考真题）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式【答案】（1）直线的解析式为，抛物线顶点坐标为；（2）当时，的最大值为； ；（3）【分析】（1）先根据函数关系式求出A、B两点的坐

2、标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；（2）过点D作轴于E，则求得AB=5，设点P的坐标为，则点D的坐标为，ED=x，证明，由相似三角形的性质求出，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得点P的坐标；（3）设平移后抛物线的解析式，将L的解析式和直线AB联立，得到关于x的方程，设，则是方程的两根，得到，点A为的中点，可求得m的值，即可求得L的函数解析式【详解】（1）在中，令，则，解得，令，则，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，抛物线顶点坐标为（2）如图，过点D作轴于E，则，设点P的坐标为，则点D的坐标为，而，由二次函

3、数的性质可知：当时，的最大值为， （3）设平移后抛物线的解析式，联立，整理，得：，设，则是方程的两根， 而A为的中点，解得：抛物线的解析式【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质【变式1-1】（2020·前郭尔罗斯蒙古族自治县哈拉毛都镇蒙古族中学九年级期中）如图，二次函数的图象交x轴于点，交y轴于点C点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N （1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P仅在线段上运动，如图1求线段的最大值；若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为

4、顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2），存在，【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可；（2）由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；分MN=MC和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可【详解】解：（1）把代入中，得 解得（2）设直线的表达式为，把代入得，解这个方程组，得 点是x轴上的一动点，且轴 ，此函数有最大值又点P在线段上运动，且当时，有最大值 点是x轴上的一动点，且轴 （i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，C（0，-3）MC= 整理得， ，解得，当时，CQ=MN=，OQ=-

5、3-()=Q(0，)；当m=时，CQ=MN=-，OQ=-3-(-)=Q(0，)；(ii)若，如图，则有整理得， ，解得，当m=-1时，MN=CQ=2，Q（0，-1），当m=-5时，MN=-100（不符合实际，舍去）综上所述，点Q的坐标为【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏【变式1-2】如图1，已知抛物线y=x2+mx+m2的顶点为A，且经过点B（3，3）（1）求顶点A的坐标（2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求OPB的面

6、积的最大值及比时点P的坐标；（3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）（1，1）；（2）P（32，34）；（3）2.【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q，求出直线BP的解析式，表示出点Q的坐标，根据三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得P点坐标；（3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与OA的解析式，可得C、D点的横坐标，根据勾股

7、定理，可得答案【详解】解：（1）把B（3，3）代入y=x2+mx+m2得：3=32+3m+m2，解得m=2，y=x2+2x=（x+1）2+1，顶点A的坐标是（1，1）；（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q.直线OB的解析式为y=x，故设P（n，n2+2n），Q（n，n），PQ=n2+2n（n）=n2+3n，SOPB=（n2+3n）=（n）+，当n=时，SOPB的最大值为此时y=n2+2n=，P（，）；（3）直线OA的解析式为y=x，可设新的抛物线解析式为y=（xa）2+a，联立，（xa）2+a=x，x1=a，x2=a1，即C、D两点间的横坐标的差为1，CD=【点睛】本题考查了待定系数法求函数

8、解析式，三角形的面积公式，利用二次函数求最值，勾股定理二次函数与一次函数的交点问题，难度适中，是常见题型.【考点2】二次函数的面积定值问题【例2】已知二次函数（1）图象经过点时，则_；（2）当时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；（3）以抛物线的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（M，N两点在抛物线上），请问：的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）4；（2）m2；（3）的面积是与m无关的定值，SAMN.【解析】【分析】（1）将点代入二次函数解析式即可求出m；（2）求出二次函数的对称轴为xm，由抛物线的开口向上，在对称轴的左边y随x的增大而

9、减小，可求出m的取值范围；（3）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，可得到AMN的面积是与m无关的定值【详解】解：（1）将点代入可得：，解得：m=4；（2）二次函数的对称轴是：xm，当x2时，函数值y随x的增大而减小，m2；（3）的面积是与m无关的定值；如图：顶点A的坐标为（m，m24m8），AMN是抛物线的内接正三角形，MN交对称轴于点B，tanAMBtan60°，ABBMBN，设BMBNa，则ABa，点M的坐标为（ma，am24m8），点M在抛物线上，am24m8（ma）22m（ma）4m8，整理得：，解得：a或a0（舍去），AMN是边长为的正三角形

