天津市南开区2013届高三数学第二次模拟考试 文（南开二模）（含解析）新人教A版.doc

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1、2013年天津市南开区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1（5分）（2013南开区二模）若i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A1+iB1iC1+iD1i考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：化简可得复数=1i，由共轭复数的定义可得解答：解：化简可得复数=1i，故其共轭复数为1+i故选A点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及共轭复数的定义，属基础题2（5分）（2013南开区二模）“a=3”是“直线ax+3y=0和2x+2y=3平行的”（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充

2、要条件的判断专题：直线与圆分析：先判断当a=3成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，是否有a=3成立，利用充要条件的定义得到结论解答：解：当a=3时，两条直线的方程分别是3x+3y=0和2x+2y=3，此时两条直线平行成立反之，当两条直线平行时，有=1即a=3，所以“a=3”是“直线ax+3y=0和2x+2y=3平行的”的充分必要条件故选C点评：判断一个命题是另一个命题的什么条件，也不应该先化简各个命题，再判断是否相互推出3（5分）（2006天津）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A2B3C4D9考点：简单线性规划的应用专题：计算题；数形结合分析：本题

3、主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y的最小值解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3，故选B点评：在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解4（5分）（2013南开区二模）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（x表示不超过x的最大整数）（）A4B5C7D9考点：程序框图专题：图表型分析：根据所给数

4、值判定是否满足判断框中的条件，不满足然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，输出结果解答：解：n=0不满足判断框中的条件，n=1，s=1，n=1不满足判断框中的条件，n=2，s=2，n=2不满足判断框中的条件，n=3，s=3，n=3不满足判断框中的条件，n=4，s=5，n=4不满足判断框中的条件，n=5，s=7，n=5满足判断框中的条件输出的结果为7，故选C点评：本题主要考查了循环结构，是直到型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题5（5分）（2013南开区二模）已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积

5、为（）ABCD考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离分析：先把三视图还原成原几何体，再根据三视图中的长度关系得到原几何体的棱长，从而求得原几何体的体积解答：解：由三视图知，原几何体是一个三棱锥和一个半球的组合体，其中三棱锥的一个侧棱垂直于底面等腰直角三角形，且高为1，底面等腰直角三角形的腰为1，球的直径为 半径为 原几何体的体积为V=111+（ ）3=故选D点评：本题考查三视图，要求能根据三视图还原成原几何体，并能找到原几何体的棱长及其中的垂直平行关系属简单题6（5分）（2009天津）设x，yR，a1，b1，若ax=by=3，a+b=2的最大值为（）A2BC1D考点：基本不等式在最

6、值问题中的应用专题：压轴题分析：将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值解答：解：ax=by=3，x=loga3=，y=logb3=，当且仅当a=b时取等号故选项为C点评：本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力7（5分）（2013南开区二模）如图，F1，F2是双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）ABC2D考点：双曲线的简单性质专题：计算题分析：根据双曲线的定义可求得a=1，ABF2=90，再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|，从而可求得双

7、曲线的离心率解答：解：|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，|AB|2+=，ABF2=90，又由双曲线的定义得：|BF1|BF2|=2a，|AF2|AF1|=2a，|AF1|+34=5|AF1|，|AF1|=3|BF1|BF2|=3+34=2a，a=1在RtBF1F2中，=+=62+42=52，又=4c2，4c2=52，c=双曲线的离心率e=故选A点评：本题考查双曲线的简单性质，求得a与c的值是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题8（5分）（2013南开区二模）已知函数f（x）=x3tx2+3x，若对于任意的a1，2，ba=1，函

8、数f（x）在区间（a，b）上单调递减，则实数t的取值范围是（）A（，3B（，5C3，+）D5，+）考点：利用导数研究函数的单调性专题：综合题；导数的综合应用分析：由f（x）在区间（a，b）上单调递减，得f（x）0即3x22tx+30在（a，b）上恒成立，由二次函数的性质可得，即，又对于任意的a1，2，ba=1，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，则不等式组关于a恒成立，分离出参数t后转化为函数最值问题可解决解答：解：f（x）=3x22tx+3，因为f（x）在区间（a，b）上单调递减，所以f（x）0即3x22tx+30在（a，b）上恒成立，所以有，即，所以（*），因为对于任意的a1，2，f（

