第二节幂与根平面概念及复球面精选文档.ppt

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1、第二节幂与根平面概念及复球面本讲稿第一页，共四十四页一、幂与根一、幂与根1.n次幂次幂:本讲稿第二页，共四十四页棣莫佛公式棣莫佛公式棣莫佛介绍棣莫佛介绍2.2.棣莫佛公式棣莫佛公式本讲稿第三页，共四十四页当当k以其他整数值代入时以其他整数值代入时,这些根又重复出现这些根又重复出现.本讲稿第四页，共四十四页从几何上看从几何上看,本讲稿第五页，共四十四页例例1 1解解本讲稿第六页，共四十四页本讲稿第七页，共四十四页例例2 2解解即即本讲稿第八页，共四十四页本讲稿第九页，共四十四页练习：练习：2以方程以方程 的根的对应点为顶点的的根的对应点为顶点的多边形的面积为多边形的面积为答案：答案：本讲稿第十页

2、，共四十四页例例3 3解解故原方程可写成故原方程可写成本讲稿第十一页，共四十四页故原方程的根为故原方程的根为本讲稿第十二页，共四十四页(a)证明：二次方程证明：二次方程 az2+bz+c=0(a 0)当当 a,b,c为复常数时的求根公式为为复常数时的求根公式为(b)用用(a)的结果求方程的结果求方程 z2+2z+(1-i)=0 的根的根.例例4本讲稿第十三页，共四十四页(a)证明：证明：(b)方程方程 z2+2z+(1 i)=0 的根是的根是本讲稿第十四页，共四十四页练习：练习：解下列方程：解下列方程：答案：答案：本讲稿第十五页，共四十四页二、复平面上的曲线与区域二、复平面上的曲线与区域区域区

3、域邻域邻域边界点边界点边界边界1.区域区域本讲稿第十六页，共四十四页邻域邻域:去心邻域去心邻域:本讲稿第十七页，共四十四页内点内点:开集开集:如果如果 G 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点,那末那末G 称为开集称为开集.本讲稿第十八页，共四十四页聚点：聚点：若点若点 z0 的任意邻域内都含有的任意邻域内都含有G 的无穷多个的无穷多个点，点，则称则称 z0 为为G的聚点的聚点.闭集：闭集：若若G 的聚点都属于的聚点都属于G,则称则称G为闭集为闭集.有界点集和无界点集有界点集和无界点集:本讲稿第十九页，共四十四页区域区域:如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件,则称它为

4、一个区则称它为一个区域域.(1)D是一个是一个开集开集；(2)D是是连通的连通的,就是说就是说D中任何两点都可以用完全属中任何两点都可以用完全属于于D的一条折线连结起来的一条折线连结起来.有界区域和无界区域有界区域和无界区域:本讲稿第二十页，共四十四页边界点、边界边界点、边界:设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域,如果点如果点P 的任意的任意小的邻域内总有小的邻域内总有D中的点中的点,也有不属于也有不属于D的点，这样的点，这样的点的点P 我们称为我们称为D的的边界点边界点.D的所有边界点组成的所有边界点组成 D 的的边界边界.说明说明区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的区

5、域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.本讲稿第二十一页，共四十四页(1)圆环域圆环域:课堂练习课堂练习判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界?(2)上半平面上半平面:(3)角形域角形域:(4)带形域带形域:答案答案(1)有界有界;(2)(3)(4)无界无界.本讲稿第二十二页，共四十四页2、单连通域与多连通域、单连通域与多连通域连续曲线连续曲线:由复数方程由复数方程:那么那么所确定的平面点集称为复平面上的连续曲线所确定的平面点集称为复平面上的连续曲线.本讲稿第二十三页，共四十四页光滑曲线光滑曲线:由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲

6、线为按段光滑曲线.本讲稿第二十四页，共四十四页简单曲线简单曲线:没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为简单曲线称为简单曲线(或若尔当或若尔当曲线曲线).).本讲稿第二十五页，共四十四页换句话说换句话说,简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交.简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质:任意一条简单闭曲任意一条简单闭曲线线 C 将复平面唯一地将复平面唯一地分成三个互不相交的点分成三个互不相交的点集集.内部内部外部外部边界边界本讲稿第二十六页，共四十四页课堂练习课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线?答答案案简简单单闭闭简简单单不不闭闭不不简简单单闭闭不不简简单单不不闭闭本讲稿第二十七页

