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1、第三章线性代数方程组第1页,共46页,编辑于2022年,星期二例 1:求下列矩阵的秩第2页,共46页,编辑于2022年,星期二分析例中3个矩阵的求秩过程,可以得到如下结论结论:(1)A=0的充要条件是 rank(A)=0;(2)若A有一个k阶子式不为零,那么r(A)k;当r(A)=k时,则A至少有一个不为零的k阶子式,但不是所有k阶子式都不为零,而且可以断言所有高于k 阶的子式(如果存在)都为零;(3)若A是mn 矩阵,那么r(A)minm,n;r(A)=r(AT);(4)若A是n阶矩阵,则r(A)n。r(A)=n detA0 是 A可逆。称行列式不为零的矩阵为满秩阵(非退化阵);行列式为零的
2、矩阵为降秩阵(退化阵)。第3页,共46页,编辑于2022年,星期二 练习练习 1 对于矩阵 k取何值时,可使:(1)r(A)=1 (2)r(A)=2 (3)r(A)=3。练习练习2 证明 r(A)=r(AT)。第4页,共46页,编辑于2022年,星期二312 计算计算定义定义2满足以下两个条件的mn矩阵称为梯矩阵梯矩阵:1第 k+1 行的首个非零元(如果有的话)前的零元个数多于第k行的非零元(如果存在)前的零元个数,k=1,2,m-1;2如果某行都是零元,则其下所有行的元都是零。第5页,共46页,编辑于2022年,星期二例 2 说明为梯矩阵,并求出rank(A)。第6页,共46页,编辑于202
3、2年,星期二 结论结论 如果A是梯矩阵,那么r(A)=A的 非零行的行数。对于一般的mn矩阵,从秩的定义求A的秩是不方便的。希望将A经过初等变换,变换成梯矩阵,然后再求A的秩。问题:经过初等变换的矩阵,其秩会变化?经过初等变换的矩阵,其秩会变化?第7页,共46页,编辑于2022年,星期二定理定理 1 任一mn矩阵A经有限次初等变换后,其秩不变。证明证明 设A 经一次行初等变换后成为B,首 先证明 r(A)r(B),(B=RA;)推得:r(B)r(A),(因为 A=R-1B)得到 r(A)=r(B)。因此,只要分别对三类初等变换证明 r(A)r(B)。设r(A)=k。第8页,共46页,编辑于20
4、22年,星期二对第一类行初等变换,第9页,共46页,编辑于2022年,星期二 因为r(A)=k,即A中必有一个k阶子式Mk0。B中有一个与Mk对应的k阶子式Nk,满足下述之一的条件:(1)当Mk中不包含A 的第i行和j行的元素,那么 Mk=Nk;(2)当Mk中仅包含A的第i行(或j行)元素;只要适当交换Nk的行,就可以得到Mk,Mk=Nk。(3)当Mk中包含A的第i 行和第j行,只要交换Mk中与A的第i、j行对应的行,就可以得到Nk,所以 Mk=-Nk。综上所述,当A中k阶子式Mk0,那么B中存在k阶子式Nk0,所以,r(A)r(B);第10页,共46页,编辑于2022年,星期二对第二类行初等
5、变换,:第11页,共46页,编辑于2022年,星期二 设Mk0是A的一个k阶子式,Nk是B中与Mk对应的行组成的k阶子式。若Mk中含第i行,则Nk=Mk0;若Mk中不含第i行,则 Nk=Mk0,所以,r(A)r(B);第12页,共46页,编辑于2022年,星期二对于第3类初等变换,第13页,共46页,编辑于2022年,星期二对于A中的k阶子式Mk0,则有四种可能:(1)Mk中同时含A的第i和j行,此时,B中的k阶子式可以取与Mk对应的行,得到k阶子式Nk,那么Nk=Mk0,得到 r(A)r(B);(相当于将Mk中的第i行的倍加到第j行)(2)Mk中含A的第i行,但不含第j行元,则B中对应的Nk
6、,必有Nk=Mk0,得到 r(A)r(B);第14页,共46页,编辑于2022年,星期二(3)M k中含A的第j行元,但不含第i行元:选择B中与M k中序号对应的行元组成N k,则其包含B中第j行元,但不含第i行元,那么第15页,共46页,编辑于2022年,星期二 由于Mk 0,所以Nk与N2k 不同时为零,否则 Mk=0,与题设矛盾。(讲义中的证明不完全正确)如果Nk0,已知Nk是B的一个k阶子式,那么 r(B)r(A);如果 N2k 0,它也与B的一个k阶子式对应:将B中第j行元替换成第i行元,再取与Mk相同的行元组成的k阶子式,得到r(A)r(B);(4)Mk中既不含A的第i行元,也不含
