备考2022数学专题03 相似三角形的存在性问题(解析版).doc

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1、玩转压轴题，争取满分之备战2018年中考数学解答题高端精品专题三 相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。应用判定

2、定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题： 1、若题目中问题为ABCDEF ，则对应线段已经确定。 2、若题目中为ABC与 DEF相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：ABCDEF ,ABCFDE、 ABCEFD、 3、若题目中为ABC与 DEF并且有 A、 D（或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：、ABCDEF ，、ABCDFE 需要分类讨论上述的各种情况。【典例指引】类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】 典例指引1（

3、2019·贵州中考真题）如图，抛物线与直线分别相交于，两点，且此抛物线与轴的一个交点为，连接，已知，（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴上找一点，使的值最大，并求出这个最大值；（3）点为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）点M的坐标为（，）时，取最大值为；（3）存在点【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据三角形的三边关系可知：当点、三点共线时，可使的值最大，据此求解即可；（3）先求得，再过点作于点，过点作轴于点，如图，这样就把以

4、，为顶点的三角形与相似问题转化为以，为顶点的三角形与相似的问题，再分当时与时两种情况，分别求解即可【详解】解：（1）将，代入得：，解得：，抛物线的解析式是；（2）解方程组：，得，当点、三点不共线时，根据三角形三边关系得，当点、三点共线时，当点、三点共线时，取最大值，即为的长，如图，过点作BEx轴于点，则在中，由勾股定理得：，取最大值为；易求得直线BC的解析式为：y=x3，抛物线的对称轴是直线，当时，点M的坐标为（，）；点M的坐标为（，）时，取最大值为；（3）存在点，使得以、为顶点的三角形与相似设点坐标为，在中，在中，过点作于点，过点作轴于点，如图，当时，解得，（舍去）点的纵坐标为，点为；当时，

5、解得（舍去），（舍去），此时无符合条件的点；综上所述，存在点【名师点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，主要考查待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、两函数的交点和线段差的最值等问题，其中（1）题是基础题型，（2）题的求解需运用三角形的三边关系，（3）题要注意分类求解，避免遗漏，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法【举一反三】（2019·海南模拟）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线 相交于C、D两点，点P是抛物线

6、上的动点且位于x轴下方，直线PMy轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；连结PB，过点C作CQPM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得CNQ与PBM相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2） ； 存在，（2，）或（，）【解析】【详解】试题分析：（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设出P点坐标，则可表示出M、N的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C、D的坐标，过C、D作PN的垂线，可用t表示出PCD的面积，利用二

7、次函数的性质可求得其最大值；当CNQ与PBM相似时有 或两种情况，利用P点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标试题解析：（1）抛物线经过点A（1，0）和点B（5，0）， ，解得 该抛物线对应的函数解析式为 ；（2）点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，可设P（t，）（1t5），直线PMy轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，M（t，0），N（t，），.联立直线CD与抛物线解析式可得 ，解得 或，C（0，3），D（7， ），分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图1，则CE=t，DF=7t， ，当时，PCD的面积有最大值，最大值为；存在CQN=PMB=9

8、0°，当CNQ与PBM相似时，有 或两种情况，CQPM，垂足为Q，Q（t，3），且C（0，3），N（t， ），CQ=t， ，P（t，），M（t，0），B（5，0），BM=5t，当时，则，即，解得t=2或t=5（舍去），此时P（2， ）；当时，则，即，解得或（舍去），此时P（，）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为P（2，）或（，）类型二 【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】 典例指引2（2019年广东模拟）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系

9、，抛物线经过O，D，C三点.(1)求AD的长及抛物线的解析式；(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与ADE相似？(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）根据折叠图形的轴对称性，CED、CBD全等，首先在RtCEO中求出OE的长，进而可得到AE的长

10、；在RtAED中，AD=AB-BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由于DEC=90°，首先能确定的是AED=OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似，那么QPC=90°或PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值；（3）由于以M，N，C，E为顶点的四边形，边和对角线都没明确指出，所以要分情况进行讨论：EC做平行四边形的对角线，那么EC、MN必互相平分，由于EC的中点正好在抛物线对称轴上，所以M点一定是抛物线的顶点；EC做平行四边形的边，那么E

