第三讲多元正态分布参数估计PPT讲稿.ppt

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1、第三讲多元正态分布参数估计第1页，共37页，编辑于2022年，星期二1.样本样本多元分析的任务根据样本数据来分析各变量之间的关系分析各变量之间的关系，推断总推断总体的性质。体的性质。多元样本数据为一元样本第2页，共37页，编辑于2022年，星期二2.2.样本平均值样本平均值样本平均值是n个点的重心第3页，共37页，编辑于2022年，星期二例题：计算均值、离差阵、协方差和相关阵第4页，共37页，编辑于2022年，星期二3.样本离差(平方乘积和)矩阵S计算离差阵第5页，共37页，编辑于2022年，星期二第6页，共37页，编辑于2022年，星期二 (样本协方差)(样本方差)4.4.样本协差阵样本协差

2、阵第7页，共37页，编辑于2022年，星期二6.样本相关矩阵R R为非负定矩阵 -样本相关系数第8页，共37页，编辑于2022年，星期二变量的线性组合的样本值变量的线性组合的样本值计算计算 和和 均值方差与协方差均值方差与协方差第9页，共37页，编辑于2022年，星期二7.7.二组样本的协方差矩阵二组样本的协方差矩阵第10页，共37页，编辑于2022年，星期二8.8.总体均值和协方差矩阵的最大似然估计总体均值和协方差矩阵的最大似然估计设用最大似然法求出的均值和协方差的估计量分别为第11页，共37页，编辑于2022年，星期二9.基本性质1）是总体均值的无偏估计是总体均值的无偏估计2）是总体协方差

3、的无偏估计是总体协方差的无偏估计分别是总体均值和协差阵的有效估计分别是总体均值和协差阵的有效估计是总体均值和协差阵的一致估计估计是总体均值和协差阵的一致估计估计3）4）和和和和第12页，共37页，编辑于2022年，星期二10.定理 设和和 S 分别是正态总体分别是正态总体样本均值和离差阵，则样本均值和离差阵，则和和 S 相互独立相互独立1）2）3）第13页，共37页，编辑于2022年，星期二二、多元统计中常用的分布二、多元统计中常用的分布 在一元统计中，常用的分布有卡方分布、在一元统计中，常用的分布有卡方分布、t分布分布和和F分布。在多元统计中，他们分别发展为分布。在多元统计中，他们分别发展为

4、Wishart分布、分布、T2分布和分布和Wilks分布。分布。第14页，共37页，编辑于2022年，星期二11 分布和分布和Wishart分布分布 定义1 设 为 相互独立且同服从于 分布的随机变量。则(1)所服从的分布叫做 分布，称为自由度且记为 。第15页，共37页，编辑于2022年，星期二定理定理2.由由(1)式定义的随机变量的分布密度函式定义的随机变量的分布密度函数为数为 第16页，共37页，编辑于2022年，星期二定理定理3.设设 ，且且 与与 相互独立，则相互独立，则 推推论论2 设设 是是抽抽自自正正态态总总体体 的简单随机样本，则统计量的简单随机样本，则统计量第17页，共37

5、页，编辑于2022年，星期二Wishart分布分布它是多元样本离差平方和矩阵的分布它是多元样本离差平方和矩阵的分布定义1 设 为 相互独立且同服从于 分布 ，令 则(1)所服从的分布叫做 自由度为 的p维 维希特分布，记作第18页，共37页，编辑于2022年，星期二显然，当显然，当p=1 时，有时，有Wishart分布像卡方分布一样具有加法性质，分布像卡方分布一样具有加法性质，若若相互独立，则相互独立，则第19页，共37页，编辑于2022年，星期二设设 ，且且 与与 相互独立，则称随机变量相互独立，则称随机变量 服从自由度为服从自由度为 的的 分布，分布，记为记为 。将将T平方，即平方，即三三

6、 分布与分布与 分布分布第20页，共37页，编辑于2022年，星期二在多元统计中在多元统计中 分布是一元统计中分布是一元统计中t分分布的推广布的推广定义：若定义：若 ，S与与X相互独立、称随机变量相互独立、称随机变量是自由度为（是自由度为（p，n）的）的 分布分布 可以转化为可以转化为F分布分布Hotelling 第21页，共37页，编辑于2022年，星期二四、四、分布与分布与Wilks分布分布定定义义3 设设 ，且且 与与 相互独立，则称随机变量相互独立，则称随机变量 服从自由度为服从自由度为 的的 分布，分布，记为记为 。F分布事实上为从正态总体随机抽取的两个样本方差的比，在方差分析和回归

