第二节 二重积分的计算精选文档.ppt

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1、第二节 二重积分的计算本讲稿第一页，共五十二页（1）如果积分区域为：）如果积分区域为：其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.X型型一、一、一、一、直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算.X型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与轴的直线与区域边界相交不多于两个交点区域边界相交不多于两个交点.本讲稿第二页，共五十二页由几何意义知由几何意义知,以以D为底的曲顶柱体体积为底的曲顶柱体体积V.如图如图.过点过点x0作平面作平面x=x0,截面是平面截面是平面x=x0上上的的,以以z=f (x0,y)

2、为为曲边的曲边梯形曲边的曲边梯形.由定积分的几何意义由定积分的几何意义,zx0yDz=f (x,y)z=f (x0,y)x0ab本讲稿第三页，共五十二页从而从而,故故右端称为先对右端称为先对 y,再对再对 x 的二次积分的二次积分(累次积分累次积分).计算原则计算原则:由里到外由里到外.即先将即先将x 看作常数看作常数,以以y 为积分变为积分变量量,求里层积分求里层积分.得得到到的的结结果果是是只只含含x,不不含含 y 的的函函数数式式,再再求求外外层层积积分分(以以x为为积积分变量分变量).本讲稿第四页，共五十二页注注1.公式公式虽是在条件虽是在条件 f(x,y)0下得到的下得到的,但对一般

3、的但对一般的 f(x,y)都成立都成立,只须只须D是是x型区域即可型区域即可.注注2.习惯上常将右端的二次积分记作习惯上常将右端的二次积分记作即即本讲稿第五页，共五十二页定理定理1设有界闭区域设有界闭区域D是一个是一个X型区域型区域其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.本讲稿第六页，共五十二页（2）如果积分区域为：）如果积分区域为：Y型型则二重积分可化为先对则二重积分可化为先对 x,再对再对 y 的二次积分的二次积分.即即 Y型区域的特型区域的特点点：穿过区域穿过区域且平行于且平行于x轴的轴的直线与区域边直线与区域边界相交不多于界相交不多于两个交点两个交点.本讲稿第七页，共五十二页定

4、理定理2设有界闭区域设有界闭区域D是一个是一个Y型区域型区域本讲稿第八页，共五十二页若区域即非若区域即非X-型区域，型区域，又非又非Y-型区域型区域(如图如图)，在分割后的三个区域上分别使用积分公式在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割，使得每个部分区域是则必须分割，使得每个部分区域是X-型区域型区域或或Y-型区域型区域.本讲稿第九页，共五十二页例例1.1.xy0y=xy=x2x 为为确定累次积分的上、下确定累次积分的上、下限限.作与作与y轴同向的射线轴同向的射线,从下至上穿过从下至上穿过D.则则y是由下方的曲线是由下方的曲线y=x2变到上方的曲线变到上方的曲线y=x的的.解解:先画区

5、域先画区域D的图形的图形.方法方法1：先对先对y积分积分.里层积分的下限为里层积分的下限为x2,上限为上限为x.由于该射线变化范围是由于该射线变化范围是0,1.因此因此,外层积分下限为外层积分下限为0,上限为上限为1.即即本讲稿第十页，共五十二页本讲稿第十一页，共五十二页xy0y=xy=x211方法方法2：先对先对 x 积分积分.作与作与 x 轴同向射线轴同向射线,从左至右穿过从左至右穿过D.y则则 x 是从左方曲线是从左方曲线x=y变到右方曲线变到右方曲线y=x2.即即故里层对故里层对 x 积分的下限为积分的下限为y,上限为上限为而该射线的变化范围是而该射线的变化范围是0,1.故外层对故外层

6、对 y 的积分下限为的积分下限为0,上限为上限为1.本讲稿第十二页，共五十二页本讲稿第十三页，共五十二页例例2.2.解解:先画先画D的图形的图形.先对先对 x 积分积分.作与作与 x 轴轴同向的射线穿过同向的射线穿过D.易易知知,x 从左方曲线从左方曲线y=x2即即右方曲线右方曲线 y=x+2即即 x=2 y.而而 y 0,1.xy0y=x+2y=x2112故故本讲稿第十四页，共五十二页所以所以,原式原式=问问,若先对若先对 y 积分积分,情形怎样情形怎样?xy0y=x+2y=x2112本讲稿第十五页，共五十二页例例3.3.求求解：解：由于由于是是“积不出积不出”的，怎么办？的，怎么办？要改换