11、C、MN平行且相等，首先设出点N的坐标，然后结合E、C的横、纵坐标差表示出M点坐标，再将点M代入抛物线的解析式中，即可确定M、N的坐标试题解析：（1）四边形ABCO为矩形，OAB=AOC=B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10，由题意，得BDCEDC，B=DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD，由勾股定理易得EO=6，AE=106=4，设AD=x，则BD=ED=8x，由勾股定理，得 ， 解得，x=3，AD=3，抛物线过点D（3, 10），C（8, 0），O（0, 0），解得 ，抛物线的解析式为： ；（2）DEA+OEC=90°，OCE+OEC=90&#

12、176;，DEA=OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5，而CQ=t，EP=2t，PC=102t，当PQC=DAE=90°，ADEQPC， ，即 ， 解得， 当QPC=DAE=90°，ADEPQC， ，即 ， 解得， 当或时，以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似；（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点； 则： ；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则； EC为平行四边形的边，则EC/MN，EC =MN，设N（

13、4，m），则M（48，m+6）或M（4+8，m6）； 将M（4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=38，此时 N（4，38）、M（4，32）；将M（12，m6）代入抛物线的解析式中，得：m=26，此时 N（4，26）、M（12，32）；综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为： ， ； ， ；， 【名师点睛】本题考查了二次函数综合题，题目涉及了图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识后两问的情况较多，需要进行分类讨论，以免漏解【举一反三】（2019·湖南模拟）如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x2+bx+c经

14、过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，APQ为直角三角形；（3）过点P作PEy轴，交AB于点E，过点Q作QFy轴，交抛物线于点F，连接EF，当EFPQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）t=1或t=；（3）点F的坐标为（

15、2，3）（4）【解析】【详解】试题分析：（1）先由直线AB的解析式为y=-x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由直线与两坐标轴的交点可知：QAP=45°，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3-t，然后再图、图中利用特殊锐角三角函数值列出关于t的方程求解即可；（3）设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），则EP=3-t，点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），则FQ=3t-t2，EPFQ，EFPQ，所以四边形为平行线

16、四边形，由平行四边形的性质可知EP=FQ，从而的到关于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后将t=1代入即可求得点F的坐标；（4）设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3-t），然后由抛物线的解析式求得点M的坐标，从而可求得MB的长度，然后根据相似相似三角形的性质建立关于t的方程，然后即可解得t的值试题解析：（1）y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），将A（3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c，得，解得抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）OA=OB=3，BOA=90°，Q

17、AP=45°如图所示：PQA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3-t在RtPQA中，即：，解得：t=1；如图所示：QPA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3-t在RtPQA中，即：，解得：t=综上所述，当t=1或t=时，PQA是直角三角形；（3）如图所示：设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），则EP=3-t，点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），则FQ=3t-t2EPFQ，EFPQ，EP=FQ即：3-t=3t-t2解得：t1=1，t2=3（舍去）将t=1代入F（3-t，

18、-（3-t）2+2（3-t）+3），得点F的坐标为（2，3）（4）如图所示：设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3-t）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，点M的坐标为（1，4）MB=当BOPQBM时，即：，整理得：t2-3t+3=0，=32-4×1×30，无解：当BOPMBQ时，即：，解得t=当t=时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似类型三 【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】 典例指引3（2019·江苏中考真题）如图，二次函数图象的顶点为，对称轴是直线，一次函数的图象与轴交于点，且与直线关于的对称直线交于点（1）点

19、的坐标是 _；（2）直线与直线交于点，是线段上一点（不与点、重合），点的纵坐标为过点作直线与线段、分别交于点，使得与相似当时，求的长；若对于每一个确定的的值，有且只有一个与相似，请直接写出的取值范围 _【答案】（1）；（2）；.【解析】【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C（2，），A（-，0），点A关于对称轴对称的点（，0），借助AD的直线解析式求得B（5，3）；当n=时，N（2，），可求DA=，DN=，CD=，当PQAB时，DPQDAB，DP=9；当PQ与AB不平行时，DP=9；当PQAB，DB=DP时，DB=3，DN=，所以N（2，），则有且只有一个DPQ与DAB

20、相似时，n.【详解】（1）顶点为；故答案为；（2）对称轴，由已知可求，点关于对称点为，则关于对称的直线为，当时，当时，；当与不平行时，；综上所述；当，时，有且只有一个与相似时，；故答案为；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键【举一反三】（2018武汉中考）抛物线L：y=x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kxk+4（k0）与抛物线L交于点M、N若BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m0）个单位长度得到抛