9、x）在（a，b）上单调递减，所以（*）式恒成立，又（a=2时取等号），（a=2时取等号），所以，即t5，故选D点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力二、填空题：（本大题共6小题每小题5分，共30分把答案填在题中横线上）9（5分）（2013南开区二模）已知集合A=x|2x1|3，B=（3，a），若AB=A，则实数a的取值集合是（2，+）考点：交集及其运算专题：计算题分析：解绝对值不等式求出集合A，根据B=（3，a），及AB=A，可以求出a的取值范围，化为集合（区间）形式后可得答案解答：解：|2x1|332x1322x41x2故A=1，2又

10、B=（3，a），若AB=A则a2故实数a的取值集合是（2，+）故答案为（2，+）点评：本题考查的知识点是交集及其运算，其中解不等式求出集合A是解答的关键10（5分）（2013南开区二模）已知a=30.5，b=log32，c=cos2，则a，b，c大小关系由小到大排列为cba考点：不等关系与不等式专题：不等式的解法及应用分析：由，利用余弦函数的单调性可得c=cos20；利用对数函数的单调性可得0=log31b=log32log33=1，即0b1；利用指数函数的单调性可得30.530=1，即a1进而得到答案解答：解：，c=cos20；0=log31b=log32log33=1，0b130.530=

11、1，a1综上可得：cba故答案为cba点评：熟练掌握余弦函数的单调性、对数函数的单调性、指数函数的单调性是解题的关键11（5分）（2013南开区二模）在ABC中，若a=2，B=60，b=，则BC边上的高等于考点：正弦定理专题：计算题；解三角形分析：根据余弦定理b2=a2+c22accosB，结合题中数据算出c=3，从而得到ABC的面积S=acsinB=，再由ABC的面积S=ah（h是BC边上的高），即可算出h的大小，从而得到BC边上的高解答：解：ABC中，a=2，b=，且B=60，根据余弦定理，得b2=a2+c22accosB，可得7=4+c24ccos60，化简得c22c3=0，解之得c=3

12、（舍负）ABC的面积S=acsinB=23sin60=又ABC的面积S=ah（h是BC边上的高）h=故答案为：点评：本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求BC边上的高长着重考查了三角形的面积公式、利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题12（5分）（2013南开区二模）正项等比数列an，满足a2a4=1，S3=13，bn=log3an，则数列bn的前10项和是25考点：等比数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得a32=a2a4 =1，解得 a3=1，由S3=13 可得 a1+a2=12，则有a1 q2=1，a1+a1q=12，解得 q和a1的值，由此得到an 的解析式，从而得

13、到bn 的解析式，由等差数列的求和公式求出它的前10项和解答：解：正项等比数列an满足a2a4=1，S3=13，bn=log3an，a32=a2a4 =1，解得 a3=1 由a1+a2+a3=13，可得 a1+a2=12设公比为q，则有a1 q2=1，a1+a1q=12，解得 q=，a1=9故 an =9（ ）n1=33n故bn=log3an=3n，则数列bn是等差数列，它的前10项和是 =25，故答案为：25点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，求出an =33n ，是解题的关键，属于中档题13（5分）（2013南开区二模）如图所示，以直角

14、三角形ABC的直角边AC为直径作O，交斜边AB于点D，过点D作O的切线，交BC边于点E则=考点：与圆有关的比例线段专题：选作题分析：连接CD，由AC是O的直径，可得CDAB可证BC是O的切线，及DE是O的切线，由切线长定理可得ED=EC，在RtBCD可证明点E是斜边的中点，即可得出结论解答：解：连接CD，AC是O的直径，CDABBC经过半径OC的端点C且BCAC，BC是O的切线，而DE是O的切线，EC=EDECD=CDE，B=BDE，DE=BEBE=CE=BC故答案为点评：熟练掌握圆的性质、切线长定理、直角三角形的边角关系数据他的关键14（5分）（2013南开区二模）设D、E、F分别是ABC的

