备考2022年中考数学专题18 “手拉手”模型（解析版）.docx

《备考2022年中考数学专题18 “手拉手”模型（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备考2022年中考数学专题18 “手拉手”模型（解析版）.docx（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、中考常考几何模型专题18 “手拉手”模型如图，ABC 是等腰三角形、ADE 是等腰三角形，AB=AC，AD=AE， BAC=DAE=。结论：BADCAE。1（2020黄冈中学自主招生）如图，在线段AE同侧作两个等边三角形ABC和CDE（ACE120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则CPM是（）A钝角三角形B直角三角形C等边三角形D非等腰三角形【点睛】首先根据等边三角形的性质，得出ACBC，CDCE，ACBECD60°，则BCEACD，从而根据SAS证明BCEACD，得CBECAD，BEAD；再由点P与点M分别是线段BE和AD的中点，得BPAM，根据SAS证明BC

2、PACM，得PCMC，BCPACM，则PCMACB60°，从而证明该三角形是等边三角形【解析】解：ABC和CDE都是等边三角形，ACBC，CDCE，ACBECD60°BCEACDBCEACDCBECAD，BEAD又点P与点M分别是线段BE和AD的中点，BPAMBCPACMPCMC，BCPACMPCMACB60°CPM是等边三角形故选：C2（2019雨花区校级期末）如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形ABD和BCE，连接AE，CD与GF，下列结论正确的有（）AEDC；AHC120°；AGBDFB；BH平分AHC；GFACABCD【点睛】根据等

3、边三角形的性质得到BABD，BEBC，ABDCBE60°，则可根据”SAS“判定ABEDBC，所以AEDC，于是可对进行判断；根据全等三角形的性质得到BAEBDC，则可得到BAH+BCH60°，从而根据三角形内角和得到AHC120°，则可对进行判断；利用”ASA”可证明AGBDFB，从而可对进行判断；利用ABEDBC得到AE和DC边上的高相等，则根据角平分线的性质定理逆定理可对进行判断；证明BGF为等边三角形得到BGF60°，则ABGBGF，所以GFAC，从而可对进行判断【解析】解：ABD和BCE都是等边三角形，BABD，BEBC，ABDCBE60

4、76;，DBE180°60°60°60°，ABEDBC120°，BABD，ABDDBC，BEBC，ABEDBC（SAS），AEDC，所以正确；BAEBDC，BDC+BCDABD60°，BAE+BCD60°，AHC180°（BAH+BCH）180°60°120°，所以正确；BAGBDF，BABD，ABGDBF60°，AGBDFB（ASA）；所以正确；ABEDBC，AE和DC边上的高相等，即B点到AE和DC的距离相等，BH平分AHC，所以正确；AGBDFB，BGBF，GBF60&

5、#176;，BGF为等边三角形，BGF60°，ABGBGF，GFAC，所以正确故选：D3如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H问：（1）ADGCDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE？（如果你知道勾股定理的话，请问线段AC、GE、AE、CG有什么数量关系？）【点睛】（1）由四边形ABCD与DEFG是正方形，可得ADCD，ADCGDE90°，进而得出ADGCDE，DGDE，然后由SAS即可判定ADGCDE；（2）根据全等三角形的性质则可证得AGCE；（3）根据全等三角形的性质和角的关系即可

6、得出夹角是90°；（4）根据全等三角形的性质和三角形的面积解答即可【解析】解：（1）ABCD和DEFG是正方形，ADCD，DGDE，且ADCGDE90°，ADGCDE，在ADG与CDE中，AD=CDADG=CDEDG=DE，ADGCDE（SAS），（2）ADGCDE，AGCE；（3）CE与DG交点为O，ADGCDE，DECAGD，DEC+DOE90°，AGD+DOE90°AGD+GOH，GHE90°；（4）过点D作MDAG，DNCE，ADGCDE，SDCESADG，12×CE×DN=12×AG×DM，DM

7、DN，且MDAG，DNCE，DH平分AHE，由勾股定理可得：AC2+GE2AE2+CG24如果两个等边三角形ABD和BCE，连接AE与CD，证明：（1）AE与DC的夹角为60°；（2）AE与DC的交点设为H，BH平分AHC【点睛】（1）根据等边三角形性质得出ABBD，BCBE，ABDCBE60°，求出ABEDBC根据SAS证ABEDBC，则BDCBAE，根据三角形的内角和定理可求出AHD60°；（2）过点B分别作BMCD，BNAE，垂足为点M，N根据三角形的面积公式求出ANAM，根据角平分线性质求出即可【解析】证明：（1）ABD和BCE是等边三角形，ABBD，BC