10、，AB=3，SAMN，与m无关.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等边三角形的性质以及特殊角三角函数的应用，其中（3）问有一定难度，根据点M在抛物线上，求出正三角形的边长是解题关键【变式2-1】（2020·湖南九年级其他模拟）若抛物线L：yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与直线l：yax+b满足a2+b22a（2cb），则称此直线l与该抛物线L具有“支干”关系此时，直线l叫做抛物线L的“支线”，抛物线L叫做直线l的“干线”（1）若直线yx2与抛物线yax2+bx+c具有“支干”关系，求“干线”的最小值；（2）若抛物线yx2+bx+c的“支线”与y的图

11、象只有一个交点，求反比例函数的解析式； （3）已知“干线”yax2+bx+c与它的“支线”交于点P，与它的“支线”的平行线l：yax+4a+b交于点A，B，记ABP得面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）y或y；（3）是定值，理由见解析【分析】（1）根据“支干”关系的定义，求出a、b、c的值，利用配方法确定函数的最值（2）由题意a1，1+b22（2cb） ，可得抛物线yx2+bx+c的“支线”为yx+b，由，消去y得到x2+bx+4c0，由抛物线yx2+bx+c的“支线”与的图象只有一个交点，可知0，得b216c0 ，由解方程组即可解决问

12、题（3） 的值是定值不妨设a0，如图所示，yax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线yax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），由 ，消去y得到ax2+（ba）x+c4ab0，推出x1+x2，x1x2 ，推出|x1x2| ，把 2a（2cb）代入上式化简4，由ABPC，可得SSPABSCABSCDBSCDA CD 48 ，由此即可解决问题【详解】解：（1）由题意a1，b2，12+（2）22（2c+2），解得c，抛物线的解析式为yx22x+，yx22x+ （x1）2，a10，x1时，y有最小值，最小值为（2）由题意a1，1+b22（2cb） 抛物线yx2+bx+c的

13、“支线”为yx+b，由，消，消去y得到x2+bx+4c0，抛物线yx2+bx+c的“支线”与的图象只有一个交点，0，b216c0 由可得b2， 或， 反比例函数的解析式为y或y（3）是定值理由如下：不妨设a0，如图所示，yax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线yax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），由 得到ax2+（ba）x+c4ab0，x1+x2，x1x2 ，|x1x2| 把a2+b22a（2cb）代入上式化简得到|x1x2|4，ABPC，SSPABSCABSCDBSCDACD|BxAx|4a|48|a|，8，的值是定值 【点睛】本题考查了二次函数综合题、

14、一次函数的应用、反比例函数的性质、一元一次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，学会用分割法求三角形的面积【变式2-2】（2020·山东济南·中考真题）如图1，抛物线yx2bxc过点A（1，0），点B（3，0）与y轴交于点C在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线lx轴，交抛物线于点M（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若ACD是以DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设AEM的面积为S1，MON的面积为S2，若S12S2

15、，求m的值【答案】（1）；（2）或；（3）【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）若ACD是以DCA为底角的等腰三角形，则可以分CDAD或ACAD两种情况，分别求解即可；（3）S1AE×yM，2S2ONxM，即可求解【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为yx22x3，当x0时，y3，故点C（0，3）；（2）当m1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），由点A、C、D的坐标得，AC，同理可得：AD，CD，当CDAD时，即，解得a1；当ACAD时，同理可得a（舍去负值）；故点D的坐标为（1，1）或（1，）；（3）E（m，0），则设点M（m，

16、m22m3），设直线BM的表达式为ysxt，则，解得：，故直线BM的表达式为yx，当x0时，y，故点N（0，），则ON；S1AE×yM×（m1）×（m22m3），2S2ONxM×mS1×（m1）×（m22m3），解得m2±（舍去负值），经检验m2是方程的根，故m2【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏【考点3】二次函数的面积最值问题【例3】（2020·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直

17、线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当PAB面积最大时，求点P的坐标及PAB面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标【答案】（1）（，）；yx2+2x+1 （2）（，）； （3）Q，R或Q（，10），R（）【分析】（1）由待定系数法求出直线AB的解析式为yx+1，求出F点的坐标，由平行四边形的性

18、质得出3a+1a8a+1（），求出a的值，则可得出答案；（2）设P（n，n2+2n+1），作PP'x轴交AC于点P'，则P'（n，n+1），得出PP'n2+n，由二次函数的性质可得出答案；（3）联立直线AC和抛物线解析式求出C（，），设Q（，m），分两种情况：当AQ为对角线时，当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可【详解】解：（1）设抛物线的解析式为yax2+bx+c（a0），A（0，1），B（，0），设直线AB的解析式为ykx+m，解得，直线AB的解析式为yx+1，点F的横坐标为，F点纵坐标为+1，F点的坐标为（，），又点A在抛物线上，c1，对称轴为：x

