《数值计算方法》试题集及答案教程文件.doc

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1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。数值计算方法试题集及答案-数值计算方法复习试题一、填空题：1、，则A的LU分解为。答案：2、已知，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得,用三点式求得。答案：2.367，0.253、，则过这三点的二次插值多项式中的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1，4、近似值关于真值有(2)位有效数字；5、设可微,求方程的牛顿迭代格式是()；答案6、对,差商(1),(0)；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为()；9、求解一阶

2、常微分方程初值问题=f(x,y)，y(x0)=y0的改进的欧拉公式为()；10、已知f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15)；11、 两点式高斯型求积公式()，代数精度为(5)；12、 解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。13、 为了使计算的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为，为了减少舍入误差，应将表达式改写为。14、 用二分法求方程在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。15、 计算积分,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为

3、0.4268，用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为3。16、 求解方程组的高斯塞德尔迭代格式为，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径=。17、 设,则，的二次牛顿插值多项式为。18、 求积公式的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有()次代数精度。19、 已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求(12)。20、 设f(1)=1，f(2)=2，f(3)=0，用三点式求(2.5)。21、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（10）次。22、已知是三次样条函数，则=(3)，=（3），=（1）。23、是以整数点为

4、节点的Lagrange插值基函数，则(1)，()，当时()。24、解初值问题的改进欧拉法是2阶方法。25、区间上的三次样条插值函数在上具有直到_2_阶的连续导数。26、改变函数()的形式，使计算结果较精确。27、若用二分法求方程在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10次。28、设是3次样条函数，则a=3,b=-3,c=1。29、若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用477个求积节点。30、写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛收敛。31、设,则9。32、设矩阵的，则。33、若，则差商3。34、数值积分公式的代数精度

5、为2。35、 线性方程组的最小二乘解为。36、设矩阵分解为，则。二、单项选择题：1、 Jacobi迭代法解方程组的必要条件是（C）。AA的各阶顺序主子式不为零BCD2、设，则为(C)A2B5C7D33、三点的高斯求积公式的代数精度为(B)。A2B5C3D44、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是(B)。A对称阵B正定矩阵C任意阵D各阶顺序主子式均不为零5、舍入误差是(A)产生的误差。A. 只取有限位数B模型准确值与用数值方法求得的准确值C观察与测量D数学模型准确值与实际值6、3.141580是的有(B)位有效数字的近似值。A6B5C4D77、用1+x近似表示ex所产生的误差是

6、(C)误差。A模型B观测C截断D舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。A控制舍入误差B减小方法误差C防止计算时溢出D简化计算9、用1+近似表示所产生的误差是(D)误差。A舍入B观测C模型D截断10、-3247500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A5B6C7D811、设f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)。A05B05C2D-212、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A3B4C5D213、(D)的3位有效数字是0.236102。(A)0.0023549103(B)2354.82102(C)235.418(D)23

7、5.5410114、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=j(x)，则f(x)=0的根是(B)。(A)y=j(x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=j(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与y=j(x)的交点15、用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为(A)。(A)4(B)3(C)4(D)916、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(B)(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(x

8、xn)，(D)17、等距二点求导公式f(x1)(A)。18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足(A),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0的根。19、为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。(A)(B)(C)(D)20、求解初值问题欧拉法的局部截断误差是();改进欧拉法的局部截断误差是();四阶龙格库塔法的局部截断误差是(A)(A)O(h2)(B)O(h3)(C)O(h4)(D)O(h5)21、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）,(2),(3),(4)22、在

9、牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1），（2），（3），（4），23、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次24、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。(1),(2),(3),(4)25、取计算，下列方法中哪种最好？（）(A)；(B)；(C)；(D)。26、已知是三次样条函数，则的值为()(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。27、由

10、下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（）1.52.53.5-10.52.55.08.011.5(A)；(B)；(C)；(D)。28、形如的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为（）(A)；(B)；(C)；(D)。29、计算的Newton迭代格式为()(A)；(B)；(C)；(D)。30、用二分法求方程在区间内的实根，要求误差限为，则对分次数至少为()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9。31、经典的四阶龙格库塔公式的局部截断误差为()(A)；(B)；(C)；(D)。32、设是以为节点的Lagrange插值基函数，则()(A)；（B）；（C）；（D）。33、5个节

11、点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有()次代数精度(A)5；(B)4；(C)6；(D)3。34、已知是三次样条函数，则的值为()(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收敛的是()(A)；(B)；(C)；(D)。36、由下列数据012341243-5确定的唯一插值多项式的次数为()(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8；(B)9；(C)10；(D)11。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）1、 已知观察值,用最小二乘法求n次拟合多项式时，的次数n可以任意取。(

12、)2、 用1-近似表示cosx产生舍入误差。()3、 表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。()4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。()5、矩阵A=具有严格对角占优。()四、计算题：1、 用高斯-塞德尔方法解方程组，取，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。答案：迭代格式k000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、 求A、B使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求(保留四位小数)。答案：是精确成立，即得求积

13、公式为3、 当时，公式显然精确成立；当时，左=，右=。所以代数精度为3。已知13452654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值（保留四位小数）。答案：差商表为一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-104、取步长，用预估-校正法解常微分方程初值问题答案：解：即n01234500.20.40.60.81.011.825.879610.713719.422435.02795、已知-2-101242135求的二次拟合曲线，并求的近似值。答案：解：0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548161020015100