8、BE，ABDCBE60°，ABEDBC，在ABE和DBC中，AB=BDABE=DBCBC=BE，ABEDBC，AEDC，BDCBAE，BDC+ADCBAE+ADCBDA60°，在ADH中，AHD180°ADCDABBAE180°ADC（DAB+BAE）180°60°60°60°；（2）过点B分别作BMCD，BNAE，垂足为点M，N由（1）知：ABEDBC，SABESDBC12×CD×BM=12×AE×BNBMBN点B在DHE的平分线上，BH平分AHC5（2019崇川区校级月考

9、）如图，在ABC中，ABCB，BACBCA，ABC90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AECF（1）求证：RtABERtCBF；（2）求证：AECF；（3）若CAE30°，求ACF度数【点睛】（1）由“HL”可证RtABERtCBF；（2）根据RtABERtCBF，可以得到BCFBAE，由直角三角形的性质可得结论；（3）由三角形内角和定理可以得到ACF的度数【解析】证明：（1）ABC90°，ABECBF90°，在RtABE和RtCBF中，AB=BCAE=CF，RtABERtCBF（HL）；（2）如图，RtABERtCBF，BCFBAE，BCF+

10、F90°，BAE+F90°，AHF90°，AFCF；（3）AHF90°，EAC30°，ACF60°6（2019永春校级月考）判定一个三角形是不是等腰三角形，我们经常利用以下的判定方法：“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”，请你利用以上判定方法解决下列问题如图1，在ABC中，ACB90°，B30°，将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为（0°180°），得到ABC（1）当旋转角为20°，ABC30°；（2）当ABCB时，设AB与CB相交于点D，求证：D是AB

11、的中点；（3）如图2，E是AC边上的点，且AE=13AC，P是AB边上的点，且APC60°，连接EP，已知AC，当120°时，EP长度最大，最大值为53a【点睛】（1）根据旋转的性质，旋转前后两个图形全等，则A'B'CB，据此求解；（2）根据平行的性质证明BCB'B'，然后证明A'DCA'，根据等角对等边即可证得；（3）APC60°时易证A'CP是等边三角形，当A、C、P在一条直线上时，EP的长度最大，据此即可求解【解析】解：（1）A'B'CB30°；（2）ABCB，BCB'

12、B30°，又B'30°，BCB'B'30°，A'DCBCB'+B'60°，CDB'D，CA'DA'DC60°，A'DCD，A'DB'D，即D是A'B'的中点；（3）APC60°，A'A60°，A'CP是等边三角形CPCA'a，A'CP60°，当180°60°120°时，EP长度最大，最大值为23a+a=53a故答案是：120，53a7等边ABD

13、和等边BCE如图所示，连接AE与CD，证明：（1）AEDC；（2）AE与DC的夹角为60°；（3）AE延长线与DC的交点设为H，求证：BH平分AHC【点睛】（1）根据ABD和BCE都是等边三角形，即可得到ABEDBC（SAS），进而得出AEDC；（2）根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到ADH中，AHD60°，进而得到AE与DC的夹角为60°；（3）过B作BFDC于F，BGAH于G，根据全等三角形的面积相等，即可得到BGBF，再根据BFDC于F，BGAH于G，可得BH平分AHC【解析】证明：（1）ABD和BCE都是等边三角形，ABDB，EBCB，AB

14、DEBC，ABEDBC，在ABE和DBC中，AB=DBABE=DBCEB=CB，ABEDBC（SAS），AEDC；（2）ABEDBC，BAEBDC，又BAE+HAD+ADB120°，BDC+HAD+ADB120°，ADH中，AHD180°120°60°，即AE与DC的夹角为60°；（3）如图，过B作BFDC于F，BGAH于G，ABEDBC，SABESDBC，即12AE×BG=12DC×BF，又AEDC，BGBF，又BFDC于F，BGAH于G，BH平分AHC8（2020房山区校级月考）将等腰RtABC和等腰RtADE