19、，b2a，解析式化为：yax22ax+1，四边形DBFE为平行四边形BDEF，3a+1a8a+1（），解得a1，抛物线的解析式为yx2+2x+1；（2）设P（n，n2+2n+1），作PP'x轴交AC于点P'，则P'（n，n+1），PP'n2+n，SABPOBPP'n，当n时，ABP的面积最大为，此时P（，）（3），x0或x，C（，），设Q（，m），当AQ为对角线时，R（），R在抛物线y+4上，m+4，解得m，Q，R；当AR为对角线时，R（），R在抛物线y+4上，m+4，解得m10，Q（，10），R（）综上所述，Q，R；或Q（，10），R（）【点睛】本题是

20、二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键【变式3-1】（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐

21、标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）面积最大值为；（3）存在，【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）设，求得解析式，过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F，设点，则，即可求解；（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可【详解】解：（1）抛物线过，（2）设，将点代入过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F设点，则由铅垂定理可得面积最大值为（3）（3）抛物线的表达式为：yx24x1（x2）25，则平移后的抛物线表达式为：yx25，联立上述两式并解得：，故点C（1，4）；设点D（2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，1）、（1，4）；当

22、BC为菱形的边时，点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），即21s且m3t或21s且m3t，当点D在E的下方时，则BEBC，即s2（t1）21232，当点D在E的上方时，则BDBC，即22（m1）21232，联立并解得：s1，t2或4（舍去4），故点E（1，2）；联立并解得：s-3，t-4±，故点E（-3，-4）或（-3，-4）；当BC为菱形的的对角线时，则由中点公式得：1s2且41mt，此时，BDBE，即22（m1）2s2（t1）2，联立并解得：s1，t3，故点E（1，3），综上，点E的坐标为：（1，2）或或或（1，3）

23、存在，【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏【变式3-2】（2020·江苏宿迁·中考真题）二次函数的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E(1)求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；(2)如图，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；(3)如图，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当CEQ的面积为12时，求点P的坐标【答案】(1)；(4，-1)；(2)(4，

24、3+)或(4，3-)；(3)(10，8)或(，24)【分析】(1)由于二次函数的图象与x轴交于A(2，0)、B(6，0)两点，把A，B两点坐标代入，计算出a的值即可求出抛物线解析式，由配方法求出E点坐标；(2)由线段垂直平分线的性质可得出CB=CD，设D(4，m)，由勾股定理可得=，解方程可得出答案；(3)设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P(，)，则Q(，)，设直线CQ的解析式为，则，解得，求出M(，)，ME=，由面积公式可求出n的值，则可得出答案【详解】(1)将A(2，0)，B(6，0)代入，得，解得，二次函数的解析式为；，E(4，)；(2)如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂

25、直平分线CN上，得CB=CD，设D(4，m)，当时，C(0，3)，=，由勾股定理可得：=，解得m=3±，满足条件的点D的坐标为(4，3+)或(4，3-)；(3)如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P(，)，则Q(，)，设直线CQ的解析式为，则，解得，于是直线CQ的解析式为：，当时，M(，)，ME=，SCQE=SCEM+SQEM=，解得或，当时，P(10，8)，当时，P(，24)综合以上可得，满足条件的点P的坐标为(10，8)或(，24)【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解

26、题的关键【考点4】二次函数面积的其它问题【例4】（2020·辽宁鞍山·中考真题）在矩形中，点E是射线上一动点，连接，过点B作于点G，交直线于点F（1）当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接如图1，若点E在线段上，则线段与之间的数量关系是_，位置关系是_；如图2，若点E在线段的延长线上，中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E在线段上，以和为邻边作，M是中点，连接，求的最小值【答案】（1）相等；垂直；成立，理由见解析；（2）【分析】（1）证明ABEBCF，得到BE=CF，AE=BF，再证明四边形BEH

27、F为平行四边形，从而可得结果；根据（1）中同样的证明方法求证即可；（2）说明C、E、G、F四点共圆，得出GM的最小值为圆M半径的最小值，设BE=x，证明ABEBCF，得到CF，再利用勾股定理表示出EF=，求出最值即可得到GM的最小值【详解】解：（1）四边形ABCD为正方形，AB=BC，ABC=BCD=90°，即BAE+AEB=90°，AEBF，CBF+AEB=90°，CBF=BAE，又AB=BC，ABE=BCF=90°，ABEBCF（AAS），BE=CF，AE=BF，FCH为等腰直角三角形，FC=FH=BE，FHFC，而CDBC，FHBC，四边形BEHF