21、物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点DF为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点若PCD与POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标【答案】（1）y=x2+2x+1；（2）-3；（3）当m=221时，点P的坐标为（0，2）和（0，223）；当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）【解析】【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）利用待定系数法进行求解可即得；（2）根据直线y=kxk+4=k（x1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出BG=2，由SBMN=SBNGSBMG=12BGxN12B

22、GxM=1得出xNxM=1，联立直线和抛物线解析式求得x=2-k±k2-82，根据xNxM=1列出关于k的方程，解之可得；（3）设抛物线L1的解析式为y=x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分PCDPOF和PCDPOF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得【详解】（1）由题意知-b2×-1=1c=1，解得：b=2c=1，抛物线L的解析式为y=x2+2x+1；（2）如图1，设M点的横坐标为xM，N点的横坐标为xN，y=kxk+4=k（x1）+4，当x=1时，y=

23、4，即该直线所过定点G坐标为（1，4），y=x2+2x+1=（x1）2+2，点B（1，2），则BG=2，SBMN=1，即SBNGSBMG=12BG（xN1）-12BG（xM-1）=1，xNxM=1，由y=kx-k+4y=-x2-2x+1得：x2+（k2）xk+3=0，解得：x=2-k±k-22-43-k2=2-k±k2-82，则xN=2-k+k2-82、xM=2-k-k2-82，由xNxM=1得k2-8=1，k=±3，k0，k=3；（3）如图2，设抛物线L1的解析式为y=x2+2x+1+m，C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），设P（0，t），（a）当

24、PCDFOP时，PCCD=FOOP，1+m-t2=1t，t2（1+m）t+2=0；(b)当PCDPOF时，PCCD=POOF，1+m-t2=t1，t=13（m+1）；（）当方程有两个相等实数根时，=（1+m）28=0，解得：m=221（负值舍去），此时方程有两个相等实数根t1=t2=2，方程有一个实数根t=223，m=221，此时点P的坐标为（0，2）和（0，223）；（）当方程有两个不相等的实数根时，把代入，得：19（m+1）213（m+1）+2=0，解得：m=2（负值舍去），此时，方程有两个不相等的实数根t1=1、t2=2，方程有一个实数根t=1，m=2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，

25、2）；综上，当m=221时，点P的坐标为（0，2）和（0，223）；当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）【新题训练】1（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初三月考）如图1，已知抛物线；C1：y（x+2）（xm）（m0）与x轴交于点B、C（点B在点C的左侧），与y轴交于点E（1）求点B、点C的坐标；（2）当BCE的面积为6时，若点G的坐标为（0，b），在抛物线C1的对称轴上是否存在点H，使得BGH的周长最小，若存在，则求点H的坐标（用含b的式子表示）；若不存在，则请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若

26、存在，求m的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）点B、C的坐标分别为：（2，0）、（m，0）；（2）存在，点H（1，b）；（3）存在，m2【详解】解：（1），令y0，则x2或m，故点B、C的坐标分别为：（2，0）、（m，0）；（2）存在，理由：，令x0，则y2，故点E（0，2），BCE的面积为： ，解得：m4，则抛物线的对称轴为： ，点B关于函数对称轴的对称点为点C（m，0），连接CE交对称轴于点H，则点H为所求，将点C、E的坐标代入一次函数表达式并解得：直线CE的表达式为： ，当x1时, ，故点H（1，b）；（3）OEOB2，故EBO45°，过点F作FTx轴于点F；当BECBCF

27、时，则BC2BEBF，FBOEBO45°，则直线BF的函数表达式为：yx2，故点F（x，x2）；将点F的坐标代入抛物线表达式得： 解得：x2（舍去）或2m，故点F（2m，2m2），则 BC2BEBF，则 解得： （舍去负值），故当BECFCB时，则BC2BFEC，CBFECO，则BFTCOE，则 ，则点 将点F的坐标代入抛物线表达式得： 解得：x2（舍去）或m+2；则点 BC2BFEC，则 化简得：m3+4m2+4mm3+4m2+4m+16，此方程无解；综上，m22（2020·浙江初三期末）边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点是边的中点，连接，点在第一象限，