15、按图1方式放置，A90°，AD边与AB边重合，AB2AD4将ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度（0°180°），BD的延长线交直线CE于点P（1）如图1，BD与CE的数量关系是BDEC，位置关系是BDCE；（2）在旋转的过程中，当ADBD时，求出CP的长；（3）在此旋转过程中，求点P运动的路线长【点睛】（1）利用三角形中位线性质以及等腰直角三角形的性质得出即可；（2）首先得出ABDACE（SAS），进而求出四边形ADPE为正方形，即可得出CP的长；（3）由（2）知，当60°时，PBA最大，且PBA30°，此时AOP60°，得出点P运动

16、的路线是以O为圆心，OA长为半径的AP+PA，进而利用弧长公式求出即可【解析】解：（1）BDEC，BDCE；理由：等腰RtABC和等腰RtADE按图1方式放置，A90°，AD边与AB边重合，AB2AD4，D，E分别是AB和AC的中点，故BDECADAE，BDCE；故答案为：BDEC，BDCE；（2）如图3所示：ABC和ADE都是等腰三角形，ABAC，ADAE，BACDAE90°，BADCAE，在ABD和ACE中，AB=ACBAD=CAEAD=AE，ABDACE（SAS），ABDACE，12，BPCE，ADBP，DAE90°，ADAE，四边形ADPE为正方形，ADP

17、E2，ADB90°，AD2，AB4，ABD30°，BDCE23，CPCEPE23-2；（3）如图4，取BC的中点O，连接OP、OA，BPCBAC90°，OPOA=12BC22，在此旋转过程中（0°180°），由（2）知，当60°时，ADPB，由AD的长度为定值2，则此时PBA最大，且PBA30°，此时AOP60°，点P运动的路线是以O为圆心，OA长为半径的AP+PA，点P运动的路线长为：l=AP+PA=2AP=60××22180×2=4239（2019裕华区校级期末）阅读情境：在综合实

18、践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题如图1，ABCADE，其中BD90°，ABBCADDE2，此时，点C与点E重合，操作探究1（1）小凡将图1中的两个全等的ABC和ADE按图2方式摆放，点B落在AE上，CB所在直线交DE所在直线于点M，连结AM，求证：BMDM操作探究2（2）小彬将图1中的ABC绕点A按逆时针方向旋转角度a（0°a90°），然后，分别延长BC，DE，它们相交于点F如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：a30°时，求证：CEF为等边三角形；当a45°时，ACFE（直接回答即可）操作探究3（3）小颖将图1中的

19、ABC绕点A按顺时针方向旋转角度（0°90°），线段BC和DE相交于点F，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：如图4，当60°时，直接写出线段CE的长为22；如图5，当旋转到点F是边DE的中点时，直接写出线段CE的长为455【点睛】（1）根据HL证明RtAMBRtAMD即可解决问题（2）想办法证明FCEFEC60°即可解决问题根据平行线的判定定理即可解决问题（3）连接EC，证明AEC是等边三角形，利用勾股定理求出AE即可解决问题如图5中，连接AF，BD交于点O首先证明ECBD，再证明OBOD，利用面积法求出OB即可解决问题【解析】（1）证明：如图2中，

20、ABMD90°，AMAM，ABAD，RtAMBRtAMD（HL），BMDM（2）证明：如图3中，CAAE，CAE30°，ACEAEC75°，ABBCADDE，BD90°ACBAED45°，BCECDE120°，FCEFEC60°，EFC是等边三角形解：ACEF，CAEAED45°，当45°时，ACEF故答案为45°（3）解：如图4中，连接ECEAC60°，AEAC，AEC是等边三角形，ADDE2，ADE90°，AE=AD2+DE2=22+22=22，ECAE22故答案为22解：如图5中，连接AF，BD交于点OABFADF90°，AFAF，ABAD，RtABFRtADF（HL），BFDF，DFEF1，BFDF1，BC2，BFCF1，BFCFDFEF，BFDCFE，BFDCFE（SAS），ECBDABAD，FBFD，AF垂直平分线段BD，OBOD，在RtABF中，ABF90°，AB2，BF1，AF=AB2+BF2=22+12=5，SABF=12ABBF=12OBAF，OB=ABBFAF=255，BD2OB=455，ECBD=455故答案为455