第六章薄壳 (2)精选文档.ppt

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1、第六章薄壳本讲稿第一页，共四十页概述n工程结构中，为了减轻重量、美观实用，常常采用一些壳体结构，如柱面及球面屋顶、各种压力容器、航天及航空器的薄壁结构等。n还有不少机器的部件本身就是一个壳体，如水轮机的叶片、各种外壳等。n壳体的几何形状及其变形都是很复杂的。为了便于分析，针对各种壳体情况做了不同的假设，建立有不同的壳体理论和相应的有限元分析方法。本讲稿第二页，共四十页n壳体的厚度比其它尺寸（如长度、曲率半径等）小得多的壳体称为薄壳。n由壳体厚度中点构成的曲面称为中曲面。n当薄壳受载荷而发生微小的变形时，与薄板相似，也可以忽略沿壳体厚度方向的挤压变形和应力，且认为符合直法线假设，即薄壳中曲面法线

2、上各点在变形过程中仍保持在变形后中曲面的法线上。本讲稿第三页，共四十页n壳体变形时，中曲面不但发生弯曲，而且也发生了面内的伸缩变形，这点与薄板不同。n薄壳弯曲时，中曲面曲率发生了改变，产生了横截面（通过法线的截面）上的正应力和平行于中曲面的剪应力。这些应力在截面内合成为弯矩和扭矩。这些弯曲的内力，可合称为弯矩。本讲稿第四页，共四十页n薄壳变形时，中曲面也发生了面内的伸缩变形，对应有中曲面内的正应力和剪应力，可合称为中面力和膜力。n薄壳的膜力与弯矩是互相影响的，它们共同承担着壳体上承受的外载荷。本讲稿第五页，共四十页n由于壳体变形和承力的复杂性，再加上本身几何形状的复杂性，使壳体结构的分析成为力

3、学中相当因难的一类问题。n在一些不同的假设条件下，可以列出各种控制方程，但是，只有在很特殊的情况下，才能求得其位移和应力的解析解，而且解的形式一般也是相当繁杂而不便于工程应用的。本讲稿第六页，共四十页n采用有限元方法分析壳体，可以将整个结构分成很多单元，当单元很小时，可以把每个单元近似为平板、折板或某种常曲率的壳块等，对于这种几何形状比较简单的单元，其变形与应力分析就方便多了。本讲稿第七页，共四十页n如取为平板单元，则平板的弯曲和面内变形互不影响，可视为平板弯曲与平面问题的叠加。n如取为某种特定的曲壳块单元，一方面简化了单元的几何性质（如为圆柱壳、二次曲面等），另一方面由于曲壳很小，接近于平板

4、，也可采用比一般壳体理论更为简化的扁壳理论，进行单元计算。n因此，对于单元分析来说，往往可以不涉及复杂的壳体理论。本讲稿第八页，共四十页n在薄壳的直法线假设之下采用位移法，可只分析壳体中曲面的位移。n一般采用正交曲线坐标（如图6-1中的s1、s2），把中曲面上点在空间的位移分为沿中曲面切线方向的两项位移u、v和垂直于中曲面的法向位移w（图6-1）。n壳体变形时，这3项位移是相互联系的，必须同时加以分析。但是，这3项位移都只是中曲面内两个坐标（一般沿两主曲率线）的函数，是一种二维求解域的问题。本讲稿第九页，共四十页矩形板单元用于柱壳分析n柱形壳结构具有互相平行的直母线，可沿母线方向及垂直于母线的

5、方向把柱壳划分为一些四边形壳块，如图6-2所示。n当网格足够密时，小四边形柱壳块就足够扁平，可用其4个顶点组成的矩形平板近似它们。n用这些矩形平板单元拼成的折板结构，可以近似代替原来的光滑结构。直观看来，当单元足够小时，这种近似结构是能够趋于真实结构的。本讲稿第十页，共四十页单元刚度矩阵n以矩形板单元面内的两对称轴作为x、y轴，以板面的法线方向为z轴，建立任一单元的局部坐标系。一般单元的局部坐标系xyz与总体坐标xyz是不一致的（图6-2）。n柱壳结构受载荷时，各单元也发生有变形，在各单元的局部坐标系内，沿x、y轴及z轴的的位移以u、v及w表示，其中u、v为板平面内的位移，w为横向位移。n在小