7、A的第j行元,此时,在B中取与Mk相同序号的行元,得到Nk,则有Nk=Mk0,得到r(A)r(B)。综上述,由(1,2,3,4)得到r(A)r(B)。第16页,共46页,编辑于2022年,星期二l推论推论1 任一mn矩阵A,经有限次列初等变换后,不改变秩。l推论推论2 A是任一mn矩阵,B是任一m(或n)阶满秩矩阵,则必有:r(BA)=r(A)(或r(AB)=r(A))l推论推论3 设A是任一mn矩阵,已知其标准形分解 A=PNQ,其中,那么r(A)=r。第17页,共46页,编辑于2022年,星期二 定理定理 2 任一mn矩阵A,必可以通过有限次行初等变换而成为梯矩阵。例 3 给定矩阵A,依据
8、证明的步骤,用初等行变换将其化成梯矩阵。第18页,共46页,编辑于2022年,星期二l练习3 确定矩阵A的秩 第19页,共46页,编辑于2022年,星期二3.2 线性代数方程组的解 相容性:一个存在解的线性代数方程组称为相相容性:一个存在解的线性代数方程组称为相容的,否则就是不相容或矛盾方程。容的,否则就是不相容或矛盾方程。3.2.1 齐次方程组 m x n 的齐次线性代数方程组为:第20页,共46页,编辑于2022年,星期二 写成矩阵向量形式:Ax=0,其中,x=0,是方程的一个解零解零解,称为平凡解平凡解。那么齐次方程总是相容的。对于齐次方程,需要解决的问题:1)在何种情况下,存在非平凡解
9、?2)存在非零解的条件下,如何表示所有的解,即解的一般形式是什么?第21页,共46页,编辑于2022年,星期二定理定理 3 方程Ax=0 存在非平凡解的充要条件是 r(A)n,且在任一通解式中含有n r(A)个任意参数。证 对m x n系数矩阵A作标准形分解,A=PNQ P:m阶可逆阵,Q:n阶可逆阵。因为,Ax=0 PNQx=0 NQx=0 记 y=Qx,那么 Ny=0第22页,共46页,编辑于2022年,星期二第23页,共46页,编辑于2022年,星期二第24页,共46页,编辑于2022年,星期二第25页,共46页,编辑于2022年,星期二l记 则构成方程的一个基础解系基础解系。而且方程的
10、任一解x都可以表示成,由于解表达式中yi,i=r+1,n,是n-r任意常数,故称为方程的通解通解。第26页,共46页,编辑于2022年,星期二第27页,共46页,编辑于2022年,星期二第28页,共46页,编辑于2022年,星期二第29页,共46页,编辑于2022年,星期二第30页,共46页,编辑于2022年,星期二非齐次方程组的通解l对于非齐次方程组 AX=b 设 是其导出组的一个基础解系,是非齐次方程的一个特解,那么方程组的通解:第31页,共46页,编辑于2022年,星期二 课堂讨论题:课堂讨论题:(1)问:a,b取何值时方程组有解?在有解的情况下求出解。第32页,共46页,编辑于2022
11、年,星期二解:当a=0,b=2时,方程有解。因为第33页,共46页,编辑于2022年,星期二(2)问:a,b取何值时方程组有解?在有解的情况下求出解。第34页,共46页,编辑于2022年,星期二解:l当当 时时有唯一解;l当当 时时:第35页,共46页,编辑于2022年,星期二第36页,共46页,编辑于2022年,星期二l(a)时,没有解;l(b)b=5时,有无穷多个解。l当当 时时有无穷多解;lb=-1时时,所以方程没有解。因为 不论a是何值!第37页,共46页,编辑于2022年,星期二第38页,共46页,编辑于2022年,星期二l(3)设 计算 采用两次加边的方法第39页,共46页,编辑于2022年,星期二再加边,构成n+2阶行列式。第40页,共46页,编辑于2022年,星期二解答步骤3n+2列减去第二列。第41页,共46页,编辑于2022年,星期二解答步骤l首先,3n+2列减去第一列。l然后,第42页,共46页,编辑于2022年,星期二l(5)证明按第1列分解成两个行列式之和。第43页,共46页,编辑于2022年,星期二第44页,共46页,编辑于2022年,星期二那么第45页,共46页,编辑于2022年,星期二l该题还可以用归纳法来证明:第46页,共46页,编辑于2022年,星期二
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