备考2022数学专题12 二次函数（解析版）.docx

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1、专题12 二次函数 专题知识回顾 1二次函数的概念：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c(a0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。抛物线叫做二次函数的一般式。2.二次函数y=ax2 +bx+c(a0)的图像与性质yxO（1）对称轴：（2）顶点坐标：（3）与y轴交点坐标（0，c）（4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小。3.二次函数的解析式三种形式。（1）一般式 y=ax2 +bx+c(a0).已知图像上三点或三对、的值，通常选择一

2、般式.（2）顶点式 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。（3）交点式 已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式。4根据图像判断a,b,c的符号（1）a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。（2）b 对称轴与a 左同右异。（3）抛物线与y轴交点坐标（0，c）5二次函数与一元二次方程的关系 抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a0）的根。抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图

3、像与x轴有两个交点；=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。6函数平移规律：左加右减、上加下减.图像平移步骤（1）配方为： ，确定顶点（h,k）（2）对x轴， 左加右减；对y轴， 上加下减。7.二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1, x2 其对应的纵坐标相等，那么对称轴专题典型题考法及解析 【例题1】（2019湖北荆州）二次函数y2x24x+5的最大值是 【答案】7【解析】y2x24x+52（x+1）2+7，即二次函数yx24x+5的最大值是7，故答案为：7【例题2】

4、（2019广西贺州）已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：；当时，正确的是（填写序号）【答案】【解析】根据图象可得：，对称轴：，故正确；把代入函数关系式中得：，由抛物线的对称轴是直线，且过点，可得当时，故错误；，即：，故正确；由图形可以直接看出正确故答案为：【例题3】（2019贵州省毕节市）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入已知某种士特产每袋成本10元试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030y（袋）252010若日销售量y是销售价x的一次函数

5、，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元【答案】见解析。【解析】根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式即可；利用每件利润×总销量总利润，进而求出二次函数最值即可（1） 依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为ykx+b得，解得故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：yx+40（2）依题意，设利润为w元，得w（x10）（x+40）x2+50x+400整理得

6、w（x25）2+22510当x2时，w取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元 专题典型训练题 一、选择题1.（2019广西河池）如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是ABCD【答案】【解析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.由抛物线的开口向下知，与轴的交点在轴的正半轴上，可得，因此，故本选项正确，不符合题意；.由抛物线与轴有两个交点，可得，故本选项正确，不符合题意；.由对称轴为，得，即，故本选项错误，符合

7、题意；.由对称轴为及抛物线过，可得抛物线与轴的另外一个交点是，所以，故本选项正确，不符合题意故选：2.（2019哈尔滨）将抛物线向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为（ ）A BC D【答案】B【解析】将抛物线y2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y2（x2）2+3，故选B3.（2019湖北咸宁）已知点A（1，m），B（1，m），C（2，mn）（n0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（）AyxBy=-2xCyx2Dyx2【答案】D【解析】A（1，m），B（1，m），点A与点B关于y轴对称；由于yx，y=-2x的图象关于原点对称，

8、因此选项A、B错误；n0，mnm；由B（1，m），C（2，mn）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，对于二次函数只有a0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，D选项正确。4.（2019年陕西省）已知抛物线，当时，且当时， y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）A B C D 【答案】C【解析】根据“当时，”，得到一个关于m不等式，在根据抛物线，可知抛物线开口向上，再在根据“当时， y的值随x值的增大而减小”，可知抛物线的对称轴在直线的右侧或者是直线，从而列出第二个关于m的不等式，两个不等式联立，即可解得答案因为抛物线，所以抛物线开口向上因为当时，所以 ，因为当时， y的值随x

9、值的增大而减小，所以可知抛物线的对称轴在直线的右侧或者是直线，所以，联立不等式，解得5.（2019广西梧州）已知，关于的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是ABCD【答案】A【解析】关于的一元二次方程的解为，可以看作二次函数与轴交点的横坐标，二次函数与轴交点坐标为，如图：当时，就是抛物线位于轴上方的部分，此时，或；又，；，故选：A6.（2019四川泸州）已知二次函数y（xa1）（xa+1）3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba1C1a2D1a2【答案】D【解析】y（xa1）（xa+1）3a+7x22ax+a23a+

10、6，抛物线与x轴没有公共点，（2a）24（a23a+6）0，解得a2，抛物线的对称轴为直线x=-2a2=a，抛物线开口向上，而当x1时，y随x的增大而减小，a1，实数a的取值范围是1a27.（2019四川省雅安市）在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2) 2+1，下列说法中错误的是（ ）Ay的最小值为1B图像顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2C当x2时，y的值随x值的增大而增大，当x2时，y的值随x值的增大而减小D它的图像可以由y=x2的图像向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到【答案】C【解析】根据二次函数的性质进行判断，由二次函数y=(x-2) 2+1，得它的顶点是（