6、变形情况下，平析的横向位移w与面内位移u、v互不相关、不相耦合，可以分别研究两者各自的单元刚度。本讲稿第十一页，共四十页n以矩形板单元 的4个顶点为节点，任一节点i有3项线位移分量ui、vi、wi，及i点法线的两项角位移分量xi、yi，每点有5个自由度，单元有4个节点，共有20个自由度（图6-3）。n平板单元的变形可分为互相独立的两部分：平面内变形和弯曲部分。本讲稿第十二页，共四十页面内变形n与面内变形有关的i节点位移有ui及vi，单元 个4节点共有8项面内节点位移，8个自由度。n在局部坐标系内，此面内变形部分与平面问题四节点矩形单元一样，其单元刚度矩阵可由式(2.22)给出。本讲稿第十三页，

7、共四十页弯曲变形n与弯曲变形有关的i节点位移有wi、xi、yi，单元内4个节点共有12项弯曲变形的节点位移，12个自由度。n在局部坐标系内，与四节点薄板单元一样，具有相同的单元刚阵。本讲稿第十四页，共四十页n把这两部分单元刚阵拼合起来，就构成了用于分析柱壳的四节点矩形平板单元的刚度矩阵。n此单元有20个自由度，其单元刚阵本应是20X20的方阵。n但是，为了便于变换到总体坐标系，在单元局部坐标系中，对每一节点再补上一个绕z轴转动的角位移zi，每个节点视为有6项节点位移分量，6个自由度。这样，单元刚阵就被扩大为24X24的方阵。本讲稿第十五页，共四十页n刚阵中对应于zi的行与列皆给为零元素，则此扩

8、大的单元刚阵在局部坐标系内，有4行和4列零元素。本讲稿第十六页，共四十页如单元4个节点的编号为k、l、m、n，任一节点i的6项位移分量排列为ui、vi、wi、xi、yi、zi，则在局部坐标系内，单元刚阵按节点分块表示为本讲稿第十七页，共四十页其中每个子矩阵的形式为(r,s=k,l,m,n)其中，平面变形的子刚阵，弯曲变形的子刚阵，对角零元素为对应于zi的空白部分。其余空白部分皆为零元素，这反映出，在局部坐标系内，平面变形与弯曲变形是互不相关的。(6.1)本讲稿第十八页，共四十页单元刚阵的坐标变换与叠加n式(6.1)是在单元的局部坐标系xyz内给出的矩阵，而组成柱壳的各个平板单元显然不会都在一个

9、平面内，因而各单元的局部坐标一般是不一致的。n这样，与同一节点相邻的单元就可能有不同的局部坐标。n与第一章中刚架分析相似，这种不同坐标系给出的单元刚阵是不能直接叠加的，必须变换到统一的坐标系。本讲稿第十九页，共四十页n柱壳的母线是互相平行的，如取总坐标系xyz的y轴与柱壳母线方向一致，则各单元局部坐标系在面内的一个坐标轴也可以与y轴一致，这里取y轴与y轴一致，而z与z轴间的夹角设为。如图6-4。本讲稿第二十页，共四十页在局部坐标系内的线位移分量u、v、w与总体坐标系内的线位移分量u、v、w间的关系为其中为局部坐标系xyz对总体坐标系xyz的方向余弦矩阵。本讲稿第二十一页，共四十页同样，当壳体变

10、形很小时，其法线的转角很小，不同坐标系的转角分量间也有变换关系式中x、y、z为壳体法线绕x、y、z轴的转角。本讲稿第二十二页，共四十页任一节点i处6项节点位移分量的变换关系则为其中(6.2)本讲稿第二十三页，共四十页任一单元e有4个节点，其全部节点位移的变换则为而变换矩阵为这里，e及e分别为e单元在局部坐标与总体坐标中的节点位移列阵，各有4X6=24个分量。(6.3)(6.4)本讲稿第二十四页，共四十页与刚架分析中的坐标变换相似，此时单元刚阵的变换关系是其中ke与ke分别为e单元在局部坐标系与总体坐标系中的单元刚阵，各为24X24的方阵。(6.5)本讲稿第二十五页，共四十页n按式（6.1），k