15、三边BC、CA、AB上的点，且，若，则=考点：向量在几何中的应用专题：平面向量及应用分析：利用条件，结合向量的加法运算，即可求得结论解答：解：由题意，=+=，=故答案为：点评：本题考查向量的加法运算，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（13分）（2013南开区二模）设函数（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求a的值考点：三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性专题：计算题；综合题分析：（1）根据二倍

16、角公式，和辅助角公式，我们易将函数的解析化简为正弦型函数的形式，进而求出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，根据函数f（x）的最大值与最小值的和为，我们可构造出关于a的方程，解方程即可得到a的值解答：解（1），（2分）T=（4分）故函数f（x）的单调递减区间是 （6分）（2），（8分）当时，原函数的最大值与最小值的和=，a=0（12分）点评：本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的值域，正弦函数的单调性，其中根据二倍角公式，和辅助角公式，化简函数的形式，是解答本题的关键16（13分）（2013南开区二模）对某校高三年级学生参加社区服务

17、次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率10，15）100.2515，20）24n20，25）mp25，30）20.05合计M1（）求出表中M，p及图中a的值；（）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间10，15）内的人数；（）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间25，30）内的概率考点：随机抽样和样本估计总体的实际应用；频率分布直方图专题：计算题；图表型分析：（I）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率

18、等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值（II）根据该校高三学生有240人，分组10，15）内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人（III）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设出在区间20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间25，30）内的人为b1，b2，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率解答：解：（）由分组10，15）内的频数是10，频率是0.25知，M=40频数之和为40，10+24+m+2=40，m=4.a是对应分组15，20）的频率与组距的商，（）因为该校高三学生有240人，分组10，15）

19、内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人（）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设在区间20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间25，30）内的人为b1，b2则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）15种情况，而两人都在25，30）内只能是（b1，b2）一种，所求概率为点评：本题考查频率分步直方图，考查用样本估计

20、总体，考查等可能事件的概率，考查频率，频数和样本容量之间的关系，本题是一个基础题17（13分）（2013南开区二模）如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点（1）求证：BD1平面A1DE（2）求证：D1EA1D；（3）求点B到平面A1DE的距离考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算专题：空间位置关系与距离分析：（1）由题意，设O为AD1的中点，则由三角形的中位线性质可得OEBD1，再利用直线和平面平行的判定定理证明BD1平面A1DE（2）由于D1A 是D1E在平面AA1D1D内的射影，由正方形的性质可得D1

21、AA1D，再利用三垂线定理可得D1EA1D（3）由题意可得A、B两点到平面A1DE的距离相等，设为h，根据 =，利用等体积法求得h的值解答：（1）证明：正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点，设O为AD1的中点，则由三角形的中位线性质可得OEBD1由于OE平面A1DE，BD1不在平面A1DE内，故BD1平面A1DE（2）证明：由题意可得D1A 是D1E在平面AA1D1D内的射影，由正方形的性质可得D1AA1D，由三垂线定理可得D1EA1D （3）设点B到平面A1DE的距离为h，由于线段AB和平面A1DE交于点E，且E为AB的中点，故A、B两点到平面

22、A1DE的距离相等，即求点A到平面A1DE的距离h由于=，=，=，=，即 =，解得 h=点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、三垂线定理的应用，用等体积法求点到平面的距离，体现了转化的数学思想，属于中档题18（13分）（2013南开区二模）已知数列an的前n项和为Sn，且an=（3n+Sn）对一切正整数n成立（1）求出：a1，a2，a3的值（2）证明：数列3+an是等比数列，并求出数列an的通项公式；（3）设bn=an，求数列bn的前n项和Bn；数列an中是否存在构成等差数列的四项？若存在求出一组；否则说明理由考点：等比关系的确定；等比数列的通项公式；等差关系的确定；数列递推式专题：等差

23、数列与等比数列分析：（1）由已知可得Sn=2an3n，进而得an+1=Sn+1Sn=2an+3，代入计算，可求a1，a2，a3的值；（2）由an+1+3=2（an+3），可得数列an+3是等比数列，从而可求数列an的通项公式；（3）由（2）可知bn=an=n2nn，由错位相减法可求数列bn的前n项和Bn；先假设存在，由题意可得2m+2q=2n+2p，即1+2qm=2nm+2pm，推出矛盾解答：（1）解：由an=（3n+Sn）可得Sn=2an3n，故an+1=Sn+1Sn=2an+3a1=（3+S1），a1=3，a2=9，a3=21；（2）证明：由待定系数法得an+1+3=2（an+3）又a1+

