第六节 函数的几种简单性质精选文档.ppt

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1、第六节 函数的几种简单性质本讲稿第一页，共二十四页（一）函数的奇偶性（一）函数的奇偶性1.6 函数的几种简单性质函数的几种简单性质（二）函数的周期性（二）函数的周期性（三）（三）函数的单调性函数的单调性（四）（四）函数的有界性函数的有界性本讲稿第二页，共二十四页【定义【定义1.10】设函数（1）如果对所有的，则称为偶函数偶函数。（2）如果对所有的，则称为奇函数奇函数。第一章第一章 函数函数（一）函数的奇偶性（一）函数的奇偶性有有本讲稿第三页，共二十四页奇偶函数的性质奇偶函数的性质偶函数的图形关于轴对称偶函数的图形关于轴对称奇函数的图形关于原点对称奇函数的图形关于原点对称如图所示偶函数偶函数奇函

2、数奇函数第一章第一章 函数函数本讲稿第四页，共二十四页奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数偶函数非奇非偶函数奇函数偶函数非奇非偶函数奇函数奇函数偶函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数偶函数奇函数奇函数偶函数奇函数第一章第一章 函数函数本讲稿第五页，共二十四页证证令因此，是偶函数。证毕.第一章第一章 函数函数证明是偶函数。例例1设是奇函数，是奇函数，本讲稿第六页，共二十四页例例2设函数，解解因此，函数为偶函数。如图所示第一章第一章 函数函数讨论其奇偶性本讲稿第七页，共二十四页例例3设函数，解解因此，函数为奇函数。如图所示第一章

3、第一章 函数函数讨论其奇偶性本讲稿第八页，共二十四页例例4设函数，解解因为所以函数是非奇非偶函数。如图所示第一章第一章 函数函数讨论其奇偶性本讲稿第九页，共二十四页（二）（二）函数的周期性函数的周期性【定义【定义1.11】设函数，中学已经学过：正弦函数余弦函数正切函数余切函数都是周期函数。第一章第一章 函数函数常数，函数为周期函数周期函数。，若存在正使得恒成立，则称此满足这个等式的最小的正数通常称为函数的周期周期。本讲稿第十页，共二十四页周期是周期是周期是周期是正弦和余弦的图形如下第一章第一章 函数函数本讲稿第十一页，共二十四页正切和余切的图形周期是周期是周期是周期是第一章第一章 函数函数本讲

4、稿第十二页，共二十四页（三）（三）函数的单调增减性函数的单调增减性【定义【定义1.12】设函数对区间第一章第一章 函数函数内的任意两点和：在区间内是单调增加的（或称单调增）单调增加的（或称单调增）；则称此函数当时，有，当时，有，在区间内是单调减少的（或称单调减）单调减少的（或称单调减）。则称此函数本讲稿第十三页，共二十四页如图所示单调增加单调减少第一章第一章 函数函数单调增加函数的图形是沿轴正向逐渐上升的；下降的。单调减少函数的图形是沿轴正向逐渐本讲稿第十四页，共二十四页例例5判断函数的单调性。解解对任意的，若，即故函数单调递增。如图所示第一章第一章 函数函数则本讲稿第十五页，共二十四页例例6

5、判断函数的单调性。解解对任意的，有在内，即在此区间内，在内，即在此区间内，因此在内，第一章第一章 函数函数函数单调递减。函数单调递增。若，有若，有不是单调函数。本讲稿第十六页，共二十四页如图所示一般称为此函数的单调减区间为此函数的单调增区间第一章第一章 函数函数本讲稿第十七页，共二十四页（四）（四）函数的有界性函数的有界性【定义【定义1.13】设函数在区间无界的定义可叙述为无界的定义可叙述为对任意的正数，第一章第一章 函数函数内有定义（可以是函数的整个定义域，可是定义域的一部分）。也所有的，内有界有界。否则，称函数在内无界无界。若存在正数，对于恒有，则称函数在总存在，使得称函数在内无界无界。本

6、讲稿第十八页，共二十四页例如例如函数在内有界。对任意的实数，函数在上无界。的正数，就有但函数在上有界，所以，函数在上无界。第一章第一章 函数函数因为，恒有。因为，对任意只要取实数因为在此区间上有本讲稿第十九页，共二十四页函数有界性与讨论的区间有关函数有界性与讨论的区间有关对函数有界性的讨论，需要注意对函数有界性的讨论，需要注意函数的界不唯一函数的界不唯一函数有界要既有上界又有下界函数有界要既有上界又有下界第一章第一章 函数函数本讲稿第二十页，共二十四页内容小结内容小结1.函数的奇偶性函数的奇偶性偶函数奇函数2.函数的周期性函数的周期性3.函数的单调性函数的单调性增减4.函数的有界性函数的有界性

7、作业作业P43 42-49第一章第一章 函数函数本讲稿第二十一页，共二十四页备用题备用题1.证明狄利克雷（Dirichlet）函数是周期函数。证证有理数有理数有理数无理数有理数无理数对任何正有理数，则即任何正有理数都是其周期，（有理数）（无理数）第一章第一章 函数函数由于但无最小正周期。本讲稿第二十二页，共二十四页2.证明定义在对称区间内的任何函证证令则是偶函数；而证毕.第一章第一章 函数函数数，数的和的形式。都可以表示为一个偶函数和一个奇函是奇函数。本讲稿第二十三页，共二十四页3.设函数为定义在 内的奇函数，证证设，且则，且由题设得故函数在内单调增加。第一章第一章 函数函数若在内单调增加，内也单调增加。证明在本讲稿第二十四页，共二十四页