11、e中的各子矩阵中，面内刚度与弯曲刚度是分离的、不相耦合的，ke对应于绕法线的转角zi有4个零行和4个零列。n然而，按式(6.5)变换到总标系之后，单元刚阵就不是这种形式了，一般是满矩阵。n在统一坐标系内，单元刚度矩阵可以叠加构成结构总刚度矩阵。在载荷作用下，可以求解出全部节点位移。本讲稿第二十六页，共四十页n当两个相邻单元不共面时，各自的z轴不相平行，一个单元的x转角对另一个单元会引起有绕法线的转角z。n单元刚阵叠加时，原来为z保留的零行、零列将变换有或叠加入非零元素。这样，在总坐标系内是可以求解的。本讲稿第二十七页，共四十页n但是，当某一节点i周围的单元都平行于一个坐标面时（如平行x,y面，

12、见图6-5），各单元刚阵中对应于绕法线转角zi的元素皆为零，叠加后仍然都是零，即zi的位移与总体刚阵K无关。n此时即使对整个结构给定了必要的位移约束之后（约束其刚体位移），总刚阵仍然是奇异的，不能求解（zi可为任意值）。本讲稿第二十八页，共四十页n当i节点周围单元共面而不平行于某个统一坐标面时，经过坐标变换之后，表面上没有零行、零列元素，但叠加后的总刚阵仍然有线性相关的行与列，总刚阵还是奇异的。n为使问题能求解，可删去zi这自由度，或在i节点加上一个绕z轴的约束（如可限定此转角为零）。本讲稿第二十九页，共四十页节点载荷n用矩形平板单元分析柱壳时，形状函数是定义于单元局部坐标系，如结构受有分布载

13、荷，也应在局部坐标系内分配到各节点。n由于平板的面内变形与弯曲变形不相耦合，载荷分配也可以分别计算，再合起来。本讲稿第三十页，共四十页如单元在板平面内受有x、y方向的单位面积力px、py，则分配到单元4个节点，有面内的单元节点载荷其中Np即平面问题四节点矩形单元的形状函数矩阵(2.20)式。由此，单元e的任一节点i将分配有x、y两个方向的节点载荷Xi、Yi。本讲稿第三十一页，共四十页如单元沿法线z方向受有单位面积的横向力pz，则分配到4个节点有弯曲的单元节点载荷其中Nb即四节点矩形平板弯曲单元形状函数矩阵(5.11)式.由此，单元e的任一节点i将分配有z方向的集中力Z i和绕x、y轴的集中力偶

14、M xi、M yi。本讲稿第三十二页，共四十页局部坐标系内，i节点的载荷列阵为其中零元素为绕z轴的力偶留有一个空位，以便于坐标变换后，叠加入统一坐标系内的结构总载荷列阵Q。本讲稿第三十三页，共四十页如以Qe和Qe分别表示在局部坐标系和统一坐标系的单元载荷列阵，则与单元节点位移相似，两者间变换关系为T为变换矩阵(6.4)。由此可得到注意到方向余弦矩阵为一正交矩阵，有本讲稿第三十四页，共四十页则可得这样，可以先在局部坐标系内把分布载荷分配为节点载荷，经过坐标变换后，在统一坐标系内叠加为结构的总载荷列阵如柱壳结构还受有集中力，也应加入Q中。本讲稿第三十五页，共四十页应力计算壳体结构的位移方程组是对于

15、统一坐标系列出的，解得的位移是对应于总坐标系的。本讲稿第三十六页，共四十页但是，只有在单元局部坐标系内，节点位移才可分为弯曲位移和面内位移两个独立部分。因此，为计算单元的面内应力和弯曲应力，须逐个单元由内找出对应的单元节点位移e，再按式(6.3)变换到单元局部坐标，对e单元为本讲稿第三十七页，共四十页n在统一坐标系内，任一节点i有6项位移分量：ui、vi、wi、xi、yi、zi，变换到单元局部坐标系后为ui 、vi 、wi 、xi 、yi 、zi 。n其中ui 、vi 为面内节点位移，单元有4个节点，共有8项单元 面内节点位移，记为pe，可按平面矩形单元 中式(2.21)之应变矩阵Bp及平面应力问题的弹性矩阵Dp，求单元的面内应力（或膜力）：本讲稿第三十八页，共四十页单元局部坐标内，i节点位移分量中wi 、xi 、yi 为弯曲节点位移，4个节点共有12项，记为be，可按矩形薄板单元中式(5.15)，求得单元的弯矩平板单元中，膜力与弯矩计算是互不相关的。本讲稿第三十九页，共四十页解题框图n用平板分析柱壳结构的粗略框图如图6-6。n（p100)本讲稿第四十页，共四十页