7、积分次序要改换积分次序.先画积分区域先画积分区域D的图形的图形.由积分表达式知，由积分表达式知，D：y x 1,0 y 1画曲线画曲线 x=y 和和 x=1，直线，直线y=0,y=1.如图：如图：故故 原式原式=yx0Dy=x本讲稿第十六页，共五十二页由例由例2，例，例3知，选择适当的积分顺序，有时知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行能使积分变得简便，易行.在作在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试可改换积分顺序试一试.本讲稿第十七页，共五十二页例例4.4.改换改换解：解：写出写出D的表达式，的表达式，画画 D 的

8、图形的图形改为先对改为先对x再对再对y的积分的积分yx0D24本讲稿第十八页，共五十二页解解积分区域如图积分区域如图本讲稿第十九页，共五十二页解解本讲稿第二十页，共五十二页例例7 7解解先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图本讲稿第二十一页，共五十二页本讲稿第二十二页，共五十二页关于利用对称性积分的问题关于利用对称性积分的问题(1)若若D的图形关于的图形关于x轴对称轴对称.(i)若若f(x,y)=f(x,y),即函数也关于即函数也关于y是偶函数是偶函数.yx0D2D1(ii)若若f(x,y)=f(x,y),即函数也关于即函数也关于y是奇函数是奇函数.本讲稿第二十三页，共五十二页(2)若若

9、D的图形关于的图形关于y轴对称轴对称.yx0D2D1(i)若若f(x,y)=f(x,y)，(ii)若若f(x,y)=f(x,y)，即函数也关于即函数也关于x是偶函数是偶函数.即函数也关于即函数也关于x是奇函数是奇函数.本讲稿第二十四页，共五十二页(3)若若D关于原点对称关于原点对称(i)(ii)本讲稿第二十五页，共五十二页 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾要兼顾被积分函数的奇

10、偶性和积分区域的对称性两个方面，不被积分函数的奇偶性和积分区域的对称性两个方面，不可误用可误用.本讲稿第二十六页，共五十二页二、利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。其计算问题。本讲稿第二十七页，共五十二页1 直系与极系下的二重积分关系（如图）（1）面积元素变换为极系下：）面积元素变换为极系下：（2）二重积分转换公式：）二重积分转换公式：本讲稿

11、第二十八页，共五十二页（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行的二重积分需要进行“三换三换”：本讲稿第二十九页，共五十二页2 极系下的二重积分化为二次积分用两条过极点的射线夹平面区域，用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限由两射线的倾角得到其上下限任意作过极点的半射线与平面区域相交，任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算分仍

12、然需要化为二次积分来计算。本讲稿第三十页，共五十二页二、利用极坐标系计算二重积分本讲稿第三十一页，共五十二页具体的（如图）具体的（如图）（1）区域特征如图）区域特征如图本讲稿第三十二页，共五十二页区域特征如图区域特征如图本讲稿第三十三页，共五十二页（2）区域特征如图）区域特征如图本讲稿第三十四页，共五十二页极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积（3）区域特征如图）区域特征如图本讲稿第三十五页，共五十二页解解本讲稿第三十六页，共五十二页解解本讲稿第三十七页，共五十二页解解本讲稿第三十八页，共五十二页本讲稿第三十九页，共五十二页本讲稿第四十页，共五十二页解解本讲稿第四十一页，共五十二页解解本讲稿

13、第四十二页，共五十二页解解本讲稿第四十三页，共五十二页本讲稿第四十四页，共五十二页二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结Y型型X型型本讲稿第四十五页，共五十二页二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）本讲稿第四十六页，共五十二页计算二重积分应该注意以下几点：计算二重积分应该注意以下几点：先要考虑积分区域的形状，先要考虑积分区域的形状，看其边界曲线用直角坐标系方程表示简单还是极看其边界曲线用直角坐标系方程表示简单还是极坐标坐标系方程表示简单，其

14、次要看被积函数的特点，系方程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。首先，选择坐标系。首先，选择坐标系。其次，化二重积分为二次积分。其次，化二重积分为二次积分。根据区域形状和类型确定根据区域形状和类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确定外限。积分次序，从而穿线确定内限，夹线确定外限。最后，计算二次积分。最后，计算二次积分。由内向外逐层计算，内层积分由内向外逐层计算，内层积分计算时，外层积分变量看做常量。计算时，外层积分变量看做常量。本讲稿第四十七页，共五十二页思考题思考题本讲稿第四十八页，共五十二页思考题解答思考题解答本讲稿第四十九页，共五十二页本讲稿第五十页，共五十二页思考题思考题本讲稿第五十一页，共五十二页思考题解答思考题解答本讲稿第五十二页，共五十二页