28、为平行四边形，BFEH且BF=EH，AE=EH，AEEH，故答案为：相等；垂直；成立，理由是：当点E在线段BC的延长线上时，同理可得：ABEBCF（AAS），BE=CF，AE=BF，FCH为等腰直角三角形，FC=FH=BE，FHFC，而CDBC，FHBC，四边形BEHF为平行四边形，BFEH且BF=EH，AE=EH，AEEH；（2）EGF=BCD=90°，C、E、G、F四点共圆，四边形BCHF是平行四边形，M为BH中点，M也是EF中点，M是四边形BCHF外接圆圆心，则GM的最小值为圆M半径的最小值，AB=3，BC=2，设BE=x，则CE=2-x，同（1）可得：CBF=BAE，又ABE

29、=BCF=90°，ABEBCF，即，CF=，EF=，设y=，当x=时，y取最小值，EF的最小值为，故GM的最小值为【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数的最值，圆的性质，难度较大，找出图形中的全等以及相似三角形是解题的关键【变式4-1】（2020·湖北中考真题）已知抛物线y=ax2-2ax+c过点A-1,0和C0,3，与x轴交于另一点B，顶点为D（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EFBC，垂足为F，EMx轴，垂足为M，交BC于点G当BG=CF时，求EFG的面积；（3）

30、如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使OPB=AHB？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由【答案】（1）y=-x2+2x+3，D(1,4)；（2）SEFG=1；（3）存在，P1(0,3), P21+52,5+52,P31-52,5-52【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标；（2）先求出BC的解析式y=-x+3，再设直线EF的解析式为y=x+b,设点E的坐标为m,-m2+2m+3，联立方程求出点F，G的坐标，根据BG2=CF2列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；（3）过点A作

31、ANHB，先求得直线BD，AN的解析式，得到H，N的坐标，进而得到H=45°，设点pn,-n2+2n+3，过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR，证明OPSOPB，根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得到点P的坐标【详解】（1）把点A（-1，0），C（0，3）代入y=ax2-2ax+c中，a+2a+c=0c=3，解得a=-1c=3，y=-x2+2x+3，当x=-b2a=1时，y=4，D(1,4)（2）y=-x2+2x+3令y=0,x=-1,或x=3B(3,0)设BC的解析式为y=kx+b(k0)将点C(0,3),B(3,0)代入，得b=33k+b=0，

32、解得k=-1b=3，y=-x+3EFCB设直线EF的解析式为y=x+b,设点E的坐标为m,-m2+2m+3，将点E坐标代入y=x+b中，得b=-m2+m+3，y=x-m2+m+3y=-x+3y=x-m2+m+3x=m2-m2y=-m2+m+62Fm2-m2,-m2+m+62把x=m代入y=-x+3G(m,-m+3)BG=CFBG2=CF2即(m-3)2+(3-m)2=m2-m22+m2-m22解得m=2或m=-3点E是BC上方抛物线上的点m=-3舍去点E(2,3),F(1,2)，G(2,1)EF=12+12=2FG=12+12=2SEFG=12×2×2=1（3）过点A作AN

33、HB，点D(1,4),B(3,0)yDB=-2x+6点A(-1,0)，点C(0,3)yAC=3x+3y=x+3y=-2x+6x=35y=245H35,245设yAN=12x+b，把（-1，0）代入，得b=12 y=12x+12y=12x+12y=-2x+6x=115y=85N115,85AN2=115+12+852=1652+852HN2=852+1652AN=HNH=45°设点pn,-n2+2n+3过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PRRSP=45°且点S的坐标为-n2+3n+3,0若OPB=AHB=45°在OPS和OPB中，POS=POBOSP=

34、OPBOPSOPBOPOB=OSOPOP2=OBOSn2+(n+1)2(n-3)2=3（-n2+2n+3)n=0或n=1±52P1(0,3)P21+52,5+52P31-52,5-52【点睛】本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解【变式4-2】（2020·山东日照·九年级二模）如图，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于点A(2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C(0，8)，连接AC，D是抛物线对称轴上一动点，连接AD，CD，得到ACD（1）求该抛物线的函数解析式（2）

35、ACD周长能否取得最小值，如果能，请求出D点的坐标；如果不能，请说明理由（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E，使得ACE与ACD面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线的解析式为：yx23x8；（2）ACD周长能取得最小值，点D(3，5)；（3）存在，点E(1，4+11)或(1，4+11)【分析】（1）由抛物线过A(2，0)，点B(8，0)和C(0，8)，利用待定系数法可求解析式；（2）求ACD周长AD+AC+CD，AC是定值，当AD+CD取最小值时，ACD周长能取得最小值，点A，点B关于对称轴直线x3对称，连结BC交抛物线对称轴于D，利用待定系