28、且，.以直线为对称轴的抛物线过，两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点从点出发，沿射线每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为秒.过点作于点，当为何值时，以点，为顶点的三角形与相似？（3）点为直线上一动点，点为抛物线上一动点，是否存在点，使得以点，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）或时，以点，为顶点的三角形与相似；（3）存在，四边形是平行四边形时，；四边形是平行四边形时，；四边形是平行四边形时，【详解】解：（1）过点作轴于点.四边形是边长为2的正方形，是的中点，.，.，.在和中，.点的坐标为.抛物线的对称轴为直线即直线，

29、可设抛物线的解析式为，将、点的坐标代入解析式，得，解得.抛物线的解析式为；（2）若，则，四边形是矩形，；若，则，.，.，.，综上所述：或时，以点，为顶点的三角形与相似：（3）存在，若以DE为平行四边形的对角线，如图2，此时，N点就是抛物线的顶点（2，），由N、E两点坐标可求得直线NE的解析式为：yx；DMEN，设DM的解析式为：yxb，将D（1，0）代入可求得b，DM的解析式为：yx，令x2，则y，M（2，）；过点C作CMDE交抛物线对称轴于点M，连接ME，如图3，CMDE，DECD，CMCD，OCCB，OCDBCM，在OCD和BCM中，OCDBCM（ASA），CMCDDE，BMOD1，CDE

30、M是平行四边形，即N点与C占重合，N（0，2），M（2，3）；N点在抛物线对称轴右侧，MNDE，如图4，作NGBA于点G，延长DM交BN于点H，MNED是平行四边形，MDEMNE，ENHDHB，BNDF，ADHDHBENH，MNBEDF，在BMN和FED中BMNFED（AAS），BMEF1，BNDF2，M（2，1），N（4，2）；综上所述，四边形是平行四边形时，；四边形是平行四边形时，；四边形是平行四边形时，.3（2020·长沙市长郡双语实验中学初三开学考试）如图，抛物线yax22ax+c的图象经过点C（0，2），顶点D的坐标为（1，），与x轴交于A、B两点（1）求抛物线的解析式（2

31、）连接AC，E为直线AC上一点，当AOCAEB时，求点E的坐标和的值（3）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）E（，）；（3）（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，）【详解】（1）由题可列方程组：，解得：抛物线解析式为：yx2x2； （2）由题意和勾股定理得，AOC90°，AC，AB4，设直线AC的解析式为：ykx+b，则，解得：，直线AC的解析式为：y2x2；当AOCAEB时（）2（）2，SAOC1，SAEB，AB×|yE|，AB4，

32、则yE，则点E（，）；由AOCAEB得：；（3）如图2，连接BF，过点F作FGAC于G，则FGCFsinFCGCF，CF+BFGF+BFBE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知ABEACO|y|OBtanABEOBtanACO3×，当y时，即点F（0，），CF+BF有最小值；当点Q为直角顶点时（如图3） F（0，），C（0，2）H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QMy轴于点M则RtQHMRtFQMQM2HMFM，12（2m）（m+），解得：m，则点Q（1，）或（1，）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，）；

33、综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，）4（2019·贵州初三）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），ACx轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1) 抛物线的解析式为y=x2-2x+1，(2) 四边形AECP的面积的最大值

34、是，点P（，）；(3) Q（4,1）或（-3，1）.【详解】解：(1)将A(0，1)，B(9，10)代入函数解析式得：×819bc10，c1，解得b2，c1，所以抛物线的解析式yx22x1；(2)ACx轴，A(0，1)，x22x11，解得x16，x20(舍)，即C点坐标为(6，1)，点A(0，1)，点B(9，10)，直线AB的解析式为yx1，设P(m，m22m1)，E(m，m1)，PEm1(m22m1)m23m.ACPE，AC6，S四边形AECPSAECSAPCACEFACPFAC(EFPF)ACEP×6(m23m)m29m.0<m<6，当m时，四边形AECP的

35、面积最大值是，此时P()；(3)yx22x1(x3)22，P(3，2)，PFyFyp3，CFxFxC3，PFCF，PCF45，同理可得EAF45，PCFEAF，在直线AC上存在满足条件的点Q，设Q(t，1)且AB，AC6，CP，以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似，当CPQABC时，CQ:ACCP:AB，(6t):6，解得t4，所以Q(4，1)；当CQPABC时，CQ:ABCP:AC，(6t)6，解得t3，所以Q(3，1).综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似，Q点的坐标为(4，1)或(3，1).5（2020·河南初三）