11、2，1），对称轴为直线x=2，当x=2时，函数的最小值是1，图像开口向上，当x2时，y的值随x值的增大而增大，当x2时，y的值随x值的增大而减小，可由y=x2的图像向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以C是错误的，故选C二、填空题8.（2019黑龙江哈尔滨）二次函数的最大值是 【答案】8【解析】a10，y有最大值，当x6时，y有最大值8故答案为89. (2019黑龙江大庆)如图抛物线y(p>0),点F(0,p),直线l:yp,已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,AA1l,BB1l,垂足分别为A1,B1,连接A1F,B1F,

12、A1O,B1O,若A1Fa,B1Fb,则A1OB1的面积_(只用a,b表示).【答案】【解析】先由边相等得到A1FB190°,进而得到A1B1的长度,由等面积法得到点F到A1B1的距离,进而得到A1OB1的高,求出三角形面积.设Ax,则B180°x,由题可知,AA1AF,BB1BF,所以AFA1,BFB1,所以A1FB190°,所以A1FB1是直角三角形,A1B1,所以点F到A1B1的距离为,因为点F(0,p),直线l:yp,A1OB1的高为,所以A1OB1的面积··10.（2019江苏镇江）已知抛物线yax24ax4a1（a0）过点A(m，3

13、)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2a1的最小值是 【答案】【解析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据线段AB的长不大于4，求出a的取值范围，再利用二次函数的增减性求代数式a2a1的最小值yax24ax4a1a(x2)21，该抛物线的顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x2抛物线过点A(m，3)，B(n，3)两点，当y3时，a(x2)213，(x2)2，当a0时，x2±A(2，3)，B(2，3)AB2线段AB的长不大于4，24aa2a1(a)2，当a，(a2a1)min(a)211.（2019江苏镇江）已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则代数式的最

14、小值是【答案】【解析】抛物线过点，两点，线段的长不大于4，的最小值为：；故答案为12.（2019内蒙古赤峰）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：b0；ab+c0；一元二次方程ax2+bx+c+10（a0）有两个不相等的实数根；当x1或x3时，y0上述结论中正确的是 （填上所有正确结论的序号）【答案】【解析】由图可知，对称轴x1，与x轴的一个交点为（3，0），b2a，与x轴另一个交点（1，0），a0，b0；错误；当x1时，y0，ab+c0；正确；一元二次方程ax2+bx+c+10可以看作函数yax2+bx+c与y1的交点，由图象可知函数yax2+bx+c与y1有两个不同的

15、交点，一元二次方程ax2+bx+c+10（a0）有两个不相等的实数根；正确；由图象可知，y0时，x1或x3正确；故答案为三、解答题13.（2019北京市）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围【答案】见解析。【解析】先求出A点的坐标为，由平移规律求得点B的坐标；由A、B两点的纵坐标相同，得A、B为对称点进而求出抛物线对称轴方程；根据a的符号分类讨论分析解答即可.（1）当x=0时，抛物线；抛物线与y轴交点A点

16、的坐标为，由点A向右平移2个单位长度得点B的坐标为；即.（2） 由A、B两点的纵坐标相同，得A、B为对称点.抛物线对称轴方程为；即直线.（3） 当时，. 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以线段PQ和抛物线没有交点.当时，. 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰好有一个公共点，此时，即. 综上所述：当时，抛物线与线段PQ恰好有一个公共点.14.（2019辽宁本溪）工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（

17、元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系.（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？【答案】见解析。【解析】本题主要考查一次函数和二次函数的应用.认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数；根据利润=（售价-成本）×件数，列出利润的表达式，求出最值（1） 当0x20且x为整数时，y=40；当20x60且x为整数时，y=-x+50；当x60且x为整数时，y=20；（2）设所获利润w（元），当0x20且x为整数时，y=40，w=

18、(40-16)×20=480元，当0x20且x为整数时，y=40，当20x60且x为整数时，y=-x+50，w=(y-16)x=(-x+50-16)x，w=-x2+34x，w=-（x-34）2+578，-0，当x=34时，w最大，最大值为578元答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元15（2019湘潭）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额

19、为2800元，平均每天的总利润为1280元（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？【答案】见解析。【解析】根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，列二元一次方程组即可解题；根据题意，可设A种礼盒降价m元/盒，则A种礼盒的销售量为：（10+）盒，再列出关系式即可（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，则有，解得故该店平均每天销售A礼盒10盒，B种礼盒为20盒（2）设A种湘莲礼盒降价m元/盒

20、，利润为W元，依题意总利润W（120m72）（10+）+800化简得Wm2+6m+1280（m9）2+1307a0当m9时，取得最大值为1307，故当A种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元16. （2019广西省贵港市）如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点（1）求抛物线的表达式；（2）写出点的坐标并求直线的表达式；（3）设动点，分别在抛物线和对称轴上，当以，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标【答案】见解析。【解析】函数表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可（1）函数表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：；（2）、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式得：，解得：，故直线的表达式为：；（3）设点、点，当是平行四边形的一条边时，点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，即：，解得：，故点、的坐标分别为、；当是平行四边形的对角线时，由中点定理得：，解得：，故点、的坐标分别为、；故点、的坐标分别为或、或