初中数学竞赛专题选讲《逆推法》.doc
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1、初中数学竞赛专题选讲 逆推法一、内容提要1. 如果把探求问题的常规方法叫做顺向推理,那么与习惯方法相反的逆向推理方法,就可以叫做逆推法.顺与逆是相对而言,没有绝对的界限.2. 逆向推理包括了公式、法则、定义 、定理的逆向应用. 例如: 乘法公式的逆向应用之一,就是因式分解. 还有其他变形的应用,如:(x+y)2=x2+xy+y2,以x, y的基本对称式,表示x, y的平方和、立方和(差):x2+y2=(x+y)22xy , x3+y3=(x+y)33xy(x+y). 分数的加减法则的逆向应用,可把一个分数(或整数)化为几个分数的和(差): 1=, . “互为相反数相加得零”的逆向应用:0=a+
2、(a).在因式分解中折项,添项,配方都用到它,在证明恒等式或化简、计算中也常用它. 公式的逆向应用要注意公式成立的前提.例如:的逆向应用是:当a0时,a=;当a0 时,a= ;如 xy0时, 则xy=. 因为定义可以反叙,所以定义既是判定又是性质. 例如:相似多边形的定义: .方程解的定义:若m 是方程ax2+bx+c=0的解,则 am2+bm+c=0;反过来,若an2+bn+c=0,则n是方程ax2+bx+c=0的解. 对于定理的逆用,当然要先判断定理的逆命题为真.一个定理的题设和结论不只一项时,交换题设和结论中的一项,就组成一个逆命题,故逆命题有多个,有真,有假.一般地,若题设和结论都是唯
3、一对象的定理,它有逆定理;对于分段式的定理也有逆定理.3. 解答数学题通常是:在顺向推理有困难时用反向推理;在正面探求有困难时用反面探求;直接解答有困难时用简接解答.顺、逆两种方法都能熟练掌握,灵活应用,那么解题能力就能较大地提高.二、例题例1解方程(a2x2+(x+c2a2=0 . (a2.分析:由观察法,可得到一个根为1 (方程各系数的和是0). 再用韦达定理来解:方程a2+(+ c2a2=0 , 有一个实数根是1 .可设另一根为x2, 根据韦达定理得 1x2=. 解得 x2=.原方程的解是x1=1, x2=.例2. 化简.解:0,= =. 例3.已知:, .求证:.分析:本题直接证明有困
4、难,不论是从左到右或从右到左,都难以完成,估计是要从某一个已知不等式出发.试用逆推法,从结论倒推出应有的不等式.由两边平方,得a2+2ab+b21+2ab+a2b2.a2+b2a2b210, 分解因式:(1b2)(a21)0, 由已知可推出这不等式.证明: ,a21,b21,a210,1b20.(a21)(1b2)0, a2+b2a2b210,a2+b22ab1+a2b2+2ab(a+b)2(1+ab)2 . .例4. 已知:四边形ABCD中,ABBDACCD.求证:ABAC.分析:直接推导,应证明 BDCD或BDCD.即证明BCD1,有困难,不妨用反证法.这也是一种逆推法,从反面推导.证明:
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