初中数学竞赛专题选讲《对称式》.doc

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1、初中数学竞赛专题选讲对称式一、内容提要一.定义1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x,y,z任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如：代数式x+y，xy，x3+y3+z33xyz,x5+y5+xy, ，.都是对称式.其中x+y和xy叫做含两个变量的基本对称式.2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x,y,z循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.例如：代数式 a2(bc)+b2(ca)+c2(ab), 2x2y+2y2z+2z2x,，（xy+yz+zx）(， .都是轮换式.显然，对称式一定是

2、轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1. 含两个变量x和y的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.例如：在含x,y,z的齐二次对称多项式中，如果含有x2项，则必同时有y2,z2两项；如含有xy项，则必同时有yz,zx两项，且它们的系数，都分别相等.故可以表示为：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m,n是常数.3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a3(bc)+b3(ca)+c

3、3(ab)中，有因式ab一项,必有同型式bc和ca两项.4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.例如：x+y, xy都是对称式，x+yxy，（x+y）xy，等也都是对称式.xy+yz+zx和都是轮换式，xy+yz+z，（）（xy+yz+z）. 也都是轮换式.二、例题例1.计算：（xy+yz+zx）(xyz(.分析：（xy+yz+zx）(是关于x,y,z的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy分别乘以，连同它的同型式一齐写下.解：原式（）（z+xy）+(y+z+x)()2x+2y+2z.例2. 已知：a+b+c=0, abc0.求代数式的值 （198

4、9年泉州市初二数学双基赛题）分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式.解：，0.例3. 计算：（a+b+c）3分析：展开式是含字母a,b,c的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.例4. 解：设（a+b+c）3m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc.（m,n,p是待定系数） 令a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得m=1；令a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得2m+2n=8；令a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.解方程组得（a+b+c）

5、3a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc.例5. 因式分解： a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)； （x+y+z）5（y+zx）5（z+xy）5（x+yz）5.解：当a=b时，a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)0.有因式ab及其同型式bc,ca.原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（ab）(bc)(ca)，可得一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法：得a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)m(a+b+c)（ab）(bc)(ca) 比较左右两边a3b的系数，得m=1.a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)(a+b+c)（ab）

6、(bc)(ca). x=0时，（x+y+z）5（y+zx）5（z+xy）5（x+yz）50有因式x，以及它的同型式y和z.原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz，其商是二次齐次轮换式.用待定系数法：可设（x+y+z）5（y+zx）5（z+xy）5（x+yz）5xyzm(x+y+z)+n(xy+yz+zx).令x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数，得 80=m+n；令x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数，得 480=6m+n.解方程组得.（x+y+z）5（y+zx）5（z+xy）5（x+yz）580xyz(x+y+z).三、练习1. 已知含字母x,y,z的轮换式的三项x3+x2

7、y2xy2,试接着写完全代数式.2. 已知有含字母a,b,c,d的八项轮换式的前二项是a3b(ab)，试接着写完全代数式_.3. 利用对称式性质做乘法，直接写出结果：（x2y+y2z+z2x）（xy2+yz2+zx2）.（x+y+z）（x2+y2+z2xyyzzx）.4. 计算：（x+y）5.5.求（x+y）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.6. 因式分解： ab(ab)+bc(bc)+ca(ca)； (x+y+z)3(x3+y3+z3)； （ab+bc+ca）(a+b+c)abc； a(bc)3+b(ca)3+c(ab)3.7. 已知：.求证：a,b,c三者中，至少有两

8、个是互为相反数.8.计算：.9. 已知：S（a+b+c）.求证：3S（Sa）(Sb)(Sc).10. 若x,y满足等式x=1+和y=1+且xy0，那么y 的值是（）（A）x1.（B）1x.（C）x.（D）1+x.练习题参考答案1.y3+z3+y2z+z2x2y2z2z2x 2. b3c+c3d+d3a(bc)(cd)(da)3.x3+y3+z33xyz 4.设(x+y)5=a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3), a=1,b=5,c=10.5.设原式（x+y+z）a(x2+y2+z2)+b(xy+yz+zx),a=0,b=1.6.当a=b时，原式0，原式m(a+b)(b+c)(c+a) m=17.由已知等式去分母后，使右边为0，因式分解8.19.一个分式化为S（Sa）(Sb)(Sc) 10. 选C