7、分析中广泛使用第22页，共37页，编辑于2022年，星期二描描述述 的的变变异异程程度度的的统统计计参参数数称称为为广广义义方差，其定义有很多方差，其定义有很多如如F统计量的推广是统计量的推广是 统计量统计量 定义：若定义：若相互独立，则称随机变量相互独立，则称随机变量的分布是自由度为的分布是自由度为(p,n1,n2)的的 分布分布第23页，共37页，编辑于2022年，星期二第三章 假设检验1、已知时单总体均值向量的检验 设从总体XNP(,)中随机抽取了一个容量为n的样本 ，得到的无偏估计为 检验 是否等于已知向量 。即，第24页，共37页，编辑于2022年，星期二由于由正态分布与卡方分布的关

8、系得构造检验统计量为具体步骤是：作统计假设 计算样本的均值计算统计量T的具体值T0按规定的小概率标准，查卡方分布表Ta，得临界值，并作出判断当T0 Ta，接受H0，拒绝H1，即认为 与 没有显著差异。当T0 Ta，接受H1，拒绝H0，即认为 与 有显著差异。第25页，共37页，编辑于2022年，星期二2、未知时均值向量的检验 在一元统计理论中，当方差未知时，取检验统计在一元统计理论中，当方差未知时，取检验统计量为量为推广到多元，考虑统计量第26页，共37页，编辑于2022年，星期二其中样本均值样本离差阵 故由T2分布定义知其中利用T2与F分布的关系，检验统计量取为第27页，共37页，编辑于20

9、22年，星期二具体步骤是：作统计假设：，计算样本均值和样本协方差由公式计算F统计量具体值F0。按规定的显著水平，查F分布临界值，并作出判断：当 接受H0，拒绝H1；当 拒绝H0，接受H1。第28页，共37页，编辑于2022年，星期二例1 某小麦良种的四个主要经济性状的理论值为 现在从外地引入一新品种，在21个小区种值，取得数据如表：小区号 性状1234567X122.8822.7422.6022.9322.7422.5322.67X232.8132.5632.7632.9532.7432.5332.58X351.5151.4951.5051.1751.4551.3651.44X461.5361

10、.3961.2260.9161.5661.2261.30 小区号 性状891011121314X122.7422.6222.6722.8222.6722.8122.67X232.6732.5732.6732.8032.6732.6732.67X351.4451.2351.6451.3251.2151.4351.43X460.3061.3961.5060.9761.4961.1561.15 小区号 性状15161718192021X122.8123.0223.0223.1522.8823.1623.13X233.0233.0532.9533.1533.0632.7832.95X351.7051.

11、4851.5551.5851.4551.4831.38X461.4961.4461.6261.6561.5461.4161.58第29页，共37页，编辑于2022年，星期二设新品种的四个性状服从正态，试检验假设 3查F表，得F0.05(4,17)=2.96，因为 故拒绝H。第30页，共37页，编辑于2022年，星期二3、两总体协差阵相等（但未知）时均值向量的检验当P=1时，因且相互独立，在H0成立条件下，有，第31页，共37页，编辑于2022年，星期二推广到P元总体，可以得到形式类似的统计量T2：XNP(1,)YNP(2,)其中第32页，共37页，编辑于2022年，星期二具体步骤：作统计假设：

12、，计算样本均值和，样本离差阵。由公式计算统计量具体值F。按规定的显著水平，查F分布临界值当 接受H0，拒绝H1；当 拒绝H0，接受H1。第33页，共37页，编辑于2022年，星期二4、已知时，均值的置信域从一元统计中我们已经了解到，均值假设检验问题本质上也等价于均值的置信区间 假设 来自P元正态总体NP(,)由前面讨论知在任给置信度，查卡方分布临界值表得满足则均值向量的置信度为的置信域为第34页，共37页，编辑于2022年，星期二该置信域是一个中心在椭球。当检验时，若落在该置信域内，即，则在显著水平下，接受H0；若没有落入该置信域内，则否定H0。所以在多元统计中，也可以说均值向量的假设检验问题本质上也等价于求均值向量的置信域。第35页，共37页，编辑于2022年，星期二则均值向量的置信域为该置信域是一个中心在置信域椭球的半轴长分别为其中。5、未知时，均值的置信域的椭球。第36页，共37页，编辑于2022年，星期二第37页，共37页，编辑于2022年，星期二