36、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PEx轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）PG=；（3）存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与DEH相似，此时m的值为1或【详解】解：（1）抛物线与x轴交于点A

37、（1，0），与y轴交于点B（0，4），解得.抛物线的解析式为.（2）E（m，0），B（0，4），PEx轴交抛物线于点P，交BC于点G，P（m，），G（m，4）.PG=.（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与DEH相似，当y=0时，解得x=1或3.D（3，0）当点P在直线BC上方时，3m0设直线BD的解析式为y=kx+4，将D（3，0）代入，得3k+4=0，解得k=.直线BD的解析式为y=x+4. H（m，m+4）分两种情况：如果BGPDEH，那么，即.由3m0，解得m=1.如果PGBDEH，那么，即.由3m0，解得m=综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、

38、B、G为顶点的三角形与DEH相似，此时m的值为1或6（2020·浙江初三期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，将直线绕着点顺时针旋转的度数后与该抛物线交于两点（点在点的左侧），点是该抛物线上一点（1）若，求直线的函数表达式（2）若点将线段分成的两部分，求点的坐标（3）如图，在（1）的条件下，若点在轴左侧，过点作直线轴，点是直线上一点，且位于轴左侧，当以，为顶点的三角形与相似时，求的坐标【答案】（1）；（2）或；（3），【详解】（1）如图，设直线AB与x轴的交点为MOPA=45°，OM=OP=2，即M（-2，0）设直线AB的解析式为y=kx+b（k0），将M（

39、-2，0），P（0，2）两点坐标代入，得，解得，故直线AB的解析式为y=x+2；（2）设（a0）点A、点B在直线y=x+2上和抛物线y=x2的图象上，解得，（舍去）设（a0）点A、点B在直线y=x+2上和抛物线y=x2的图象上，解得：，（舍去）综上或（3），此时，关于轴对称，为等腰直角三角形此时满足，左侧还有也满足，四点共圆，易得圆心为中点设，且不与重合，为正三角形，过作，则，解得，解得，综上所述，满足条件的点M的坐标为：，.7（2020·上海初三）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A（1）求抛物线的表达式及点A的坐

40、标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQOA，交线段OA的延长线于点Q，如果PAB45°求证：PQAACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F恰好在上述抛物线上，求FF的长【答案】（1）yx2x+5，点A坐标为（0，5）；（2）详见解析；（3）【详解】解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式yx2+mx+n，得解得，m，n5，则抛物线的解析式为：yx2x+5，点A坐标为（0，5）；（2）AC，BC，AB，AC2+BC2AB2，ABC为直角三角形，且ACB90°，当PAB45°时，点P只能在点B右侧，过点

41、P作PQy 轴于点Q，QAB+OAB180°PAB135°，QAP+CAB135°OAC90°，QAP+QPA90°，QPACAB，又AQPACB90°，PQAACB；（3）做点B关于AC的对称点B'，则A，F'，B'三点共线，由于ACBC，根据对称性知点B'（4，1），将B'（4，1）代入直线ykx+5，k，yAB'x+5，联立解得，x1，x20（舍去），则F'（，），将B（6，1），B'（4，1）代入直线ymx+n，得，解得，yBB'x5，由题意知，kFF&#

42、39;KBB'，设yFF'x+b，将点F'（，）代入，得，b，yFF'x，联立解得，F（，），则FF'8（2019·江苏初三期末）如图，抛物线yax25axc（a0）与x轴负半轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，过D作DHx轴于点H，延长DH交AC于点E，且SABD：SACB9：16，（1）求A、B两点的坐标；（2）若DBH与BEH相似，试求抛物线的解析式【答案】(1) ;(2) 见解析.【解析】【详解】解：（1） C(0，c) OC=-c，DH= SABD：SACB916 （2） EHOC AEHACO DBH与BEH相似 BDH=EBH, 又BHD=BHE=90°DBHBEH （舍去正值） 9（2019·湖南中考模拟）如图，顶点坐标为（2，1）的抛物线yax2+bx+c（a0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求ACD的面积；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x2-4x+3；（2）ASAC