14、34341正规方程组为6、已知区间0.4，0.8的函数表0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差尽量小，即应使尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点最好，实际计算结果，且7、构造求解方程的根的迭代格式，讨论其收敛性，并将根求出来，。答案：解：令.且，故在(0,1)内有唯一实根.将方程变形为则当时，故迭代格式收敛。取，计算结果列表如下：n01230.50.0351278720.0964247850.089877325n45670

15、.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且满足.所以.8利用矩阵的LU分解法解方程组。答案：解：令得，得.9对方程组（1） 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；（2） 取初值，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取,经7步迭代可得：.10、已知下列实验数据xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当0x1时，ex，则，且有一位整数.要求近似值有5位有效数字，只须误差.由，只要

16、即可，解得所以，因此至少需将0,168等份。11、用列主元素消元法求解方程组。解：回代得。12、取节点,求函数在区间0,1上的二次插值多项式,并估计误差。解：又故截断误差。13、用欧拉方法求在点处的近似值。解：等价于()记,取,.则由欧拉公式,可得,14、给定方程1)分析该方程存在几个根；2)用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；3) 说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程（1）改写为（2）作函数，的图形（略）知（2）有唯一根。2)将方程（2）改写为构造迭代格式计算结果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561

17、.278441.278471.278463)，当时，且所以迭代格式对任意均收敛。15、用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7,计算三次，保留五位小数。解：是的正根，牛顿迭代公式为，即取x0=1.7,列表如下：1231.732351.732051.7320516、已知f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多项式及f(1，5)的近似值，取五位小数。解：17、n=3,用复合梯形公式求的近似值（取四位小数）,并求误差估计。解：，时，至少有两位有效数字。18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组=，取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gaus

18、s-Seidel迭代格式为：系数矩阵严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.52619、用预估校正法求解(0x1)，h=0。2，取两位小数。解：预估校正公式为其中，h=0.2，代入上式得：123450.20.40.60.81.01.241.582.042.643.4220、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：1925303819.032.349.073.3解：解方程组其中解得：所以，21、（15分）用的复化梯形公式（或复化Simps

19、on公式）计算时，试用余项估计其误差。用的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。解：22、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。解：（1），故收敛；（2），故收敛；（3），故发散。选择（1）：，23、（8分）已知方程组，其中，（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：，24、1、（15分）取步长

20、，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格库塔法求的值。解：改进的欧拉法：所以；经典的四阶龙格库塔法：，所以。25、数值积分公式形如试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。解：将分布代入公式得：构造Hermite插值多项式满足其中则有：，26、用二步法求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的解：所以主项：该方法是二阶的。27、（10分）已知数值积分公式为：，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：显然精确成立；时，；时，；时，；时，；所以，其代数精确度为3。28

21、、（8分）已知求的迭代公式为：证明：对一切，且序列是单调递减的，从而迭代过程收敛。证明：故对一切。又所以，即序列是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。29、（9分）数值求积公式是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？解：是。因为在基点1、2处的插值多项式为。其代数精度为1。30、(6分)写出求方程在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(6分)，n=0,1,2,对任意的初值,迭代公式都收敛。31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.043478

22、3-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755532、(10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。或利用余项：，33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：3.00001.00005.000034.00000.00003.66670.333312.66670.00005.3333-2.33334.33333.00001.00005.000034.00000.00005.3333-2.33334.333300001.93759.687534、(8分)求方程组的最小

23、二乘解。，若用Householder变换，则：最小二乘解：(-1.33333，2.00000)T.35、(8分)已知常微分方程的初值问题：用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。，36、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：取f(x)=1,x，令公式准确成立，得：，f(x)=x2时，公式左右=1/4;f(x)=x3时，公式左=1/5,公式右=5/24公式的代数精度=237、（15分）已知方程组，其中，（1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；解：（1）J

24、acobi迭代法的分量形式Gauss-Seidel迭代法的分量形式（2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为，Jacobi迭代法收敛Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为，Gauss-Seidel迭代法发散38、（10分）对于一阶微分方程初值问题，取步长，分别用Euler预报校正法和经典的四阶龙格库塔法求的近似值。解：Euler预报校正法经典的四阶龙格库塔法()39、（10分）用二步法求解一阶常微分方程初值问题，问：如何选择参数的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。解：局部截断误差为因此有局部截断误差主项为，该方法是2阶的。40、(10分)已知下列函

25、数表：012313927(1)写出相应的三次Lagrange插值多项式；(2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：（1）（2）均差表：41、(10分)取步长，求解初值问题，分别用欧拉预报校正法和经典四阶龙格库塔法求的近似值。解：（1）欧拉预报-校正法：（2）经典四阶龙格-库塔法：42、(10分)取5个等距节点，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分的近似值（保留4位小数）。解：5个点对应的函数值xi00.511.52f(xi)10.6666670.3333330.1818180.111111-（2分）(1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：43、(10分)已知方程组，其中，(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。解：（1）Jacobi迭代法：Jacobi迭代矩阵：收敛性不能确定（2）Gauss-Seidel迭代法：Gauss-Seidel迭代矩阵：该迭代法收敛44、(10分)求参数，使得计算初值问题的二步数值方法的阶数尽量高，并给出局部截断误差的主项。解：所以当，即时，局部截断误差为局部截断误差的主项为，该方法为二阶方法。-