24、3=60数列an+3是以6为首项，2为公比的等比数列an+3=62n1，an=3（2n1）（3）解：由（2）可得bn=n2nn，Bn=121+222+323+n2n（1+2+3+n） 2Bn=122+223+324+n2n+12（1+2+3+n） 得，Bn=2+（22+23+2n）+化简可得Bn=2+（n1）2n+1假设数列an存在构成等差数列的四项依次为：am、an、ap、aq（mnpq）则3（2m1）+3（2q1）=3（2n1）+3（2p1）2m+2q=2n+2p上式两边同除以2m，则1+2qm=2nm+2pmm、n、p、qN*，且mnpq，上式左边是奇数，右边是偶数，相矛盾数列an不存在

25、构成等差数列的四项点评：本题为数列的综合应用，考查数列的通项与求和，考查反证法的运用，由和求通项公式，错位相减法求和是解题的关键，属中档题19（14分）（2013南开区二模）已知椭圆的离心率为（I）若原点到直线x+yb=0的距离为，求椭圆的方程；（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45的直线l和椭圆交于A，B两点（i）当，求b的值；（ii）对于椭圆上任一点M，若，求实数，满足的关系式考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题专题：综合题；压轴题分析：（I）由题意知b=2，a2=12，b2=4由此可知椭圆的方程为（II）（i）由题意知椭圆的方程可化为：x2+3y2=3b2，AB：，所以设A（x

26、1，y1），B（x2，y2），所以b=1（II）（ii）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等成立同上经可知2+2=1解答：解：（I），解得a2=12，b2=4椭圆的方程为（4分）（II）（i），椭圆的方程可化为：x2+3y2=3b2易知右焦点，据题意有AB：由，有：设A（x1，y1），B（x2，y2），b=（18分）（II）（ii）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等成立设M（x，y），（x，y）=（x1，y1）+（x2，y2），x=x1+x2，y=y1+y2，又点M在椭

27、圆上，（x1+x2）2+3（y1+y2）2=3b2由有：则3b29b2+6b2=0又A，B在椭圆上，故有x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2将，代入可得：2+2=1（14分）点评：本题考查圆锥曲线的位置关系和综合应用，解题时要认真审题，仔细解答20（14分）（2013南开区二模）设函数（1）当a=2时，求f（x）的最大值；（2）令（0x3），以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0时，方程mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性；利用导数

28、求闭区间上函数的最值专题：综合题分析：（1）把a=2代入函数，对f（x）进行求导，求出其极值，根据导数来求最值；（2）对F（x）进行求导，求过点P（x0，y0）的切线，求出k用x0的表达出来，再根据斜率恒成立，从而求出a的范围；（3）当a=0时，方程mf（x）=x2即x2mxmlnx=0，令g（x）=x2mxmlnx，对其进行求导，利用导数来画出函数的草图，从而来求解；解答：解（1）a=2时，f（x）=lnx+xx2，（1分），解f（x）=0得x=1或（舍去）（2分），当x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调增加，当x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调减少（3分），所以f（x）的最大值为

29、f（1）=0（4分）（2）（0x3），（0x03）（6分）由恒成立得恒成立（7分）因为，等号当且仅当x0=1时成立（8分），所以（9分）（3）a=0时，方程mf（x）=x2即x2mxmlnx=0，设g（x）=x2mxmlnx，解（10分），得（0舍去），类似（1）的讨论知，g（x）在x（0，x2）单调增加，在x（x2，+）单调减少，最大值为g（x2）（11分），因为mf（x）=x2有唯一实数解，g（x）有唯一零点，所以g（x2）=0（12分），由得x2+2lnx21=0，因为h（x）=x+lnx1单调递增，且h（1）=0，所以x2=1（13分），从而m=1（14分）点评：此题考查利用导数来研究函数的切线，最值和函数的单调性，是高考必考的一类题，此题是一道中档题13