备考2022数学第1关 以几何图形中的动点最值问题为背景的选择填空题(解析版).docx
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1、第1关 以几何图形中的动点最值问题为背景的选择填空题【考查知识点】 “两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”。原型-“饮马问题”,“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”,出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。【解题思路】找点关于线的对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.求线段和的最小值需要用到三个基本知识:两点之间,线段最短;轴对称的性质;线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.常见情况有三种:“两点一线”型、“一点两线”型和“两点连线” 型.平面上最短路径问题:(1)归于“两点之间的连
2、线中,线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时,大都应用这一模型。(2)归于“三角形两边之差小于第三边”。凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时,大都应用这一模型。 (3)平面图形中,直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题。【典型例题】【例1】如图,是等边三角形,点、分别为边、上的动点,当的周长最小时,的度数是_.【答案】【解析】先作点D关于AC和BC的对称点G、H,连接GH交AC和BC于点E、F,此时DEF的周长最小,再根据三角形内角和与等腰三角形的性质即可求解【详解】解:如图,作点D关于AC的对称点G,点D关于BC的对称点H,连接GH交AC、BC于E、F,D、G关于AC对称,D
3、、H关于BC对称,DE=EG,DF=FH,的周长=DE+DF+EF=EG+EF+FH,当G、E、F、H四个点在同一直线上时,的周长最小,是等边三角形,A=B = ,D、G关于AC对称,D、H关于BC对称,ADG= ,BDH= ,EDG=DGE,FDH=DHF,GDH=,DGE+DHF=,EDG+FDH=,EDF=.故答案是:.【名师点睛】关于最短路线问题:在直线L上的同侧有两个点A、B,在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在,可以通过轴对称来确定,即作出其中一点关于直线L的对称点,对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点(注:本题C,D位于OB的同侧)如下图,解决本题的关键:一是找
4、出最短路线,二是根据一次函数与方程组的关系,将两直线的解析式联立方程组,求出交点坐标.【例2】如图,在O中,弦AB=1,点C在AB上移动,连结OC,过点C作CDOC交O于点D,则CD的最大值为_【答案】【解析】作OHAB,延长DC交O于E,如图,根据垂径定理得到AH=BH=AB=,CD=CE,再判断出BCDECA得出CDCE=BCAC,易得CD=,当CH最小时,CD最大,C点运动到H点时,CH最小,所以CD的最大值为【详解】解:作OHAB,延长DC交O于E,如图,AH=BH=AB=,CDOC,CD=CE,ABD=DEA,BCD=ECA,BCDECA,CDCE=BCAC,CD2=(BH-CH)(
5、AH+CH)=(-CH)(+CH)=-CH2,CD=,当CH最小时,CD最大,而C点运动到H点时,CH最小,此时CD=,即CD的最大值为故答案为【名师点睛】本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的弧也考查了勾股定理,相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键【方法归纳】在平面几何的动态问题中,求几何量的最大值或最小值问题常会运用以下知识: 三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;两点之间线段最短;连接直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短;定圆中的所有弦中,直径最长;利用对称的性质求两条线段之和最小的问题,解决此类问题的方法
6、为:如图,要求线段l上的一动点P到点A、B距离和的最小值,先作点A关于直线L的对称点A,连接AB,则AB与直线L的交点即为P点,根据对称性可知AB的长即为PA+PB的最小值,求出AB的值即可.【针对练习】1如图,AOB=60°,点P是AOB内的定点且OP=,若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点,则PMN周长的最小值是()ABC6D3【答案】D【详解】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,如图,则MP=MC,NP=ND,OP=OD=OC=,BOP=BOD,AOP=AOC,PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC,COD=BOP+BOD+AO
7、P+AOC=2AOB=120°,此时PMN周长最小,作OHCD于H,则CH=DH,OCH=30°,OH=OC=,CH=OH=,CD=2CH=3故选D2如图,四边形ABCD中,BAD120°,BD90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使AMN周长最小时,则AMNANM的度数为( )A130°B120°C110°D100°【答案】B【详解】如图,作A关于BC和ED的对称点A,A,连接AA,交BC于M,交CD于N,则AA即为AMN的周长最小值作DA延长线AHBAD120°,HAA60°AAMAHAA
8、60°MAAMAA,NADA,且MAAMAAAMN,NADAANM,AMNANMMAAMAANADA2(AAMA)2×60°120°故选B3如图,四边形ABCD中,C=,B=D=,E,F分别是BC,DC上的点,当AEF的周长最小时,EAF的度数为( )ABCD【答案】D【详解】作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H,连接GH,交BC、CD于点E、F,连接AE、AF,则此时AEF的周长最小,由四边形的内角和为360°可知,BAD=360°-90°-90°-50°=130°,即1+2+3=130
9、°,由作图可知,1=G,3=H,AGH的内角和为180°,则2(1+3)+ 2=180°,又联立方程组,解得2=80°故选D4如图,已知直线与x轴、y轴分别交于A, B两点,将AOB沿直线AB翻折,使点O落在点C处, 点P,Q分别在AB , AC上,当PC+PQ取最小值时,直线OP的解析式为( )Ay=-By=-Cy=-D【答案】A【详解】连接COAC=AO,BC=OB,AB是线段OC的垂直平分线直线AB的解析式为,直线OC的解析式为y=2x,设C(a,2a)CB=OB=4,解得:a=0(舍去)或a=,C(,)设直线BC为,把C(,)代入得:,解得:k=
10、,直线BC为过O作OQAC于Q交AB于点P,连接PC,则PC+PQ=OQ最短直线OQ直线BC,直线OQ的解析式为:故选A5如图:等腰ABC的底边BC长为6,面积是18,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则CDM周长的最小值为()A6B8C9D10【答案】C【详解】连接AD,MAABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,ADBC,SABC=12BCAD=12×6×AD18,解得:AD6EF是线段AC的垂直平分线,点A关于直线EF的对称点为点C,MAMC,MC+DMMA+DMAD,AD的长为CM+MD的最小值,CDM的
11、周长最短(CM+MD)+CDAD+12BC6+12×66+39故选C6如图,在ABC中,动点P,Q在边BC上(P在Q的左边),且,则的最小值为( )A8BC9D【答案】D【详解】过点A作AEBC,作ADBC,P是点P关于AD的对称点,当P,A,Q共线时AP+AQ=AP+AQ=PQ最短,BE=3,AE=4,PP=8,又PQ=2, ,则的最小值为,故选D7如图,在中,点在边上,且,点为的中点,点为边上的动点,当点在上移动时,使四边形周长最小的点的坐标为( )ABCD【答案】C【详解】在RtABO中,OBA=90°,A(4,4),AB=OB=4,AOB=45°,点D为O
12、B的中点,BC=3,OD=BD=2,D(0,2),C(4,3),作D关于直线OA的对称点E,连接EC交OA于P,则此时,四边形PDBC周长最小,E(0,2),直线OA 的解析式为y=x,设直线EC的解析式为y=kx+b,解得:,直线EC的解析式为y=x+2,解得,P(,),故选C8如图,等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm,面积为12 cm2,腰AB的垂直平分线EF交AB于点E,交AC于点F,若D为BC边上的中点,M为线段EF上一点,则BDM的周长最小值为( )A5 cmB6 cmC8 cmD10 cm【答案】C【详解】如图,连接ADABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,ADBC,SABC
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