7、，共四十四页单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义:复平面上的一个区域复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简如果在其中任作一条简单闭曲线单闭曲线,而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B,就称为单连通域就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域就称为多连通域.单连通域单连通域多连通域多连通域本讲稿第二十八页，共四十四页例例5 5解解所以它的复数形式的参数方程为所以它的复数形式的参数方程为平面上曲线或区域可用复数形式的方程或不等式表示，平面上曲线或区域可用复数形式的方程或不等式表示，反之亦然反之亦然.本讲稿第二十九页，共四十四页本讲稿第三十页，共

8、四十四页例例6 6解解 满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么,如果是区域如果是区域,指指出是单连通域还是多连通域出是单连通域还是多连通域?是一条平行于实轴的直线是一条平行于实轴的直线,不是区域不是区域.单连通域单连通域.本讲稿第三十一页，共四十四页是多连通域是多连通域.不是区域不是区域.本讲稿第三十二页，共四十四页无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).本讲稿第三十三页，共四十四页例例7求满足不等式求满足不等式的点的点 z 所构成的点集，所构成的点集，作出它的图形作出它的图形.并指出它是有界还是无界区域，并指出它是有界还是无界区域，是是单连通还是多连通的？单连通还是多连通的？解解

9、即即整理得整理得从而有从而有本讲稿第三十四页，共四十四页即即它是以它是以(5/2,0)为圆心为圆心,以以3/2为半径的圆周的外部，为半径的圆周的外部，是无界多连通区域是无界多连通区域.Oxy(5/2,0)本讲稿第三十五页，共四十四页三、复球面三、复球面x2 +y2+z2=1球面上点球面上点 N(0,0,1)称为北极称为北极.，复平面上点复平面上点 z对应球面上点对应球面上点 P.点点 P 坐标为坐标为（(1 t)x,(1 t)y,t）并且并且本讲稿第三十六页，共四十四页点点 P 坐标为坐标为解得解得反过来，球面上点反过来，球面上点P(x1,y1,z1)对应着平面上的点对应着平面上的点本讲稿第三

10、十七页，共四十四页 球面上的点球面上的点,除去北极除去北极 N 外外,与复平面内的点之间与复平面内的点之间存在着一一对应的关系存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示我们可以用球面上的点来表示复数复数.我们规定我们规定:复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与复平面与复平面上的无穷远点相对应上的无穷远点相对应,记作记作.复平面上的无穷远点与复平面上的无穷远点与球面上的北极球面上的北极 N相对应相对应.因而球面上的北极因而球面上的北极 N 就是复数无就是复数无穷大穷大的几何表示的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的这

11、样的球面称为球面称为复球面复球面.复球面的定义复球面的定义本讲稿第三十八页，共四十四页3.扩充复平面的定义扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或或简称复平面简称复平面.对于复数对于复数来说来说,实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无意义辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大.本讲稿第三十九页，共四十四页本讲稿第四十页，共四十四页四、总结与思考四、总结与思考1.幂与方根的计算幂与方根的计算.重点是方根的运算重点是方根的运算.2.掌握曲线和区

12、域的概念，重点是判别不等式或掌握曲线和区域的概念，重点是判别不等式或方程代表的是否是区域、何种区域方程代表的是否是区域、何种区域.3.重点掌握复平面上的点和复球面上的点如何对重点掌握复平面上的点和复球面上的点如何对应应.本讲稿第四十一页，共四十四页思考：思考：无穷远点的邻域和去心邻域应如何定义？无穷远点的邻域和去心邻域应如何定义？，本讲稿第四十二页，共四十四页作业作业:P12 4，6，10(3),(4)放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.本讲稿第四十三页，共四十四页Abraham de Moivre棣莫佛资料Born:26 May 1667 in Vitry(near Paris),FranceDied:27 Nov 1754 in London,England本讲稿第四十四页，共四十四页