36、数法可求BC解析式，把x=3代入即可求解点D坐标；（3）ACE与ACD面积相等，两个三角形同底，只要点E与点D到AC的距离相等即可，先求出AC解析式，由面积相等可得DEAC，利用待定系数法可求DE的解析式，与抛物线联立方程组可求解【详解】解：（1）由题意可得：，解得：，抛物线的解析式为：yx23x8；（2）ACD周长能取得最小值，点A（2，0），点B（8，0），对称轴为直线x3，ACD周长AD+AC+CD，AC是定值，当AD+CD取最小值时，ACD周长能取得最小值，点A，点B关于对称轴直线x3对称，连接BC交对称轴直线x3于点D，此时AD+CD有最小值，设直线BC解析式为：ykx8，08k8，

37、k1，直线BC解析式为：yx8，当x3，y5，点D（3，5）；（3）存在，点A（2，0），点C（0，8），直线AC解析式为y4x8，如图，ACE与ACD面积相等，DEAC，设DE解析式为：y4x+n，54×3+n，n7，DE解析式为：y4x+7，联立方程组可得：，解得：，点E（1，4+11）或（1，4+11）【点睛】本题考查抛物线解析式，三角形最短周长，和面积相等时抛物线上点的坐标问题，会用待定系数法求解析式，周长最短问题转化线段的和最短问题，会用过找对称点实现转化，利用底相同，高相同，转化平行线问题是解题关键1（广东梅州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=

38、x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上 （1）b =_，c =_，点B的坐标为_；（直接填写结果）（2）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标【答案】（1），（-1,0）；（2）存在P的坐标是或；（3）当EF最短时，点P的坐标是：（，）或（，）【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得点B的

39、坐标；（2）分别过点C和点A作AC的垂线，将抛物线与P1，P2两点先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A与抛物线的交点坐标即可；（3）连接OD先证明四边形OEDF为矩形，从而得到OD=EF，然后根据垂线段最短可求得点D的纵坐标，从而得到点P的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标【详解】解：（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b=2，c=3，抛物线的解析式为令，解得：，点B的坐标为（1，0）故答案为2；3；（1，0）（2）存在理由：如图所示：当ACP1=90°由（1）可知点A的坐标为（3，0）设AC的解析式为y=kx3将

40、点A的坐标代入得3k3=0，解得k=1，直线AC的解析式为y=x3，直线CP1的解析式为y=x3将y=x3与联立解得，（舍去），点P1的坐标为（1，4）当P2AC=90°时设AP2的解析式为y=x+b将x=3，y=0代入得：3+b=0，解得b=3，直线AP2的解析式为y=x+3将y=x+3与联立解得=2，=3（舍去），点P2的坐标为（2，5）综上所述，P的坐标是（1，4）或（2，5）（3）如图2所示：连接OD由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF根据垂线段最短，可得当ODAC时，OD最短，即EF最短由（1）可知，在RtAOC中，OC=OA=3，ODAC，D是AC的中点又DFO

41、C，DF=OC=，点P的纵坐标是，解得：x=，当EF最短时，点P的坐标是：（，）或（，）2（2020·湖北武汉·九年级一模）已知抛物线yax2bxc的顶点为D (，)，经过点C (0，1)，且与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)(1) 求抛物线的解析式：(2) P为抛物线上一点，连CP交OD于点Q，若SCOQSPDQ，求P点的横坐标；(3)点M为直线BC下方抛物线上一点，过M的直线与x轴、y轴分别交于E、F，且与抛物线有且只有一个公共点 若FCMOEF，求点M的坐标【答案】（1）yx23x1；（2）P的横坐标为；（3）点M的坐标为(，)或(2，2)【分析】（1）运用待定系数

42、法求解即可；（2）联立方程组求解即可；（3）根据直线EF与抛物线只有一个公共点求出M点横坐标，设直线CM的解析式为yx1，与抛物线联立，即可求出结论【详解】(1)抛物线的顶点为D (，)，设抛物线的顶点式为ya(x)2，把C (0，1)代入，得a(0)21，解得a 抛物线的解析式为y (x)2 亦即：yx23x1 (2) 连OP、DP、CD，由SCOQSPDQ，得SOCDSPDC，则CDOP 由C (0，1)、D (，)，可得直线CD为yx1 则直线OP的解析式为yx 与抛物线的解析式联立，得点P的横坐标为（舍去负值） (3) 设直线EF为ykxb，与抛物线yx23x1联立，得x2(k3)x1b0，直线EF与抛物线只有一个公共点，x1x2 (k3) 即M点横坐标xM (k3)FCMOEF，可得CMEF，故可设直线CM的解析式为yx